drôles de polynomes

Comment on résout une équation telle que

x^4 - 5x² - 36 = 0 ?

On peut l’écrire comme un polynôme du second degré

X² - 5X - 36 = 0

Avec X = x²

Résoudre x² = -4 ?

Si c’était x² = 4 ça serait 2 et -2

Mais là on veut un nombre qui au carré les rendrait négatifs : i

Donc x = 2i ou x = -2i

On fait quoi quand dans une inéquation on divise des deux côtés par un nombre négatif ?

On change l’inégalité de sens

Quand est-ce que la propriété « Z1 = le conjugué de Z2 » est vraie ?

Quand on est face à un polynôme à coeff réel (et que les racines sont complexes bien sûr)

Pour des équations polynomiales de degré n, le nombre de solutions dans C est..?

Inférieur ou égal à n

Enfin toujours égal mais certaines racines sont égales

Imaginons un Z0 racine du polynôme P, alors on peut favoriser ce polynôme par..?

(Z-Z0)

Ou (x - Z0) si les inconnus c’est des x mais alors pourquoi on aurait appelé la racine Z0 ?

Comment factorise-t’on un polynôme si on connaît toutes les racines ?

a(x-x1)(x-x2)(x-x3) etc…

Parfois x1 = x2 ATTENTION on écrit les deux quand même

X^n - a^n est factorisable par ?

Par un polynôme qui la divise : (X-a)

Ensuite l’autre facteur c’est :

n-1

$$\sum a^{k}\cdot X^{n-1-k}$$

k=0

Factoriser un polynôme mais on connaît pas les racines

Ou

Trouver les racines d’un polynôme de haut degré

1. Trouver « degré du polynôme - 2 » racines évidentes (ou alors on n’en trouve qu’une et on verra après)

2. Si t’en as assez multiplie les (x-racine) entre eux puis factorise immédiatement grâce à une MÉTHODE, puis tu peux factoriser le polynôme de 2nd degré que tu trouves. Sinon fais pas à pas :

2. Pas à pas si t’en as qu’une : utiliser une MÉTHODE pour écrire P = (x-x1)(P’)

3. Cherche une/des racines évidentes de P’ (répète les étapes 2 et 3 jusqu’à en avoir assez et quand c’est le cas revient au premier 2)

Les deux MÉTHODES pour trouver les ??? dans

P(x) = (x-x1) (???)

1. Division euclidienne posée

2. P(X)=(X-x1)(aX²+bX+c) ← ou une autre forme simplement ce doit être un degré adapté

   = On développe

= AX³ + BX² + CX + D ← ou le degré qu’on trouve bien sûr

Résoudre P(X) = AX³ + BX² + CX + D (Terme par terme)

Comment montrer qu’une ou plusieurs racines sont doubles ?

Ce sont aussi les racines de la dérivée du polynôme

Donc si on montre qu’on a n racines pour un polynôme de degré n en comptant les racines doubles, on montre qu’on a toutes les racines

Trouver des racines complexe pour un polynôme du second degré (si \Delta<0 )

$$\frac{-b\pm i\sqrt{\left\vert\Delta\right\vert}}{2a}$$

Factoriser Z^n - 1

= Z^n - 1^n

= (Z-1) (Z^(n-1) + Z^(n-2) + … + Z^0)

Premier réflexe quand les puissances sont toutes divisibles par le même nombre n ?

On peut remplacer la variable x par la variable X

X = x^n