Chapitre 1 : Structures algébriques

Flashcards sous forme de vocabulaire et définitions sur le cours de structures algébriques (groupes, anneaux, corps, idéaux, congruences et algèbres).

Sous-groupe engendré par une partie

Pour une partie $A \subset G$ d'un groupe $(G, \times)$, c'est l'intersection de tous les sous-groupes de $G$ qui contiennent $A$, notée $\text{Gr}(A)$. C'est le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$.

Partie génératrice d'un groupe

Une partie $A \subset G$ d'un groupe $(G, \times)$ telle que $\text{Gr}(A) = G$.

Groupe monogène

Un groupe $(G, \times)$ pour lequel il existe un élément $g \in G$ tel que $G = \text{Gr}(g)$.

Groupe cyclique

Un groupe monogène fini.

Ordre d'un élément d'un groupe

Pour un élément $a \in G$ d'un groupe $(G, \times)$, si $\text{Gr}(a)$ est fini, l'ordre de $a$ est défini par $\text{ord}(a) = \text{Card}(\text{Gr}(a))$.

Groupe des inversibles d'un anneau

Pour un anneau $(A, +, \times)$, l'ensemble $A^* = \{a \in A \mid \exists b \in A, a \times b = b \times a = 1_A\}$ muni de la loi $\times$.

Anneau produit

Pour deux anneaux $(A, +, \times)$ et $(A', \star, \ast)$, c'est l'ensemble $A \times A'$ muni des lois produit définies par $(a, a') \oplus (b, b') = (a+b, a' \star b')$ et $(a, a') \otimes (b, b') = (a \times b, a' \ast b')$.

Anneau intègre

Un anneau $(A, +, \times)$ dans lequel pour tous $a, b \in A$, la relation $a \times b = 0$ implique $a = 0$ ou $b = 0$.

Corps

Un anneau commutatif $(A, +, \times)$ dans lequel tout élément non nul est inversible pour la loi $\times$, c'est-à-dire $A^* = A \setminus \{0\}$.

Sous-corps

Une partie $K$ d'un corps $L$ qui est un sous-anneau de $L$ et telle que pour tout $x \in K \setminus \{0\}$, $x^{-1} \in K$.

Classe d'équivalence modulo $n$

Pour $a \in \mathbb{Z}$ et $n \ge 2$, l'ensemble noté $\bar{a} = a + n\mathbb{Z} = \{a + kn \mid k \in \mathbb{Z}\}$.

Indicatrice d'Euler

La fonction notée $\varphi(n)$ définie par $\varphi(n) = \text{Card}(\{k \in \{0, \dots, n-1\} \mid k \wedge n = 1\}) = \text{Card}((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*)$.

Théorème d'Euler

Pour tous $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}^*$ tels que $a \wedge n = 1$, $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n$, c'est-à-dire que pour tout $x \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$, $x^{\varphi(n)} = \bar{1}$.

Théorème de Fermat

Si $p$ est un nombre premier ne divisant pas $a$, alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$. Par conséquent, pour tout $a \in \mathbb{Z}$, $a^p \equiv a \pmod p$.

Idéal d'un anneau commutatif

Une partie $I$ d'un anneau commutatif $(A, +, \times)$ qui est un sous-groupe de $(A, +)$ et telle que pour tout $a \in A$ et tout $x \in I$, $a \times x \in I$.

Idéal principal

Un idéal de la forme $bA = \{b \times c \mid c \in A\}$, engendré par un élément $b \in A$.

Polynômes associés

Deux polynômes $A, B \in K[X]$ pour lesquels il existe $\lambda \in K^*$ tel que $A = \lambda B$.

Polynôme irréductible

Un polynôme $P \in K[X]$ de degré $\ge 1$ dont les seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes associés à $P$.

K-algèbre

Une structure $(A, +, \times, \cdot)$ telle que $(A, +, \times)$ est un anneau, $(A, +, \cdot)$ est un $K$-espace vectoriel, et $\lambda \cdot (a \times b) = (\lambda \cdot a) \times b = a \times (\lambda \cdot b)$ pour tout $\lambda \in K$ et $a, b \in A$.

Sous-algèbre

Une partie $B$ d'une $K$-algèbre $A$ qui est à la fois un sous-anneau et un sous-espace vectoriel de $A$.

Morphisme d'algèbres

Une application $f : A \rightarrow A'$ entre deux $K$-algèbres qui est simultanément un morphisme d'anneaux et une application linéaire.

Matrice nilpotente

Une matrice $A \in M_n(K)$ pour laquelle il existe un entier $k \ge 1$ tel que $A^k = 0$.

Groupe

Ensemble $G$ muni d'une loi de composition interne associative, possédant un élément neutre et où tout élément est inversible.

Sous-groupe

Partie non vide $H$ d'un groupe $(G, \times)$, stable par la loi $\times$ et stable par passage à l'inverse.

Propriété de l'intersection de sous-groupes

L'intersection de toute famille de sous-groupes d'un groupe $G$ est un sous-groupe de $G$.

Forme des sous-groupes de $(\mathbb{Z}, +)$

Les sous-groupes de $(\mathbb{Z}, +)$ sont exactement les ensembles de la forme $n\mathbb{Z} = {kn \mid k \in \mathbb{Z}}$ pour $n \in \mathbb{N}$.

Unicité du générateur naturel d'un sous-groupe de $\mathbb{Z}$

Pour tout sous-groupe $H$ de $(\mathbb{Z}, +)$, il existe un unique entier $n \in \mathbb{N}$ tel que $H = n\mathbb{Z}$.

Intersection des sous-groupes $a\mathbb{Z}$ et $b\mathbb{Z}$

L'ensemble $a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z} = m\mathbb{Z}$ où $m = \text{ppcm}(a, b)$.

Condition pour que la réunion $H \cup K$ soit un sous-groupe

La réunion de deux sous-groupes $H$ et $K$ d'un groupe $G$ est un sous-groupe si et seulement si $H \subset K$ ou $K \subset H$.

Sous-groupe engendré par une partie $A \subset G$

Noté $\text{Gr}(A)$, c'est l'intersection de tous les sous-groupes de $G$ contenant $A$. C'est le plus petit sous-groupe de $G$ (pour l'inclusion) contenant $A$.

Description des éléments du sous-groupe engendré $\text{Gr}(A)$

Ensemble de tous les produits finis d'éléments appartenant à $A \cup A^{-1}$.

Partie génératrice d'un groupe $G$

Partie $A \subset G$ telle que $\text{Gr}(A) = G$.

Expression de $\text{Gr}(a)$ pour un élément $a \in G$

Ensemble ${a^k \mid k \in \mathbb{Z}}$ en notation multiplicative (ou ${ka \mid k \in \mathbb{Z}}$ en notation additive).

Groupe monogène

Groupe $(G, \times)$ pour lequel il existe un élément $g \in G$ tel que $G = \text{Gr}(g)$.

Groupe cyclique

Un groupe monogène fini.

Générateurs du groupe additif $(\mathbb{Z}, +)$

Les seuls générateurs de $(\mathbb{Z}, +)$ sont $1$ et $-1$.

Générateur canonique du groupe $U_n$ des racines $n$-ièmes de l'unité

L'élément complex $\xi = e^{\frac{2i\pi}{n}}$.

Ordre d'un élément $a$ d'un groupe

Si $\text{Gr}(a)$ est fini, c'est le cardinal de $\text{Gr}(a)$, noté $\text{ord}(a) = \text{Card}(\text{Gr}(a))$.

Caractérisation de l'ordre d'un élément via le neutre

L'ordre d'un élément $a$ est le plus petit entier $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $a^k = 1$.

Caractérisation des entiers $k$ tels que $a^k = 1$

L'égalité $a^k = 1$ a lieu si et seulement si $\text{ord}(a)$ divise $k$.

Forme explicite de $\text{Gr}(a)$ lorsque $\text{ord}(a) = d$

Ensemble ${1, a, a^2, \dots, a^{d-1}} = {a^r \mid r \in {0, \dots, d-1}}$.

Ordre d'une transposition dans $S_n$

Une transposition est toujours d'ordre $2$.

Ordre d'un $k$-cycle dans $S_n$

Un cycle de longueur $k$ est toujours d'ordre $k$.

Ordre d'une permutation décomposée en cycles disjoints

C'est le plus petit commun multiple ($\text{ppcm}$) des longueurs des cycles apparaissant dans sa décomposition en cycles disjoints.

Théorème de Lagrange

Pour tout groupe fini $G$ et tout sous-groupe $H$ de $G$, le cardinal de $H$ divise le cardinal de $G$ ($\text{Card}(H) \mid \text{Card}(G)$).

Corollaire du théorème de Lagrange sur l'ordre d'un élément

Dans un groupe fini $G$, tout élément $a$ est d'ordre fini et $\text{ord}(a)$ divise $\text{Card}(G)$.

Groupe des inversibles d'un anneau $(A, +, \times)$

Noté $A^*$, c'est l'ensemble ${a \in A \mid \exists b \in A, a \times b = b \times a = 1_A}$.

Structure algébrique du groupe des inversibles $(A^*, \times)$

C'est un groupe pour la seconde loi de l'anneau (la multiplication).

Ensemble des inversibles de $\mathbb{Z}$

Ensemble $\mathbb{Z}^* = {1, -1}$.

Ensemble des inversibles de $K[X]$

Ensemble $(K[X])^* = K^* = K \setminus {0}$ (polynômes constants non nuls).

Ensemble des inversibles des entiers de Gauss $\mathbb{Z}[i]$

Ensemble $(\mathbb{Z}[i])^* = {1, -1, i, -i}$.

Anneau produit $A \times A'$

Ensemble $A \times A'$ muni des lois produit définies par $(a, a') \oplus (b, b') = (a+b, a' \star b')$ et $(a, a') \otimes (b, b') = (a \times b, a' \ast b')$.

Groupe des inversibles d'un anneau produit $(A \times A')^*$

C'est le produit des groupes d'inversibles : $(A \times A')^* = A^* \times A'^*$.

Anneau intègre

Anneau commutatif $(A, +, \times)$ non réduit à ${0}$ dans lequel $a \times b = 0 \implies a = 0 \text{ ou } b = 0$.

Propriété de simplification dans un anneau intègre

Si $a \neq 0$ et $a \times b = a \times c$, alors $b = c$.

Non-intégrité de $M_n(K)$ pour $n \ge 2$

Il existe des matrices non nulles dont le produit est nul (présence de diviseurs de zéro).

Corps

Anneau commutatif $(A, +, \times)$ dans lequel $1<em>A \neq 0</em>A$ et tout élément non nul est inversible ($A^* = A \setminus {0}$).

Implication entre corps et intégrité

Tout corps est un anneau intègre.

Théorème sur les anneaux commutatifs intègres finis

Tout anneau commutatif intègre et fini est un corps.

Sous-corps

Partie $K$ d'un corps $L$ qui est un sous-anneau de $L$ et stable par passage à l'inverse pour tout élément non nul ($\forall x \in K \setminus {0}, x^{-1} \in K$$).

Congruence modulo $n$

Pour $a, b \in \mathbb{Z}$ et $n \ge 2$, la relation $a \equiv b \pmod n$ signifie que $n$ divise $a - b$.

Compatibilité de la congruence avec les opérations

Si $a \equiv a' \pmod n$ et $b \equiv b' \pmod n$, alors $a + b \equiv a' + b' \pmod n$ et $a \times b \equiv a' \times b' \pmod n$.

Classe d'équivalence de $a$ modulo $n$

Notée $\bar{a}$, c'est l'ensemble $a + n\mathbb{Z} = {a + kn \mid k \in \mathbb{Z}}$.

Nombre d'éléments de l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

L'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ contient exactement $n$ éléments distincts : ${\bar{0}, \bar{1}, \dots, \overline{n-1}}$.

Structure du groupe additif $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

C'est un groupe cyclique d'ordre $n$.

Caractérisation des générateurs de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$

Ce sont les classes $\bar{a}$ avec $a \in {0, \dots, n-1}$ telles que $\text{pgcd}(a, n) = 1$.

Théorème de classification des groupes monogènes

Tout groupe monogène est isomorphe soit à $(\mathbb{Z}, +)$ (si infini), soit à $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ avec $n = \text{Card}(G)$ (si fini).

Caractérisation des inversibles de l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \times)$

La classe $\bar{a}$ est inversible dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si et seulement si $\text{pgcd}(a, n) = 1$.

Condition nécessaire et suffisante pour que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ soit un corps

L'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps si et seulement si $n$ est un nombre premier.

Théorème chinois (isomorphisme d'anneaux)

Si $m \wedge n = 1$, les anneaux $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sont isomorphes via $\bar{a}<em>{mn} \mapsto (\bar{a}</em>m, \bar{a}_n)$.

Indicatrice d'Euler $\varphi(n)$

Nombre d'entiers $k \in {0, \dots, n-1}$ premiers avec $n$, égal au cardinal $\text{Card}((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*)$.

Propriété de multiplicativité de l'indicatrice d'Euler

Si $m \wedge n = 1$, alors $\varphi(mn) = \varphi(m) \times \varphi(n)$.

Valeur de $\varphi(p^a)$ pour $p$ premier et $a \in \mathbb{N}^*$

Expression $\varphi(p^a) = p^a - p^{a-1} = p^a \left(1 - \frac{1}{p}\right)$.

Formule générale de $\varphi(n)$ par décomposition en facteurs premiers

Si $n = p<em>1^{a</em>1} \dots p<em>s^{a</em>s}$, alors $\varphi(n) = n \left(1 - \frac{1}{p<em>1}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{p</em>s}\right)$.

Théorème d'Euler

Pour tous $a \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}^*$ tels que $a \wedge n = 1$, $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n$.

Théorème de Fermat (Petit théorème de Fermat)

Si $p$ est premier et ne divise pas $a$, $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$. De manière équivalente, pour tout $a \in \mathbb{Z}$, $a^p \equiv a \pmod p$.

Idéal d'un anneau commutatif $(A, +, \times)$

Sous-groupe $I$ de $(A, +)$ vérifiant la propriété d'absorption de la multiplication : $\forall a \in A, \forall x \in I, a \times x \in I$.

Condition pour qu'un idéal $I$ soit égal à l'anneau $A$

Un idéal $I$ est égal à $A$ tout entier si et seulement s'il contient au moins un élément inversible de $A$.

Noyau d'un morphisme d'anneaux commutatifs

Pour un morphisme d'anneaux $f: A \to A'$, le noyau $\text{Ker}(f)$ est toujours un idéal de $A$.

Injectivité des morphismes de corps

Tout morphisme entre deux corps est nécessairement injectif (son noyau est réduit à ${0}$).

Idéal principal

Idéal de la forme $bA = {b \times c \mid c \in A}$, engendré par un unique élément $b \in A$.

Relation d'inclusion entre idéaux principaux $aA \subset bA$

L'inclusion $aA \subset bA$ équivaut à la divisibilité $b \mid a$.

Forme des idéaux de $\mathbb{Z}$

Tous les idéaux de $\mathbb{Z}$ sont principaux, de la forme $n\mathbb{Z}$ avec $n \in \mathbb{N}$.

Forme des idéaux de $K[X]$

Tous les idéaux de $K[X]$ sont principaux, de la forme $B K[X]$ avec $B \in K[X]$.

Polynômes associés

Deux polynômes $A, B \in K[X]$ tels qu'il existe $\lambda \in K^*$ tel que $A = \lambda B$ (ils engendrent le même idéal principal).

Somme de deux idéaux $I<em>1 + I</em>2$

Ensemble ${x<em>1 + x</em>2 \mid x<em>1 \in I</em>1, x<em>2 \in I</em>2}$, qui est le plus petit idéal contenant $I<em>1 \cup I</em>2$.

Caractérisation idéale du pgcd dans $K[X]$

L'unique polynôme unitaire $D = A \wedge B$ tel que $A K[X] + B K[X] = D K[X]$.

Caractérisation idéale du ppcm dans $K[X]$

L'unique polynôme unitaire $M = A \vee B$ tel que $A K[X] \cap B K[X] = M K[X]$.

Théorème de Bézout dans $K[X]$

Deux polynômes $A$ et $B$ sont premiers entre eux ($A \wedge B = 1$) si et seulement s'il existe $U, V \in K[X]$ tels que $AU + BV = 1$.

Théorème de Gauss dans $K[X]$

Si $A \mid BC$ et $A \wedge B = 1$, alors $A \mid C$.

Polynôme irréductible dans $K[X]$

Polynôme $P \in K[X]$ de degré $\ge 1$ dont les seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes associés à $P$.

Polynômes irréductibles de $\mathbb{C}[X]$

Ce sont exactement les polynômes de degré $1$.

Polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$

Ce sont les polynômes de degré $1$ et les polynômes de degré $2$ sans racine réelle (discriminant strictly négatif).

Décomposition en facteurs irréductibles dans $K[X]$

Tout polynôme non nul $P$ s'écrit de façon unique $P = \lambda P<em>1^{a</em>1} \dots P<em>s^{a</em>s}$ avec $\lambda \in K^<em>$, $P<em>i$ irréductibles unitaires distincts et $a</em>i \in \mathbb{N}^</em>$.

Structure de $K$-algèbre

Structure $(A, +, \times, \cdot)$ telle que $(A, +, \times)$ est un anneau, $(A, +, \cdot)$ est un $K$-espace vectoriel et $\lambda \cdot (a \times b) = (\lambda \cdot a) \times b = a \times (\lambda \cdot b)$.

Sous-algèbre

Partie $B$ d'une $K$-algèbre $A$ contenant $1_A$, stable par combinaisons linéaires et stable par produit.

Morphisme d'algèbres

Application entre deux $K$-algèbres qui est simultanément un morphisme d'anneaux et une application linéaire.

Matrice nilpotente

Matrice $A \in M_n(K)$ pour laquelle il existe un entier $k \ge 1$ tel que $A^k = 0$.

Exercice : Soit $(G, \times)$ un groupe et $H \subset G$ une partie finie non vide et stable par produit. Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$.

Correction cahier

Exercice : Soit $G$ un groupe et $H, K$ deux sous-groupes de $G$. Montrer que $H \cup K$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $H \subset K$ ou $K \subset H$.

Correction cahier