Maths - S4 - Étude de l’utilisation de supports musicaux

La consommation hebdomadaire moyenne de musique est de 16,4 heures. En supposant que chaque chanson dure 3 minutes, combien de chansons écoute-t-on en moyenne en une semaine avec une telle consommation ?

1) Tout d’abord, on convertie 16,4 heures en minutes , pour cela on fait : 16,4*60 = 984 minutes.

On sait que chaque chanson dure 3min, donc,

984/3 = 328.

Ainsi, 328 chansons sont écoutées en moyenne en semaine.

Quel a été le mode de consommation le plus souvent utilisé en 2021 ?

2) Dans le tableau de répartition du temps d’écoute par mode de communication, en 2021, le streaming audio/video est le plus utilisé avec une proportion de 54%.

Estimer le nombre d’utilisateurs actifs mensuellement au cours de l’année 2016.

3) Pour estimer le nombre d’utilisateurs actifs mensuellement au cours de l’année 2016, sachant qu’en 2015 le site compte 68 millions d’utilisateurs et que ce chiffre augmente de 25% chaque année, on calcul : 68*25/100

= 68*1,25

= 85

Ainsi, le nombre d’utilisateurs actifs mensuellement au cours de l’année 2016 est estimé à 85 millions.

Déterminer 𝑢2

4a) Calculons U2 :

U1 = U0*1,25

= 68*1,25

= 85

Ainsi, U2 = U1*1,25

U2 = 85*1,25

= 106,25

Quelle est la nature de la suite (𝑢𝑛) ? On justifiera la réponse et on donnera la raison de la suite.

4b) Pour tout entier naturel n on a :

Un = U0 * q^ n

Un + 1 = Un* q

Un = 68*1,25n.

Déterminer l’expression de 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛, pour tout entier naturel 𝑛.

4c) U0 est le nombre d’utilisateurs pour l’année 2015

2035-2015 = 20

d'où U20 donne le nombre d’utilisateurs pour l’ année 2035, Alors U20 = 68*1,25*20 = 1700

En utilisant ce modèle, on souhaite estimer l’année à partir de laquelle le nombre d’utilisateurs actifs du site dépassera un milliard. Proposer une réponse au problème et justifier la démarche.

5) U1 = 68*1,25 = 85 (2016)

U2 = 106,25 (2017)

U3 = 132,81 (2018)

U4 = 166,06 (2019)

U5 = 207,52 (2020)........ U13 = 1236,91 >1000 (2028)

En 2028, le nombre d’utilisateurs actifs du site dépassera un milliard.

Déterminer 𝑣1.

6) On sait qu’il y’a une augmentation de 100 chaque année donc r= 100

Ainsi, v1= v0 + r = 5000 + 100

= 5100

Quelle est la nature de la suite (𝑣𝑛) ? On justifiera la réponse et on donnera la raison de la suite.

7) Chaque année il y’a une augmentation de 100 auditeurs, ce nombre reste constant : il représente la raison. (Vn) est alors une suite arithmétique de raison 100 et de premier terme Va = 5000

Déterminer l’expression de 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛, pour tout entier naturel 𝑛.

8) Par définition l’expression mathématique d’une suite arithmétique est de la forme Vn= V0+ n*r

Vn = 5000+n*100

En utilisant ce modèle, on souhaite estimer l’année à partir de laquelle le nombre d’auditeurs aura doublé. Proposer une réponse au problème et justifier la démarche.

9) Lorsque le nombre d’auditeurs aura atteint 10 millions soit 10 000 milliers cela signifiera que le nombre d’auditeurs aura doublé. Sachant que Vn est le nombre d’auditeurs pour l’année n, on cherche pour l’année pour laquelle

Vn = 10 000

Vn = 5 000 + n*100 = 10 000

5 000 +n*100 = 10 000

n*100 = 10 000 - 5 000 n=50

000: 100 = 50

V50 représente la valeur pour 2065.