Mathematical Analysis

4th module HSE "Computer Technologies, Systems & Networks"

Дифференциальные отображения

$$D \subset \mathbb{R}^n$$

$$\bar{x}_0 \text{ — внутр. т. } D$$

$$f : D \to \mathbb{R}^m \text{ (отображение)}$$

$$f \text{ — дифф-ма в } \bar{x}_0$$

$$\iff \text{(def)}$$

$$\exists \text{ линейное } T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m : f(\bar{x}_0 + \bar{h}) = f(\bar{x}_0) + T(\bar{h}) + o(\bar{h})$$

$$\bar{h} \to 0, \quad \bar{h} \in \mathbb{R}^n$$

o-малое

$$\text{Определение } o\text{-малого}$$

$$\alpha : D \to \mathbb{R}^m ; \quad D \subset \mathbb{R}^n$$

$$\bar{x}_0 \text{ — внутр. т. } D$$

$$\alpha(\bar{x}) = o(\bar{x} - \bar{x}_0) \overset{\text{опр.}}{\iff} \lim_{\bar{x} \to \bar{x}_0} \frac{\alpha(\bar{x})}{\|\bar{x} - \bar{x}_0\|} = 0$$

$$\alpha(\bar{x}) = o(\bar{h}) \overset{\text{опр.}}{\iff} \lim_{\bar{h} \to 0} \frac{\alpha(\bar{h} + \bar{x}_0)}{\|\bar{h}\|} = 0$$

Дифференциал

$$T \text{ — дифференциал отобр. } f \text{ в } \bar{x}_0$$

$$\underbrace{df(\bar{x}_0) = d_{\bar{x}_0}f = T}_{\text{обозначение}}$$

$$\begin{pmatrix} n = 1 \\ f(x_0 + h) = f(x_0) + kh + o(h), \quad h \to 0 \\ T : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\ T(x) = k \cdot x \end{pmatrix}$$

Непрерывность дифферернциального отображения

$$\left. \begin{matrix} f : D \to \mathbb{R}^m ; \quad D \subset \mathbb{R}^n \\ \bar{x}_0 \text{ — внутр. т. } D \end{matrix} \right\} \implies$$

$$f \text{ — дифф-ма в } \bar{x}_0 \implies f \text{ — непр. в } \bar{x}_0$$

Дифференциалы координатных функций отображения

$$f : D \to \mathbb{R}^m$$

$$D \subset \mathbb{R}^n$$

$$\bar{x}_0 \in D, \quad \bar{x}_0 \text{ — внутр. т. } D$$

$$f \iff (f_1, f_2, \dots, f_m)$$

$$f(x) \in \mathbb{R}^m$$

$$\begin{cases} y_1 = f_1(x) \\ y_2 = f_2(x) \\ \dots \\ y_m = f_m(x) \end{cases}$$

Критерий и связь между дифференциалами

$$f \text{ — дифф-ма в } x_0$$

$$\iff$$

$$\forall i \quad f_i(x) \text{ — дифф-ма в } x_0.$$

$$\text{При этом, если } T \text{ — дифф-е отображение } f,$$

$$\text{то } T = (T_1, T_2, \dots, T_m),$$

$$\text{где } T_i \text{ — дифференциал } f_i.$$

Дифференциал Функции Нескольких Переменных

$$f : D \to \mathbb{R}^m$$

$$D \subset \mathbb{R}^n ; \quad \bar{x}_0 \in D \text{ — внутр. т.}$$

$$f \text{ — дифф-ма в } \bar{x}_0$$

$$\text{т.е. } \exists T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m : f(\bar{x}_0 + \bar{h}) = f(\bar{x}_0) + T(\bar{h}) + o(\bar{h})$$

$$\bar{h} \to 0$$

$$T = d_{\bar{x}_0} f = df(\bar{x}_0) \text{ — дифференциал.}$$

Производная по направлению

$$f : D \to \mathbb{R}^m$$

$$D \subset \mathbb{R}^n ; \quad x_0 \text{ — внутр. т. } D$$

$$\|\bar{e}\| = 1 , \quad \bar{e} \in \mathbb{R}^n$$

$$\varphi(t) = f(\bar{x}_0 + t \cdot \bar{e})$$

$$\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m$$

$$\text{Если } \exists \varphi'(0) \in \mathbb{R}^m, \text{ то}$$

$$\varphi'(0) \text{ — производная по направлению в т. } \bar{x}_0 \text{ функции } f(\bar{x})$$

$$D_{\bar{e}} f(\bar{x}_0) = \frac{\partial f}{\partial \bar{e}}(\bar{x}_0) = \varphi'(0) = \lim_{t \to 0} \frac{\varphi(t) - \varphi(0)}{t} =$$

$$= \lim_{t \to 0} \frac{f(\bar{x}_0 + t \cdot \bar{e}) - f(\bar{x}_0)}{t}$$

Градиент

$$f : D \to \mathbb{R}^m$$

$$D \subset \mathbb{R}^n ; \quad \bar{x}_0 \in D \text{ — внутр. т. } D$$

$$f \text{ — дифф. в } \bar{x}_0 , \quad T = d_{\bar{x}_0} f \text{ — дифференциал}$$

$$\text{Градиент:} \quad T \iff (a_1, \dots, a_n) = \bar{a}$$

$$\vec{\operatorname{grad}} f(\bar{x}_0) = (a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^n$$

Частные производные

$$f : D \to \mathbb{R}^m ; \quad D \subset \mathbb{R}^n$$

$$\bar{x}_0 \in D \text{ — внутр. т. } D$$

$$\bar{e}_1, \bar{e}_2, \bar{e}_3, \dots, \bar{e}_n \text{ — станд. базис в } \mathbb{R}^n$$

$$\text{Производная } f \text{ по направлению } \bar{e}_i \text{ в } x_0 \text{ — частная производная функции в } x_0:$$

$$\frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar{x}_0) = f'_{x_1}(x_0) = D_1 f(\bar{x}_0) = D_{\bar{e}_1} f(x_0)$$

$$\text{(Дифф } \implies \exists \text{ частная производная)}$$

$$f'_{x_i}(\bar{x}_0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(\bar{x}_0 + t \bar{e}_i) - f(\bar{x}_0)}{t} =$$

$$= \lim_{t \to 0} \frac{f(x_1^0, x_2^0, \dots, x_i^0 + t, \dots, x_n^0) - f(x_1^0, \dots, x_n^0)}{t}$$

Координаты градиента

$$f \text{ — дифф. в } \bar{x}_0 \implies$$

$$\vec{\operatorname{grad}} f(\bar{x}_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(\bar{x}_0), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\bar{x}_0) \right)$$

Матрица дифференциала отображения

$$f \text{ — отобр. } ; \quad f : D \to \mathbb{R}^m , \quad D \subset \mathbb{R}^n$$

$$f \text{ — дифф. в } \bar{x}_0 \text{ (внутр. т. } D)$$

$$\downarrow \quad \longleftrightarrow \quad \underbrace{T}_{d_{\bar{x}_0} f} \longleftrightarrow \left( \underbrace{T_1}_{d_{\bar{x}_0} f_1}, \underbrace{T_2}_{d_{\bar{x}_0} f_2}, \dots, \underbrace{T_m}_{d_{\bar{x}_0} f_m} \right)$$

$$\forall i \quad f_i \text{ — дифф. в } \bar{x}_0 \quad \implies \quad T_i = \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial f_i}{\partial x_n} \right)$$

$$d_{x_0} f \longleftrightarrow T = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \\ \vdots \\ h_n \end{pmatrix}$$

Дифференциал суперпозиции

$$D \subset \mathbb{R}^n, \quad G \subset \mathbb{R}^m$$

$$f : D \to G, \quad g : G \to \mathbb{R}^p$$

$$\bar{x}_0 \in D \text{ — внутр. т.} , \quad \bar{y}_0 \in G \text{ — внутр. т.}$$

$$D \xrightarrow{f} G \xrightarrow{g} \mathbb{R}^p \quad \implies \quad F : D \to \mathbb{R}^p , \quad F = g \circ f$$

$$\text{Композиция (суперпозиция) отображений.}$$

$$\text{Тогда, если:}$$

$$1) \quad f \text{ — дифф. в } \bar{x}_0$$

$$2) \quad g \text{ — дифф. в } \bar{y}_0 = f(\bar{x}_0)$$

$$3) \quad T \text{ — дифференциал } f \text{ в } \bar{x}_0 \quad (T = d_{x_0} f)$$

$$4) \quad S \text{ — дифференциал } g \text{ в } \bar{y}_0 \quad (S = d_{y_0} g)$$

$$\implies \quad F \text{ — дифф. в } \bar{x}_0 \quad \text{и}$$

$$d_{x_0} F = S \circ T = S \cdot T = d_{y_0} g \cdot d_{x_0} f$$

$$(f \circ \varphi)'(x_0) = f'(\varphi(x_0)) \cdot \varphi'(x_0)$$

Частные производные сложных функций (цепное правило)

$$p = 1$$

$$G \xrightarrow{f} G' \xrightarrow{g} \mathbb{R}^1$$

$$G \subset \mathbb{R}^n , \quad G' \subset \mathbb{R}^m$$

$$F : G \to \mathbb{R}$$

$$\bar{x}_0 \text{ — внутр. т. } G$$

$$f \text{ — дифф. в } \bar{x}_0 , \quad g \text{ — дифф. в } \bar{y}_0 = f(\bar{x}_0)$$

$$\text{---------------------------------------------}$$

$$f = (f_1, f_2, \dots, f_m) , \quad g = g(y_1, y_2, \dots, y_m)$$

$$F = g(f(\bar{x})) =$$

$$= g(f_1(x_1, \dots, x_n), \dots, f_m(x_1, \dots, x_n))$$

$$D_i F(\bar{x}_0) = \sum_{j=1}^m D_j g(\bar{y}_0) \cdot D_i f_j(\bar{x}_0) \quad \forall i=1\dots n$$

$$\frac{\partial F}{\partial x_i} = \sum_{j=1}^m \frac{\partial g}{\partial y_j} \cdot \frac{\partial f_j}{\partial x_i}$$

$$F'_{x_i} = \frac{\partial g}{\partial y_1} \cdot \frac{\partial f_1}{\partial x_i} + \frac{\partial g}{\partial y_2} \cdot \frac{\partial f_2}{\partial x_i} + \dots + \frac{\partial g}{\partial y_m} \cdot \frac{\partial f_m}{\partial x_i}$$

Существование частных производных и дифференцируемость

$$\text{Знаем, что дифференциал композиции —}$$

$$\text{композиция дифференциалов.}$$

$$f : G \to \mathbb{R} , \quad G \subset \mathbb{R}^n$$

$$f \text{ — дифф. в } \bar{x}_0 \text{ (внутр. т. } G) \implies$$

$$\implies \forall i \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_i}$$

$$\impliedby ?$$

$$\begin{matrix} n = 1 \quad (+) \\ n \geq 2 \quad (-) \end{matrix}$$

Частные производные высших порядков

$$f : G \to \mathbb{R}$$

$$G \subset \mathbb{R}^n ; \quad \forall \bar{x} \in G \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_i}(\bar{x}) ; \quad \frac{\partial f}{\partial x_i} : G \to \mathbb{R}$$

$$\frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f}{\partial x_j} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} = f''_{x_i x_j}$$

$$\text{— частная производная второго порядка}$$

$$i = j \text{ — чистая производная (по одной переменной)}$$

$$i \neq j \text{ — смешанная производная}$$

Равенство смешанных производных

$$f : G \to \mathbb{R} , \quad G \subset \mathbb{R}^n , \quad G \text{ — открытое}$$

$$\text{Если в окрестности } \bar{x}_0 \text{ существуют смешанные}$$

$$\text{частные производные и они непрерывны в } \bar{x}_0,$$

$$\text{тогда значение частной производной не зависит}$$

$$\text{от порядка дифференцирования:}$$

$$\frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1} \dots \partial x_{i_k}}(\bar{x}_0) = \frac{\partial^k f}{\partial x_{j_1} \dots \partial x_{j_k}}(\bar{x}_0)$$

$$(j_1, \dots, j_k) \text{ — перестановка } (i_1, i_2, \dots, i_k)$$

Дифференциальные операторы

$$f \in C^k , \quad \frac{\partial}{\partial x_i} : C^k \to C^{k-1}$$

$$C^k \text{ — класс функций, у которых } \exists \text{ непр. частные}$$

$$\text{производные до } k\text{-ого порядка включительно.}$$

$$\text{Основные дифф. операторы:} \quad \frac{\partial}{\partial x_1}, \frac{\partial}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_n}$$

$$\text{Линейные операторы, полученные из основных}$$

$$\text{сложением/умножением } (+, \cdot\lambda, \cdot), \text{ будем}$$

$$\text{называть дифф. оператором.}$$

$$\text{Свойства операторов:}$$

$$\text{а)} \quad \left( \frac{\partial}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_j} \right)(f) = \frac{\partial f}{\partial x_i} + \frac{\partial f}{\partial x_j}$$

$$\text{б)} \quad \left( \lambda \frac{\partial}{\partial x_i} \right)(f) = \lambda \frac{\partial f}{\partial x_i}$$

$$\text{в)} \quad \left( \frac{\partial}{\partial x_i} \cdot \frac{\partial}{\partial x_j} \right)(f) = \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{\partial f}{\partial x_j} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$$

Дифференциалы высших порядков

$$df_{x_0}(h) = \left( \sum_{i=1}^n h_i \frac{\partial}{\partial x_i} \right) (f)(x_0)$$

$$\text{— первый дифференциал (в скобках конкретный дифф. оператор)}$$

$$d^2 f_{x_0}(h) = \left( \sum_{i=1}^n h_i \frac{\partial}{\partial x_i} \right)^2 (f)$$

$$\text{— второй дифференциал}$$

Многомерная формула Тейлора

$$f(\bar{x}_0 + \bar{h}) = T_{m, f, \bar{x}_0}(\bar{h}) + R_m(\bar{h})$$

$$T_{m, f, \bar{x}_0}(\bar{h}) = \sum_{k=0}^m \frac{d^k f(\bar{x}_0)(\bar{h})}{k!} = \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!} d^k f(\bar{x}_0)(h)$$

$$\text{— многочлен Тейлора степени } m$$

$$\text{Для } f : D \to \mathbb{R} ; \quad D \subset \mathbb{R}^n ; \quad f \in C^m(D).$$

f \in C^{m+1}(D) \implies R_m = \frac{1}{(m+1)!} d^{m+1} f(\bar{x}_0 + \theta \bar{h})(\bar{h}), \quad 0 < \theta < 1

$$\text{в частности, } R_m = o(\|\bar{h}\|^m), \quad \bar{h} \to 0$$

Экстремумы ФНП: Определение

$$f : D \to \mathbb{R} ; \quad D \subset \mathbb{R}^n ; \quad \bar{x}_0 \in D$$

$$\text{а) } \bar{x}_0 \text{ — т. локального } \min f(\bar{x}), \text{ если}$$

$$\exists \text{ окрестность } V(\bar{x}_0) : \forall \bar{x} \in V(\bar{x}_0) \quad f(\bar{x}) \geq f(\bar{x}_0)$$

$$\text{строгий } \min f(\bar{x}):$$

\exists \text{ окрестность } V(\bar{x}_0) : \forall \bar{x} \in V(\bar{x}_0) \setminus \{\bar{x}_0\} \quad f(\bar{x}) > f(\bar{x}_0)

$$\text{б) } \bar{x}_0 \text{ — т. локального } \max f(\bar{x}), \text{ если}$$

$$\exists \text{ окрестность } V(\bar{x}_0) : \forall \bar{x} \in V(\bar{x}_0) \quad f(\bar{x}) \leq f(\bar{x}_0)$$

$$\text{строгий } \max f(\bar{x}):$$

\exists \text{ окрестность } V(\bar{x}_0) : \forall \bar{x} \in V(\bar{x}_0) \setminus \{\bar{x}_0\} \quad f(\bar{x}) < f(\bar{x}_0)

Экстремумы ФНП: Необходимые условия

$$f : D \to \mathbb{R} ; \quad D \subset \mathbb{R}^n ; \quad \bar{x}_0 \in D$$

$$\bar{x}_0 \text{ — т. экстремума } f(\bar{x})$$

$$\text{Если в } \bar{x}_0 \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_i}, \text{ то } \frac{\partial f}{\partial x_i}(\bar{x}_0) = 0$$

$$\text{обратное неверно.}$$

$$\underline{\text{Следствие}}$$

$$\bar{x}_0 \text{ — т. экстремума} \implies$$

$$\begin{bmatrix} \nexists \frac{\partial f}{\partial x_i}(\bar{x}_0) \\ \\ \frac{\partial f}{\partial x_i}(\bar{x}_0) = 0 \end{bmatrix}$$

Знакоопределенные квадратичные формы

$$\varphi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$$

$$\varphi(h) = \sum_{1 \leq i, j \leq n} a_{i j} h_i h_j , \quad a_{i j} \in \mathbb{R} , \quad a_{i j} = a_{j i}$$

Критерий Сильвестра

$$M = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} &amp; \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} &amp; \dots &amp; \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} &amp; \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} &amp; \dots &amp; \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} &amp; \dots &amp; \dots &amp; \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{pmatrix}$$

$$M_1, M_2, \dots, M_n \text{ — угловые миноры.}$$

$$\text{(начиная с левого верхнего угла строим}$$

$$\text{матрицы размера } i \times i, \text{ где } i=1\dots n)$$

$$\text{Локальный минимум } (\bar{x}_0 \text{ — лок. } \min):$$

\det M_1 > 0, \quad \det M_2 > 0, \quad \dots, \quad \det M_n > 0

$$\text{Локальный максимум } (\bar{x}_0 \text{ — лок. } \max):$$

\det M_1 < 0, \quad \det M_2 > 0, \quad \det M_3 < 0, \quad \dots

$$\text{чередование знаков: } -, +, -, +, \dots$$

Достаточные условия экстремума

$$f \in C^2, \quad f : D \to \mathbb{R} , \quad D \subset \mathbb{R}^n$$

$$\bar{x}_0 : \forall i \quad \frac{\partial f}{\partial x_i}(\bar{x}_0) = 0$$

$$M = \left\{ a_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} , \quad \begin{matrix} i \in [1\dots n] \\ j \in [1\dots n] \end{matrix} \right\}$$

$$\text{По критерию Сильвестра:}$$

\forall k : \det M_k > 0 \implies \bar{x}_0 \text{ — лок. } \min

$$M_k \text{ — угловой минор } M$$

\det M_1 < 0, \quad \det M_2 > 0, \quad \det M_3 < 0 \dots \implies \bar{x}_0 \text{ — лок. } \max

$$\text{Если } \det M = 0 \text{ — ничего сказать нельзя.}$$

Конструкция двойного интеграла

$$\text{Если } \exists J \in \mathbb{R} : \quad J = \lim_{\operatorname{rg} T \to 0} S(f, T, \xi),$$

$$\text{то: } \quad J = \iint\limits_D f = \iint\limits_D f(x, y) \, dx dy$$

$$\text{---------------------------------------------}$$

$$\bullet \ T \text{ — дробление (разбиение) } D \ (D \subset \mathbb{R}^2), \text{ если } T \text{ — набор } D_i :$$

$$\text{а) } \bigcup_{i=1}^n D_i = D \quad (\implies D_i \subset D \ \forall i)$$

$$\text{б) } \forall i, j, \ i \neq j : \quad D_i \cap D_j = \varnothing$$

$$\text{---------------------------------------------}$$

$$\xi_i \in D_i, \quad \xi = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n)$$

$$\Delta S_i = S(D_i) \text{ — площадь } D_i$$

$$S(f, T, \xi) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \cdot \Delta S_i \text{ — интегральная сумма Римана}$$

Суммы Римана

$$f : D \to \mathbb{R}$$

$$S = S(f, T, \xi) = \sum_{i=1}^n f(\xi_i) |D_i| \text{ — интегральная сумма Римана}$$

Суммы Дарбу

$$f : D \to \mathbb{R} ; \quad D \subset \mathbb{R}^2 ; \quad D \text{ — квадрируемо}$$

\left[ \text{Квадрируемо } \iff \forall \varepsilon > 0 \ \exists P, Q \text{ (многоуг.)} : \begin{cases} P \subset D \subset Q \\ S(Q) - S(P) < \varepsilon \end{cases} \right]

$$f \text{ — ограничена на } D$$

$$T \text{ — дробление } D$$

$$U(f, T) = \sum_{i=1}^n M_i \cdot |D_i|, \quad M_i = \sup_{D_i} f \quad \text{— Верхняя сумма Дарбу}$$

$$L(f, T) = \sum_{i=1}^n m_i \cdot |D_i|, \quad m_i = \inf_{D_i} f \quad \text{— Нижняя сумма Дарбу}$$

$$\text{---------------------------------------------}$$

$$\text{Многоугольник: } P = \bigcup_i S_i , \quad S_i \text{ — треугольники.}$$

Свойства сумм Дарбу

$$\text{а) } \forall T, \ \forall \xi \quad L(f, T) \leq S(f, T, \xi) \leq U(f, T)$$

$$\text{б) } T_1 \text{ мельче } T \overset{\text{опр.}}{\iff} \forall D_i \text{ — объединение множеств из } T_1$$

$$L(f, T_1) \geq L(f, T) \quad \text{при } \operatorname{rg} T \downarrow$$

$$U(f, T_1) \leq U(f, T) \quad \text{при } \operatorname{rg} T \downarrow$$

$$\text{в) } \sup_{\xi} S(f, T, \xi) = U(f, T) , \quad \inf_{\xi} S(f, T, \xi) = L(f, T)$$

$$\text{г) } \forall T_1, T_2 \text{ — дробление } D: \quad L(f, T_1) \leq U(f, T_2)$$

$$\widetilde{T} \text{ — дробление } D, \text{ мельче } T_1 \text{ и } T_2:$$

$$L(f, T_1) \underset{\text{б)}}{\leq} L(f, \widetilde{T}) \leq$$

$$\leq U(f, \widetilde{T}) \underset{\text{б)}}{\leq} U(f, T_2)$$

$$\text{д) Мн-во нижних сумм Дарбу левее верхних сумм Дарбу } \implies$$

$$\implies \exists \text{ разделяющая точка.}$$

Критерий интегрируемости

$$f : D \to \mathbb{R} ; \quad D \subset \mathbb{R}^2 , \quad D \text{ — квадрируема.}$$

$$\text{f — огр. на } D, \text{ тогда следующие условия равносильны:}$$

$$\text{1) } f \text{ — интегрируема в смысле сумм Дарбу.}$$

\text{2) } \forall \varepsilon > 0 : \exists T_1, T_2 \quad U(f, T_1) - L(f, T_2) < \varepsilon

\text{3) } \forall \varepsilon > 0 : \exists \delta > 0 : \forall T : \operatorname{rg} T < \delta \implies

\implies |U(f, T) - L(f, T)| < \varepsilon

Свойства кратного интеграла

$$\text{а) Линейность по функции:}$$

$$f, g \text{ — инт. на } D, \quad \lambda \in \mathbb{R}$$

$$\implies f+g \text{ — инт. на } D \quad \text{и}$$

$$\iint\limits_D (f+g) = \iint\limits_D f + \iint\limits_D g$$

$$\implies \lambda f \text{ — инт. на } D \quad \text{и} \quad \iint\limits_D \lambda f = \lambda \iint\limits_D f$$

$$\text{---------------------------------------------}$$

$$\text{б) Монотонность:}$$

$$\left. \begin{matrix} f, g \text{ — инт. на } D \\ f \leq g \text{ на } D \end{matrix} \right\} \implies \iint\limits_D f \leq \iint\limits_D g$$

$$\text{---------------------------------------------}$$

$$\text{в) Аддитивность по множеству:}$$

$$\left. \begin{matrix} D = D_1 \cup D_2 \\ D_1 \cap D_2 = \varnothing \\ D_1, D_2 \text{ — квадрируемы} \end{matrix} \right\} \implies$$

$$\implies f \text{ — инт. на } D \iff f \text{ — инт. на } D_1 \text{ и } D_2$$

$$\iint\limits_D f = \iint\limits_{D_1} f + \iint\limits_{D_2} f$$

Сведение кратного интеграла к повторному: Случай произвольной области

$$1) \quad D \text{ — элементарная по отнош. к } X:$$

$$D = \{ (x, y) \mid a \leq x \leq b, \quad \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x) \}$$

$$D \text{ — квадрируемая } \implies \text{ ограничена.}$$

$$f : D \to \mathbb{R}, \quad f \text{ — инт. на } D$$

$$\forall x \in [a, b] \quad \exists J(x) = \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \, dy \implies$$

$$\implies J(x) \text{ — интегрируема на } [a, b], \text{ и}$$

$$\int_a^b J(x) \, dx = \iint\limits_D f(x, y) \, dx dy, \quad \text{т.е.}$$

$$\int_a^b \left( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \, dy \right) dx = \iint\limits_D f(x, y) \, dx dy$$

Сведение кратного интеграла к повторному: Случай прямоугольной области

$$\left. \begin{matrix} f : \Pi \to \mathbb{R} \\ \Pi = [a, b] \times [c, d] \\ f \text{ — интегрируема на } \Pi \\ \forall x \in [a, b] \quad \exists J(x) = \int_c^d f(x, y) \, dy \end{matrix} \right\} \implies$$

$$\implies J(x) \text{ — интегрируема на } [a, b] \quad \text{и}$$

$$\int_a^b \left( \int_c^d f(x, y) \, dy \right) dx = \iint\limits_\Pi f(x, y) \, dx dy$$

Двойной интеграл и объем

$$f(x,y) \geq 0 \text{ на } D, \quad D \text{ — квадрируемая}$$

$$f \text{ — инт. на } D, \quad T = \{ (x,y,z) \mid (x,y) \in D, \ 0 \leq z \leq f(x,y) \}$$

$$\text{подграфик } f \text{ на } D \quad (\text{цилиндр над } D, \text{ крышка — } f(x,y))$$

$$\Downarrow$$

$$\iint\limits_D f(x,y) \, dx dy = V(T)$$

$$\left( \iint\limits_D 1 \, dx dy = |D| \right) \quad (\text{для цилиндра высоты 1: } S = V \text{ численно})$$

$$\text{---------------------------------------------}$$

$$L(f, \{D_i\}) \leq V_*(T) \leq V^*(T) \leq U(f, \{D_i\})$$

$$\text{Дробление, } \quad V_* \text{ — нижний объем, } \quad V^* \text{ — верхний объем}$$

$$\operatorname{rg} \{D_i\} \to 0 \implies \iint\limits_D f(x,y) \, dx dy$$

Формула замены переменной в кратном интеграле

$$1) \quad \varphi : G \to D, \quad \varphi \in C(\bar{G}) \quad (\bar{G} \text{ — с границей области})$$

$$\varphi \in C^1(G)$$

$$\varphi \text{ — биекция (т.е. } \exists \varphi^{-1})$$

$$\varphi^{-1} \in C^1(G) \quad (\text{то есть } \exists |J_\varphi| \neq 0)$$

$$G, D \text{ — квадрируемы}$$

$$\iint\limits_D f(x, y) \, dx dy = \iint\limits_G f(\varphi(u, v)) \cdot |J_\varphi(u, v)| \, du dv$$

$$|J_\varphi| \text{ — модуль якобиана замены переменных.}$$

Ортогональные и ортонормированные системы функций

$$1) \text{ А) } \{\varphi_k\}_{k=0}^{+\infty} \text{ — ортогональная система, если:}$$

$$\varphi_k : [a, b] \to \mathbb{R} ; \quad \varphi_k \text{ — непр. на } [a, b]$$

$$\text{а) } \forall k \neq n \quad (\varphi_k, \varphi_n) = 0 \quad (\varphi_k \perp \varphi_n)$$

$$\text{скалярное произведение: } \quad (\varphi_k, \varphi_n) = \int_a^b \varphi_k(x) \varphi_n(x) \, dx$$

\text{б) } \forall n \quad (\varphi_n, \varphi_n) > 0 \implies (\varphi_n, \varphi_n) = \lambda_n > 0

$$\sqrt{\lambda_n} \text{ — норма } \varphi_n(x) \text{ на } [a, b] \quad (\text{«длина»})$$

$$\text{---------------------------------------------}$$

$$\text{Б) } \{\varphi_k(x)\}_{k=0}^{+\infty} \text{ — ортогональная система} \implies$$

$$\implies \left\{ \frac{\varphi_k(x)}{\sqrt{\lambda_k}} \right\}_{k=0}^{+\infty} \text{ — ортонормированная система}$$

$$\text{---------------------------------------------}$$

$$\left( \frac{\varphi_k(x)}{\sqrt{\lambda_k}}, \frac{\varphi_n(x)}{\sqrt{\lambda_n}} \right) = \delta_{k,n}$$

$$\delta_{k,n} \text{ — символ Кронекера:} \quad \delta_{k,n} = \begin{cases} 1, &amp; k = n \\ 0, &amp; k \neq n \end{cases}$$

Ортогональность тригонометрической системы

$$2) \quad 1, \ \cos x, \ \sin x, \ \cos 2x, \ \sin 2x, \ \dots, \ \cos nx, \ \sin nx$$

$$\text{— ортогональная система на } [-\pi, \pi].$$

Коэффициент разложения по ортогональной системе

$$f \text{ — инт. на } [-\pi, \pi]$$

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$

$$\text{при } n \neq 0: \quad a_n = \frac{1}{\lambda_n} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx =$$

$$= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx$$

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$

$$\text{---------------------------------------------}$$

$$c_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot 1 \, dx = \frac{a_0}{2}$$

$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot 1 \, dx$$

Понятие тригонометрического ряда Фурье

$$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$

$$\text{— тригонометрический ряд Фурье}$$

$$\uparrow$$

$$f(x)$$

Теорема Дирихле

$$3) \quad f(x) \text{ — } 2\pi\text{-периодическая}$$

$$\text{f(x) — удовлетворяет условию Дирихле на } [-\pi, \pi], \text{ тогда:}$$

$$\text{Ряд Фурье } f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$$

$$\text{а) сходится}$$

$$\text{б) в т. непрерывности сх. к } f(x)$$

$$\text{в т. разрыва сх. к } \frac{f(x-0) + f(x+0)}{2}$$

$$\text{---------------------------------------------}$$

$$\text{где } \quad f(x-0) = \lim_{t \to x^-} f(t) ; \quad f(x+0) = \lim_{t \to x^+} f(t)$$

Свойства коэффициентов Фурье для четных и нечетных функций

$$f(x) \text{ — нечётная} \implies \forall n \quad a_n = 0 , \quad a_0 = 0$$

$$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin(nx) \, dx$$

$$\text{---------------------------------------------}$$

$$f(x) \text{ — чётная} \implies \forall n \quad b_n = 0$$

$$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx) \, dx$$

Разложимость в ряд Фурье только по косинусам (синусам)

f(x+T) = f(x) \quad \forall x \in D_f , \quad T = 2l > 0

$$x = \frac{l}{\pi} t \implies t = \frac{\pi}{l} x \implies$$

$$\implies f(x) = f\left(\frac{l}{\pi} t\right) = \varphi(t)$$

$$\varphi(t) \text{ — } 2\pi\text{-периодическая:} \quad \varphi(t+2\pi) = \dots = \varphi(t)$$

=============================================

$$\varphi(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt))$$

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \varphi(t) \cos(nt) \, dt$$

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \varphi(t) \sin(nt) \, dt$$

$$\text{Возвращаясь к } f(x) \text{ на } [-l, l]:$$

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{\pi n x}{l}\right) + b_n \sin\left(\frac{\pi n x}{l}\right) \right)$$

$$a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \cos\left(\frac{\pi n x}{l}\right) \, dx$$

$$b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \sin\left(\frac{\pi n x}{l}\right) \, dx$$

$$a_0 = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f(x) \, dx$$

Ряд Фурье в комплексной форме

$$f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_n e^{\frac{\pi n x}{l} \cdot i}$$

$$\forall n \in \mathbb{Z} \quad C_n = \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l} f(x) e^{-i \frac{\pi n x}{l}} dx$$

Теорема о наилучшем приближенном тригонометрическом многочлене

$$f(x);\{\psi_{k}(x)\}_{k=0}^{+\infty}—орт.системана[a,b]$$

$$f, \psi_k \in L_2[a, b] \quad \text{(квадрат. интегрируемая)}$$

$$f(x) \sim \sum_{n=0}^{+\infty} C_n \psi_n(x) \quad \text{— обобщенный ряд Фурье}$$

$$C_n = \frac{1}{\lambda_n} \int_{a}^{b} f(x) \psi_n(x) dx \quad , \quad \lambda_n = \int_{a}^{b} \psi_n^2(x) dx$$

Тогда: $S_n(x) = \sum_{k=0}^{n} C_k \psi_k(x)$

$$\sigma_n = \sum_{k=0}^{n} A_k \psi_k(x) \quad A_k \in \mathbb{R} \quad \text{($A_k$ — любые)}$$

$$\min \, \rho(f, \sigma_n) \quad \text{достигается на } S_n(x)$$

(коэфф. Фурье обеспечивают наилучшее приближение)

Неравенство Бесселя

$$\int_{a}^{b} f^2(x) dx \geq \pi \left( \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{n} (a_k^2 + b_k^2) \right)$$

$$\frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{n} (a_k^2 + b_k^2) \leq \frac{1}{\pi} \int_{a}^{b} f^2(x) dx$$

Теорема о порядке малости коэффициентов Фурье

$$1) \quad f(x) \text{ на } [-\pi; \pi]$$

$$\text{а) } \exists f', f'', \dots, f^{(p-1)} \text{ на } [-\pi, \pi]$$

$$\text{б) } \exists f^{(p)} \in L_2[-\pi; \pi]$$

$$\text{в) } \forall \nu \quad f^{(\nu)}(-\pi) = f^{(\nu)}(\pi) \quad \nu = 0 \dots (p-1)$$

$$\text{Тогда:}$$

$$\begin{cases} \lim_{n \to \infty} a_n n^p = 0 \\ \lim_{n \to \infty} b_n \cdot n^p = 0 \end{cases}$$

$$\left( \frac{a_n}{\frac{1}{n^p}} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 \right)$$

$$a_n = o\left(\frac{1}{n^p}\right) \quad b_n = o\left(\frac{1}{n^p}\right)$$

Дифференцирование рядов Фурье

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad ; \quad f \in C^1(\mathbb{R}), \quad 2\pi\text{-периодическая}$$

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) \quad \text{, тогда:}$$

$$\left[ -a_n \cdot n \sin(nx) + b_n \cdot n \cos(nx) \right]$$

$$f'(x) \sim \sum_{n=1}^{+\infty} a'_n \cos(nx) + b'_n \sin(nx), \quad \text{где}$$

$$a'_n = n \cdot b_n \quad ; \quad b'_n = -n \cdot a_n$$

Интегрирование рядов Фурье

$$2) \quad f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad ; \quad 2\pi\text{-периодическая} \quad ; \quad \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx = 0$$

$$F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$$

$$F(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (A_n \cos(nx) + B_n \sin(nx))$$

$$A_n = -\frac{b_n}{n} \quad , \quad B_n = \frac{a_n}{n}$$

$$A_0 = 2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{b_n}{n}$$

Равномерная сходимость рядов Фурье

$$1) \quad f(x) \text{ — непр. } + \text{ кус.-гл. на } [-\pi; \pi]$$

$$f(\pi) = f(-\pi) \quad (2\pi\text{-периодическая})$$

$$\text{Тогда ее ряд Фурье сх. к } f(x)$$

$$\text{на } [-\pi; \pi] \quad \text{причем равномерно}$$

$$1) \quad f(x) \text{ — непр. } + \text{ кус.-гл. на } [-\pi; \pi]$$

$$f(\pi) = f(-\pi) \quad (2\pi\text{-периодическая})$$

$$\text{Тогда ее ряд Фурье сх. к } f(x)$$

$$\text{на } [-\pi; \pi] \quad \text{причем равномерно}$$

Равенство Ляпунова

$$f \in L_2[-\pi; \pi]$$

$$\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \, dx$$