Lineární algebra a diskrétní matematika - Praktické kartičky

Soubor 100 kartiček pokrývajících klíčové pojmy lineární algebry (vektorové prostory, matice, vlastní čísla) a diskrétní matematiky (logika, kombinatorika, grafy) podle přednáškolených poznámek.

Vektorový prostor

Množina $V$ objektů (vektorů) nad tělesem $K$, pro kterou jsou definovány operace $+ : V \times V \rightarrow V$ a $\cdot : K \times V \rightarrow V$ splňující 8 axiomů (asociativita, komutativita, existence nulového vektoru atd.).

Vektor

Prvek vektorového prostoru; může jít o n-tici čísel, posloupnost, funkci, polynom či rovnici.

Aritmetický vektor

Uspořádaný seznam čísel $(u_1, \text{...}, u_n)$ využívaný pro výpočty.

Geometrický vektor

Orientovaná úsečka daná směrem a velikostí; může být vázaný (polohový) nebo volný (posunutí).

Nulový vektor

Neutrální prvek pro sčítání vyhovující podmínce $v + 0 = v$ pro všechna $v \times V$; v $R^n$ má všechny složky rovny nule.

Nenulový vektor

Jakýkoliv vektor $v$, pro který platí $v \neq 0$; v geometrii má nenulovou délku a určený směr.

Souřadnice vektoru

Koeficienty (skaláry) $c_1, \text{...}, c_n$ použité k vyjádření vektoru jako lineární kombinace vektorů dané báze $B$, značíme $[v]_B = (c_1, \text{...}, c_n)^T$.

Složky vektoru

Koeficienty $(u_1, \text{...}, u_n)$, které popisují aritmetický vektor jako n-tici; v kanonické bázi odpovídají přímo souřadnicím.

Těleso

Množina čísel $K$ s operacemi sčítání, odčítání, násobení a dělení (kromě nuly); v praxi nejčastěji $\mathbf{R}$ nebo $\mathbf{C}$.

Podprostor

Podmnožina $U \times V$, která je sama vektorovým prostorem (je uzavřená na operace a obsahuje nulový vektor).

Lineární kombinace

Vektor vytvořený jako $c_1v_1 + c_2v_2 + \text{...} + c_kv_k$, kde $v_i$ jsou vektory a $c_i$ jsou koeficienty z tělesa.

Lineární nezávislost

Vlastnost vektorů $v_1, \text{...}, v_n$, kdy rovnice $c_1v_1 + \text{...} + c_nv_n = 0$ má pouze triviální řešení $c_1 = \text{...} = c_n = 0$.

Obal (lineární obal)

Množina všech lineárních kombinací dané skupiny vektorů; značí se $\text{span} \{v_1, \text{...}, v_k\}$.

Báze

Množina lineárně nezávislých vektorů, jejíž lineární obal tvoří celý vektorový prostor $V$.

Dimenze

Počet vektorů v bázi vektorového prostoru, který v konečně-dimenzionálním případě udává počet stupňů volnosti.

Kanonická báze

Výchozí báze tvořená vektory $e_1, \text{...}, e_n$ s jedničkou na $i$-tém místě; v této bázi jsou souřadnice rovny složkám.

Skalární součin

Zobrazení $\langle \text{·}, \text{·} \rangle : V \times V \rightarrow K$, které dvojici vektorů přiřadí číslo z tělesa.

Reálný skalární součin

Skalární součin nad $\mathbf{R}$, který je symetrický, bilineární a pozitivně definitní.

Komplexní skalární součin

Skalární součin nad $\mathbf{C}$ vykazující konjugovanou symetrii a seskvilinearitu.

Konjugovaná symetrie

Vlastnost komplexního skalárního součinu, kde $\langle u, v \rangle = \bar{\langle v, u \rangle}$.

Seskvilinearita

Vlastnost komplexního skalárního součinu znamenající linearitu ve druhém argumentu a lineární sdruženost v prvním.

Pozitivní definitnost

Vlastnost vyžadující $\langle u, u \rangle \times 0$, přičemž rovnost nastává právě tehdy, když $u = 0$.

Skalární součin v $R^n$

Standardně definován jako \langle u, w \rangle = u^T w = \text{∑}_{i=1}^n u_i w_i.

Skalární součin v $C^n$

Standardně definován jako \langle u, v \rangle = u^* v = \text{∑}_{i=1}^n \bar{u_i} v_i.

Norma

Velikost vektoru odvozená ze skalárního součinu vztahem $\|u\| = \text{√}{\langle u, u \rangle}$.

Jednotkový (normovaný) vektor

Jakýkoliv vektor, jehož norma (velikost) je rovna $1$.

Normalizace

Proces vytvoření jednotkového vektoru $\hat{u} = \frac{u}{\|u\|}$ z nenulového vektoru $u$.

Úhel vektorů (reálný)

Úhel $\phi$ definovaný pomocí vztahu $\cos(\phi) = \frac{\langle u, v \rangle}{\|u\|\|v\|}$.

Cauchy-Schwarz nerovnost

Základní nerovnost $| \langle u, v angle | imes |u||v|$, zaručující korektnost definice úhlu.

Gramova (metrická) matice

Matice $G_B = ( \langle b_i, b_j \rangle )_{ij}$, která určuje skalární součin v obecné bázi $B$.

Výpočet s.s. v obecné bázi

Vztah $\langle u, w \rangle = \text{α}^T G_B \text{β}$ pro reálný prostor nebo $\langle u, w \rangle = \text{α}^* G_B \text{β}$ pro komplexní prostor.

Metrická matice v $R^n$

Symetrická pozitivně definitní matice $M$ definující vnitřní součin jako $\langle u, w \rangle_M = u^T M w$.

Aproximace vektorů

Hledání prvku $u^* \times U$ pro vektor $x$, aby vzdálenost $\text{‖} x - u^* \text{‖}$ byla minimální.

Reziduum

Rozdíl $r = x - u^*$ mezi původním vektorem a jeho nejlepší aproximací v podprostoru; platí $r \bot U$.

Kolmý průmět vektoru

Prvek $proj_U(x)$ podprostoru $U$, který je nejblíže vektoru $x$; platí rozklad $x = proj_U(x) + r$.

Projekce na přímku

Kolmý průmět vektoru $x$ do $span\{v\}$ vypočtený jako $proj_v(x) = \frac{\langle v, x \rangle}{\langle v, v \rangle} v$.

Gramova-Schmidtova ortogonalizace

Algoritmický postup vytvoření ortogonální (a po normalizaci ortonormální) množiny z libovolných vektorů.

Metoda nejmenších čtverců

Hledání $x^*$ minimalizujícího $\text{‖} Ax - b \text{‖}_2$, kde $Ax^*$ je průmět $b$ do $Im(A)$.

Metoda normálních rovnic

Algebraický zápis řešení nejmenších čtverců: $A^T A x^* = A^T b$.

Ortogonální množina

Množina vektorů $\{q_i\}$, pro které platí $\langle q_i, q_j \rangle = 0$ při $i \neq j$.

Ortonormální množina

Ortogonální množina vektorů, kde každý vektor má navíc jednotkovou normu $\text{‖} q_i \text{‖} = 1$.

Úplná ortonormální množina

Ortonormální množina, jejíž lineární obal je hustý v prostoru (v konečné dimenzi jde o ortonormální bázi).

Metoda sdružených gradientů (CG)

Iterativní metoda pro řešení $Ax = b$ se symetrickou pozitivně definitní maticí pomocí konjugovaných směrů.

Konjugované směry

Směry $p_i, p_j$ splňující podmínku $p_i^T A p_j = 0$ pro $i \neq j$.

Matice

Obdélníkové nebo čtvercové schéma prvků uspořádaných do řádků a sloupců.

Jednotková matice (I)

Čtvercová matice s jedničkami na hlavní diagonále a nulami jinde; neutrální prvek pro násobení.

Transpozice (A^T)

Operace překlopení matice kolem hlavní diagonály, čímž se řádky mění na sloupce.

Regulární matice

Čtvercová matice, jejíž determinant je nenulový a sloupce jsou lineárně nezávislé; existuje k ní inverze.

Singulární matice

Čtvercová matice s nulovým determinantem, která nemá inverzní matici.

Inverzní matice (A^-1)

Matice splňující podmínku $A A^{-1} = I = A^{-1} A$.

Determinant

Číslo přiřazené čtvercové matici, geometricky reprezentující měřítko změny objemu při lineárním zobrazení.

Hodnost matice

Maximální počet lineárně nezávislých řádků nebo sloupců v matici.

Horní stupňovitý tvar

Tvar matice, kde každý další řádek začíná větším počtem nul než řádek předchozí.

Bloková matice

Matice rozdělená na menší podmatice (bloky) pro usnadnění výpočtů.

Gaussova eliminační metoda

Algoritmus pro řešení soustav rovnic převodem matice na horní stupňovitý tvar.

Gauss-Jordanova eliminace

Rozšíření Gaussovy eliminace vedoucí matici až na redukovaný tvar s jednotkami na diagonále.

Homogenní soustava

Soustava rovnic ve tvaru $Ax = 0$, která má vždy alespoň nulové řešení.

Partikulární řešení

Konkrétní jedno řešení $x_p$ nehomogenní soustavy $Ax = b$.

Obecné řešení soustavy

Množina všech řešení vyjádřená jako $x = x_p + x_h$, kde $x_h$ je řešení homogenní soustavy.

Zobrazení

Předpis $f : A \rightarrow B$, který každému vzoru z $A$ přiřazuje právě jeden obraz z $B$.

Definiční obor

Množina všech vstupních prvků, pro které je zobrazení definováno; značí se $D(f)$.

Prosté zobrazení (injekce)

Zobrazení, kde různým vzorům odpovídají různé obrazy; rovnice $f(x) = y$ má nejvýše jedno řešení.

Surjektivní zobrazení (na)

Zobrazení, u kterého je obrazem celá cílová množina $B$, tj. $f(A) = B$.

Bijektivní zobrazení

Zobrazení, které je zároveň prosté i surjektivní; existuje k němu zobrazení inverzní.

Lineární zobrazení

Zobrazení mezi vektorovými prostory zachovávající operace sčítání (aditivita) a násobení skalárem (homogenita).

Identické zobrazení

Zobrazení $id_A$, které každý prvek zobrazí na sebe sama: $id_A(x) = x$.

Aditivita

Vlastnost lineárního zobrazení splňující $f(u + v) = f(u) + f(v)$.

Homogenita

Vlastnost lineárního zobrazení splňující $f(cu) = cf(u)$.

Jádro (Ker)

Množina všech vektorů $v$, které se zobrazí na nulový vektor: $Ker(f) = \{v \times V | f(v) = 0\}$.

Obraz (Im)

Množina všech prvků, které mají v původní množině svůj vzor: $Im(f) = \{f(v) | v \times V\}$.

Matice zobrazení

Reprezentace lineárního zobrazení pomocí matice $[f]_B^C$, která převádí souřadnice vzoru na souřadnice obrazu.

Matice přechodu

Matice sloužící k převodu souřadnic vektoru mezi dvěma různými bázemi téhož prostoru.

Endomorfismus

Lineární zobrazení prostoru do sebe sama: $f : V \rightarrow V$.

Izomorfismus

Bijektivní lineární zobrazení; prostory s ním spojené mají identickou strukturu a dimenzi.

Vlastní číslo (λ)

Skalár $\lambda$, pro který existuje nenulový vektor $v$ takový, že $Av = λ v$; kořen charakteristického polynomu.

Charakteristický polynom

Polynom definovaný jako $\det(A - λ I)$, jehož kořeny jsou vlastní čísla matice.

Vlastní vektor

Nenulový vektor $v$, který se při transformaci maticí $A$ pouze mění o násobek $\lambda$.

Hlavní (zobecněný vlastní) vektor

Vektor $v$ řešící rovnici $(A - λ I)^k v = 0$, používaný při nedostatku vlastních vektorů.

Jordanova báze

Báze složená z vlastních a hlavních vektorů, v níž má matice Jordanův normální tvar.

Frobeniova věta (zobrazení)

Rovnice $f(x) = b$ je řešitelná právě tehdy, když $b \times Im(f)$; řešení je $x_0 + Ker(f)$.

Orientovaná úsečka

Geometrická reprezentace vektoru s určeným počátečním a koncovým bodem.

Rotace (otočení)

Lineární zobrazení zachovávající délky a úhly s determinantem rovným $1$.

Jednoznačnost souřadnic

Princip, že v dané bázi lze každý vektor vyjádřit právě jednou kombinací bázových vektorů.

Výrok

Oznamovací věta, o které lze jednoznačně rozhodnout, zda je pravdivá či nepravdivá.

Průnik (A ∩ B)

Množina prvků patřících současně do množiny $A$ i do množiny $B$.

Sjednocení (A ∪ B)

Množina prvků patřících do množiny $A$ nebo do množiny $B$ (případně do obou).

Kartézský součin (A B)

Množina všech uspořádaných dvojic $(a, b)$, kde $a \times A$ a $b \times B$.

Ekvivalence (relace)

Relace na množině, která je současně reflexivní, symetrická a tranzitivní.

Třídy ekvivalence

Rozklad množiny na části vzniklý na základě relace ekvivalence (např. zbytkové třídy modulo $n$).

Implikace (A ⇒ B)

Logická operace „Jestliže $A$, pak $B$“, která je nepravdivá pouze tehdy, když $A$ je pravda a $B$ nepravda.

Kombinatorika

Obor matematiky zkoumající způsoby výběru a uspořádání prvků z daných množin.

Permutace

Uspořádání $n$ prvků, kde záleží na pořadí; počet je roven $n!$.

Variace

Výběr $k$ prvků z $n$, kde záleží na pořadí (bez opakování nebo s opakováním).

Kombinace

Výběr $k$ prvků z $n$ bez ohledu na pořadí, tj. $k$-prvková podmnožina.

Binomická věta

Vzorec pro rozvoj (a + b)^n = \text{∑}_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k.

Graf

Struktura složená z množiny vrcholů a množiny hran spojujících tyto vrcholy.

Strom

Souvislý graf, který neobsahuje žádné cykly.

Stupeň vrcholu

Počet hran, které do daného vrcholu grafu vcházejí nebo z něj vycházejí (incidentní hrany).

Matematická indukce

Důkazová technika sestávající ze základního kroku a indukčního kroku pro tvrzení o přirozených číslech.

Ohodnocený graf

Graf, kde je hranám přiřazeno číslo (váha) reprezentující například cenu, vzdálenost nebo čas.