Toepassingen (Extrema en Stationaire Punten - Differentiaalvergelijkingen - Vectoren en Gradiënten - Toepassingen van Integratie - Complexe Toepassingen - Lineaire Algebra en Toepassingen)

Wat is een buigpunt?

Een punt waar de tweede afgeleide van teken verandert, wat een verandering in de kromming aangeeft.

Wat is de Hessianmatrix?

Een matrix van alle tweede-partiële afgeleiden: H(f) = [[∂²f/∂x², ∂²f/∂x∂y], [∂²f/∂y∂x, ∂²f/∂y²]].

Hoe gebruik je de Hessianmatrix om extrema te bepalen?

Voor f(x, y): Als det(H) > 0 en ∂²f/∂x² > 0, lokaal minimum. Als det(H) > 0 en ∂²f/∂x² < 0, lokaal maximum. Als det(H) < 0, zadelpunt.

Stelling van Fermat over extrema:

Als een functie f een maximum of minimum bereikt in het inwendige van een domein en f differentieerbaar is, dan geldt f'(x) = 0.

Wat is een differentiaalvergelijking?

Een vergelijking die een functie en zijn afgeleiden bevat.

Wat is een lineaire differentiaalvergelijking?

Een vergelijking van de vorm dy/dx + P(x)y = Q(x).

Hoe los je een eerste-orde lineaire differentiaalvergelijking op?

Gebruik de integraalfactor µ(x) = e^(∫P(x)dx), vermenigvuldig de hele vergelijking met µ(x), en los op.

Wat is een homogeen tweede-orde differentiaalvergelijking?

Voor ay'' + by' + cy = 0: Als b² - 4ac > 0, reële oplossingen. Als b² - 4ac = 0, dubbele oplossing. Als b² - 4ac < 0, complexe oplossingen.

Wat is de methode van variatie van constanten?

Een techniek om oplossingen van niet-homogene lineaire differentiaalvergelijkingen te vinden.

Wat is een gradiënt?

De vector van alle partiële afgeleiden van een functie: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ...).

Hoe interpreteer je een gradiënt geometrisch?

De gradiënt wijst in de richting van de grootste toename van een functie en heeft als grootte de steilheid.

Wat is de richtingsafgeleide?

De verandering van een functie in de richting van een vector u: D_uf = ∇f • u, waarbij u een eenheidsvector is.

Wat is een niveau-oppervlak?

Een oppervlak waar een functie dezelfde waarde heeft: f(x, y, z) = c. De normaalvector is gegeven door ∇f.

Hoe bereken je een oppervlakte onder een kromme?

Door ∫[a,b]f(x)dx te berekenen, waarbij f(x) ≥ 0.

Wat is een volume van een lichaam van revolutie?

Voor rotatie rond de x-as: V = π∫[a,b][f(x)]²dx.

Hoe bereken je een zwaartepunt?

Zwaartepunt x̄ = [1/A]∫[a,b]x f(x)dx, waarbij A de oppervlakte is.

Wat is de poolvorm van een complex getal?

z = r(cos(θ) + i sin(θ)), waarbij r = |z| en θ = arg(z).

Hoe gebruik je Euler's formule?

e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ), wat rotatie in het complexe vlak beschrijft.

Wat is de modulus van een complex getal z = x + iy?

|z| = √(x² + y²).

Hoe bereken je de argumenthoek van een complex getal?

θ = atan2(y, x).

Wat is de relatie tussen complexe getallen en differentiaalvergelijkingen?

Complexe wortels in de karakteristieke vergelijking geven oscillatoire oplossingen. Bijvoorbeeld: y = e^(αt)(C1 cos(βt) + C2 sin(βt)).