meccanica - dinamica punto materiale

cos’è la forza?

È un’interazione che può modificare lo stato di moto o la forma di un corpo.

spiega il primo principio di Newton

Anche detto legge d’inerzia, ci dice che esistono dei sistemi di riferimento INERZIALI per cui un corpo non soggetto a forze permane indefinitivamente nel suo stato di quiete o moto rettilineo uniforme.

spiega il secondo principio di Newton

spiega cosa succede se agiscono delle forze su di un corpo.

L’applicazione di una forza risulta alla variazione del moto del corpo, per cui comporta un’accelerazione o decelerazione.

Al moto però si oppone la massa inerziale, per cui l’accelerazione è direttamente proporzionale alla forza e inversamente proporzionale alla massa inerziale.

F = ma

Spiega in modo DEDUTTIVO il secondo principio di Newton

Posso vedere la relazione F = ma come un’equazione differenziale: F = m d²x/dt²

So che la soluzione di questa equazione è data dalla velocità e dallo spostamento iniziali, e che la forza dipende da spostamento, velocità e tempo. Conoscendo la forza in tutti gli istanti di tempo considerati posso determinare la legge oraria del corpo soggetto a tale forza.

spiega in modo INDUTTIVO la seconda legge di Newton

Conoscendo massa e accelerazione nel tempo, posso indurre la forza che causa tale spostamento. Ciò è stato fatto con le orbite dei pianeti di Keplero, con le quali Newton indusse la legge di gravitazione universale. Oppure con le perturbazioni del moto dei pianeti, che hanno portato Adams e Le Verrier a indurre la presenza di un’altro pianeta, Nettuno.

spiega il terzo principio di newton e un possibile equivoco

Se un corpo esercita una forza (azione) su di un corpo, esso eserciterà una forza uguale e contraria (reazione, 1° proprietà) lungo la stessa retta d’azione (2° proprietà).

Un possibile equivolo sarebbe: ma quindi niente si può muovere!

Prendiamo il caso di un blocco legato ad una fune, che viene tirata fino a far spostare il blocco. la forza esercitata dalla fune ha un punto di applicazione diverso da quella esercitata dal blocco, una si trova sulla fune e l’altra sul blocco. Quindi, considerando solo il blocco per esempio, abbiamo che la forza che agisce su di esso è solo quella della fune, e viceversa.

Cos’è il determinismo Newtoniano?

Il determinismo newtoniano afferma che conoscendo con esattezza lo stato iniziale di un sistema (cioè le posizioni e le velocità di tutte le particelle) e le leggi fisiche che lo governano, è possibile prevedere con certezza tutto ciò che accadrà in futuro, così come risalire a tutto ciò che è accaduto nel passato.

Data un’equazione m d²x/dt² = F, date le condizioni iniziali x₀ e v₀ e nota F nel tempo, esiste una sola funzione x(t) che soddisfa l’equazione.
Quindi il futuro (e il passato) del corpo è completamente determinato.

Dimostrami la conservazione di quantità di moto

Parto da un punto P, a cui viene impressa una forza F. So che

p = mv

derivo

(*) dp/dt = m dv/dt = ma = F (per il secondo principio)

Se ho due corpi che interagiscono, per il 3° principio ho che (£)

F₁₂ = F₂₁

Per (*) F₁₂ = dp₁/dt, mentre F₂₁ = dp₂/dt

Allora, quando vengono sommate, d(p₁ + p₂)/dt = F₁₂ - F₂₁ = 0

Quindi la quantità di moto totale p = p₁ + p₂ è costante e si conserva nel tempo

dimostra la base fenomenologica della 1° proprietà del 3° principio di Newton

Si dimostra tramite la conservazione della quantità di moto durante un urto elastico.

dimostra la conservazione del momento angolare

dL₀ /dt = d(OP x p)/dt = dOP/dt x p + dp/dt x OP = v x p + OP x F

dove

• v x p = 0 perchè v//p

• OP x F = M_o (momento della forza)

Quindi M_o = dL_o/dt

considero L_o = L_o1 + L_o2

derivo:

d(L_o1 + L_o2)/dt = OP₁ x F₁₂ + OP₂ x F₂₁

che per il 3° principio sarebbe

(OP₁ - OP₂) x F₁₂ = P₁P₂ x F₁₂ = 0 perchè parallele

Quindi dL₀ /dt = 0 → L₀ totale si conserva

dimostra che M_o = dL_o/dt

dL₀ /dt = d(OP x p)/dt = dOP/dt x p + dp/dt x OP = v x p + OP x F

dove

• v x p = 0 perchè v//p

• OP x F = M_o (momento della forza)

Quindi M_o = dL_o/dt

cosa dice il teorema di Noether?

Se un sistema ha una simmetria continua che dipende da n parametri, allora esistono n qantità fisiche associate che si conservano.
Con deboli assunzioni Noether trovò che la conservazione della quantità di moto è dovuta all’omogeneità dello spazio, mentre la conservazione del momento angolare è dovuta all’isotropia dello spazio.

differenza tra massa inerziale e massa gravitazionale?

La massa inerziale misura la resistenza di un corpo all’accelerazione quando sottoposto a una forza (F = m_i·a).
La massa gravitazionale misura quanto un corpo subisce o produce forza gravitazionale (F_p = m_g·g o legge di gravitazione universale).
Esperimenti mostrano che sono numericamente uguali (principio di equivalenza), per cui tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione in assenza di attrito.

Considerazioni sulla forza peso?

La forza peso è la forza con cui la Terra attrae un corpo di massa m verso il suo centro:

P=mg

È diretta verso il basso (verso il centro della Terra) ed è un caso particolare della forza gravitazionale, valida vicino alla superficie terrestre dove g è quasi costante.

spiegami la reazione vincolare normale

È la forza esercitata da una superficie perpendicolarmente al contatto con un corpo, che impedisce a quest’ultimo di penetrarla. In assenza di altre forze verticali, bilancia il peso (N=P).

spiega la tensione esercitata su un filo

È la forza trasmessa lungo un filo o una corda tesa, diretta sempre verso l’interno del filo (tirando gli estremi). In un filo ideale (massa trascurabile e inestensibile) la tensione è la stessa in ogni punto.

tre leggi di Amontons e Coulomb

• Quando il corpo è fermo:

  Fs < μ_sN

• le superfici iniziano a scorrere se:

  Fs = μ_sN

• se le due superfici scorrono, l’attrito dinamico:

  Fd = μ_dN

0 < μ_d < μ_s < 1

da cosa è originato l’attrito?

Deriva da irregolarità microscopiche delle superfici e da interazioni molecolari tra i punti di contatto. Anche superfici “lisce” presentano asperità che si incastrano e richiedono forza per essere superate.

Più sono i frattali in contatto, più l’attrito sarà forte.

Spiega la formula dell’attrito viscoso

Per velocità piccole, la forza viscosa è proporzionale alla velocità:

Fv = −bv - b’ v |v|

• -bv è il coefficiente viscoso, che dipende dal fluido e dalla forma del corpo. Il segno meno indica che la forza si oppone al moto.

• - b’ v |v| è dovuto alla formazione di vortici

spiega la forza elastica

È la forza con cui un corpo elastico tende a ritornare alla forma iniziale quando viene deformato. Segue la legge di Hooke:

F = −kΔx

dove k è la costante elastica e Δx l’allungamento o la compressione.

cos’è un oscillatore armonico?

È un sistema in cui la forza è proporzionale allo spostamento e diretta verso la posizione di equilibrio:

F=−kx

e segue la legge oraria:

x(t) = A sen (wt + phi)

Esempi: massa su molla, pendolo per piccole oscillazioni. Il moto risultante è armonico semplice, con oscillazioni sinusoidali

Come funziona il pendolo semplice?

È costituito da una massa puntiforme appesa a un filo inestensibile e senza massa, di lunghezza L. Oscilla sotto l’azione della componente tangenziale del peso.

dimostra la formula dell’accelerazione del pendolo semplice

v(t) = v(t) u_T (t)

u_T = (cosa, sina)

calcolo la derivata della velocità

dv/dt = dv/dt u_T + du_T/dt v

du_T/dt = (da/dt -sena, da/dt cosa) = da/dt (-sena, cosa) = da/dt u_N

per il moto circolare v = dx/dt = L da/dt

quindi da/dt = v/L

l’accelerazione è quindi

a = dv/dt = dv/dt u_T + du_T/dt v = dv/dt u_T + v/L u_N v = dv/dt u_T + v²/L u_N

qual è l’equazione per il moto di un pendolo semplice?

equazione di Newton:

• m_i a = T + m_g g

lungo la direzione tangenziale:

• m_i L d²a/dt² = -m_g g sena

lungo la direzione normale:

• m_i L d²a/dt² = T - m^g g cosa

Concentrandomi sull’equazione tangenziale posso effettuare l’approssimazione per piccole oscillazioni, semplificando sina con a:

d²a/dt + m_g/m_i g/L a = 0

che è la classica equazione per l’oscillatore armonico, che ha pulsazione:

w = sqrt(m_g/m_i g/L) = sqrt(g/L)

e periodo:

T = 2pi/w

Cosa s’intende per approssimazione delle piccole oscillazioni?

Quando l’angolo di oscillazione θ è piccolo, si può approssimare sin⁡θ≈θ (in radianti). Questo linearizza l’equazione del moto, che diventa quella di un oscillatore armonico semplice.