Physics High School - Oscillations (SHM)

Flashcards covering key concepts and definitions from the lecture notes on mechanical oscillations and simple harmonic motion.

Περιοδικό φαινόμενο

Ένα φαινόμενο που επαναλαμβάνει τη σειρά των γεγονότων ή των τιμών του σε τακτά, σταθερά χρονικά διαστήματα. Χαρακτηρίζεται βασικά από τη συχνότητά του (f), που είναι ο αριθμός των επαναλήψεων ανά μονάδα χρόνου, και την περίοδό του (T), που είναι ο χρόνος για έναν πλήρη κύκλο (T = 1/f). Χρησιμοποιείται επίσης η γωνιακή συχνότητα (\omega), η οποία σχετίζεται με τις σχέσεις \omega = 2\pi f = 2\pi/T. Οι μονάδες SI είναι το Hertz (Hz) για τη συχνότητα και τα δευτερόλεπτα (s) για την περίοδο.

Συχνότητα

Το μέτρο του πόσο συχνά ένα περιοδικό φαινόμενο επαναλαμβάνεται ανά μονάδα χρόνου. Είναι το αντίστροφο της περιόδου (f = 1/T). Για παράδειγμα, αν μια ταλάντωση ολοκληρώνει 10 κύκλους σε 1 δευτερόλεπτο, η συχνότητά της είναι 10 Hz. Η μονάδα SI είναι το Hertz (Hz), το οποίο είναι ισοδύναμο με s^{-1} (κύκλοι ανά δευτερόλεπτο).

Περίοδος

Η διάρκεια ενός πλήρους κύκλου μιας περιοδικής κίνησης ή φαινομένου. Αντιπροσωπεύει τον χρόνο που απαιτείται για να επιστρέψει το σύστημα στην αρχική του κατάσταση κίνησης και θέσης. Είναι το αντίστροφο της συχνότητας (T = 1/f). Η μονάδα SI είναι το δευτερόλεπτο (s).

Γωνιακή συχνότητα

Συμβολίζεται με \omega, η γωνιακή συχνότητα περιγράφει τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας φάσης ενός περιοδικού φαινομένου, συνήθως σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο. Σχετίζεται άμεσα με τη συχνότητα (f) και την περίοδο (T) μέσω των σχέσεων \omega = 2\pi f και \omega = 2\pi / T. Η μονάδα SI είναι ακτίνια ανά δευτερόλεπτο (rad/s).

Φάση

Η γωνία \varphi (ή συχνά \phi) μέσα στο όρισμα της ημιτονοειδούς συνάρτησης που περιγράφει μια περιοδική κίνηση (π.χ., x(t) = A \sin(\omega t + \varphi)). Αντιπροσωπεύει το συγκεκριμένο στάδιο ή σημείο στον κύκλο μιας ταλάντωσης σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, υποδεικνύοντας πού ξεκινά η κίνηση σε σχέση με ένα σημείο αναφοράς ή σε ποιο μέρος του κύκλου βρίσκεται αυτή τη στιγμή.

Αρχική φάση

Η συγκεκριμένη τιμή της φάσης \varphi_0 τη χρονική στιγμή t=0. Αυτή η σταθερά καθορίζει την αρχική μετατόπιση και την αρχική ταχύτητα του ταλαντούμενου αντικειμένου, προσδιορίζοντας ουσιαστικά το ακριβές σημείο εκκίνησης και την κατεύθυνση της κίνησης εντός του κύκλου της.

Απλή Αρμονική Ταλάντωση (ΑΑΤ)

Ένας ιδανικός τύπος ταλαντωτικής κίνησης όπου η δύναμη επαναφοράς που ασκείται στο ταλαντούμενο αντικείμενο είναι ευθέως ανάλογη της μετατόπισής του από τη θέση ισορροπίας και δρα προς την αντίθετη κατεύθυνση (π.χ., Νόμος του Hooke: F = -kx). Αυτό έχει ως αποτέλεσμα μια ημιτονοειδή μεταβολή της μετατόπισης με τον χρόνο, που αναπαρίσταται από τη γενική λύση x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0). Χαρακτηρίζεται από σταθερό πλάτος, περίοδο και ολική μηχανική ενέργεια (απουσία απόσβεσης).

Πλάτος

Το μέγιστο μέτρο της μετατόπισης ενός ταλαντούμενου αντικειμένου από τη θέση ισορροπίας του. Συμβολίζεται με A και αντιπροσωπεύει την έκταση ή την ένταση της ταλάντωσης.

Θέση ισορροπίας

Το κεντρικό σημείο γύρω από το οποίο ταλαντώνεται το αντικείμενο, όπου η συνισταμένη δύναμη επαναφοράς στο αντικείμενο είναι μηδέν. Σε Απλή Αρμονική Κίνηση (ΑΑΚ), η ταχύτητα του αντικειμένου είναι μέγιστη σε αυτό το σημείο, ενώ η επιτάχυνσή του (και επομένως η δύναμη επαναφοράς) είναι μηδενική.

Μετατόπιση

Η στιγμιαία διανυσματική ποσότητα που περιγράφει τη θέση ενός ταλαντούμενου αντικειμένου σε σχέση με τη θέση ισορροπίας του σε οποιαδήποτε δεδομένη χρονική στιγμή. Για την ΑΑΚ, συνήθως μεταβάλλεται ημιτονοειδώς, για παράδειγμα, x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0).

Ταχύτητα σε ΑΑΚ

Ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης ενός αντικειμένου που εκτελεί ΑΑΚ. Δίνεται από την παράγωγο της μετατόπισης ως προς τον χρόνο: v(t) = \frac{dx}{dt} = \omega A \cos(\omega t + \varphi_0). Η ταχύτητα είναι μέγιστη (v_{\text{max}} = \omega A) όταν το αντικείμενο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, και μηδενική στα σημεία αναστροφής (μέγιστη μετατόπιση). Σημειώστε ότι η ταχύτητα βρίσκεται σε φάση \pi/2 (ή 90°) μπροστά από τη μετατόπιση.

Μέγιστη ταχύτητα

Η υψηλότερη τιμή της ταχύτητας που επιτυγχάνεται από ένα αντικείμενο που εκτελεί Απλή Αρμονική Κίνηση. Αυτό συμβαίνει όταν το αντικείμενο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, όπου η κινητική του ενέργεια είναι μέγιστη. Δίνεται από τη σχέση v_{\text{max}} = \omega A, όπου \omega είναι η γωνιακή συχνότητα και A είναι το πλάτος.

Επιτάχυνση σε ΑΑΚ

Ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας για ένα αντικείμενο σε ΑΑΚ. Δίνεται από τη δεύτερη παράγωγο της μετατόπισης: a(t) = \frac{dv}{dt} = - \omega^2 A \sin(\omega t + \varphi_0), η οποία απλοποιείται σε a(t) = - \omega^2 x(t). Αυτό δείχνει ότι η επιτάχυνση είναι ευθέως ανάλογη της μετατόπισης και πάντα κατευθύνεται αντίθετα από αυτήν. Το μέτρο της είναι μέγιστο (a_{\text{max}} = \omega^2 A) στα σημεία αναστροφής (μέγιστη μετατόπιση) και μηδενικό στη θέση ισορροπίας. Η επιτάχυνση είναι 180° εκτός φάσης με τη μετατόπιση.

Δύναμη επαναφοράς

Η συνισταμένη δύναμη που δρα για να επαναφέρει ένα ταλαντούμενο σύστημα προς τη θέση ισορροπίας του. Σε Απλή Αρμονική Κίνηση, αυτή η δύναμη είναι πάντα κατευθυνόμενη προς την ισορροπία και το μέτρο της είναι ευθέως ανάλογο της μετατόπισης από την ισορροπία. Για ένα σύστημα μάζας-ελατηρίου, αυτό περιγράφεται από το Νόμο του Hooke: F = - kx, όπου k (ή D) είναι η σταθερά του ελατηρίου και x είναι η μετατόπιση.

Σταθερά ελατηρίου (D ή k)

Ένα μέτρο της δυσκαμψίας ενός ελατηρίου ή ελαστικού υλικού, συμβολίζεται με k (ή μερικές φορές D). Κβαντοποιεί τη δύναμη που απαιτείται για να τεντώσει ή να συμπιέσει το ελατήριο κατά μονάδα μήκους, όπως δίνεται από το Νόμο του Hooke (F = -kx). Μια μεγαλύτερη σταθερά ελατηρίου υποδηλώνει ένα πιο δύσκαμπτο ελατήριο, που απαιτεί μεγαλύτερη δύναμη για την ίδια μετατόπιση. Η μονάδα SI είναι Newtons ανά μέτρο (N/m).

Ελαστική δυναμική ενέργεια

Η ενέργεια που αποθηκεύεται μέσα σε ένα ελαστικό αντικείμενο (όπως ένα ελατήριο) όταν τεντώνεται ή συμπιέζεται από το φυσικό (θέση ισορροπίας) μήκος του. Αυτή η αποθηκευμένη ενέργεια δίνεται από τη σχέση U_{\text{el}} = (1/2) k x^2, όπου k είναι η σταθερά του ελατηρίου και x είναι η μετατόπιση από την ισορροπία. Είναι μέγιστη στα σημεία αναστροφής (x = \pm A) και μηδενική στη θέση ισορροπίας. Για κατακόρυφα ελατήρια, ενώ η βαρύτητα μετατοπίζει την ισορροπία, ο τύπος για τη γωνιακή συχνότητα \omega = \sqrt{(k/m)} παραμένει έγκυρος για ταλαντώσεις γύρω από τη νέα ισορροπία.

Κινητική ενέργεια σε ΑΑΚ

Η ενέργεια που κατέχει ένα αντικείμενο λόγω της κίνησής του, υπολογίζεται ως K = (1/2) m v^2, όπου m είναι η μάζα και v είναι η στιγμιαία ταχύτητα. Σε ΑΑΚ, η κινητική ενέργεια μετατρέπεται συνεχώς σε δυναμική ενέργεια και αντίστροφα. Είναι μέγιστη (K_{\text{max}} = (1/2) m (\omega A)^2) όταν το αντικείμενο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του (όπου η ταχύτητα είναι μέγιστη) και μηδενική στα σημεία αναστροφής (όπου η ταχύτητα είναι στιγμιαία μηδέν).

Δυναμική ενέργεια σε ΑΑΚ

Για ένα σύστημα μάζας-ελατηρίου σε ΑΑΚ, αναφέρεται στην ελαστική δυναμική ενέργεια που αποθηκεύεται στο ελατήριο, δίνεται από τη σχέση U = (1/2) k x^2. Είναι μέγιστη (U_{\text{max}} = (1/2) k A^2) στα σημεία αναστροφής (όπου η μετατόπιση είναι μέγιστη, x = \pm A) και ελάχιστη (μηδέν αν η ισορροπία ορίζεται ως x=0) στη θέση ισορροπίας.

Ολική ενέργεια σε ΑΑΚ

Το άθροισμα της κινητικής ενέργειας (K) και της δυναμικής ενέργειας (U) ενός ταλαντούμενου συστήματος: E = K + U. Σε μια ιδανική Απλή Αρμονική Κίνηση (χωρίς απόσβεση ή εξωτερικές δυνάμεις), η ολική μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή καθ' όλη τη διάρκεια της ταλάντωσης. Αυτή η σταθερή ενέργεια μπορεί επίσης να εκφραστεί ως E = (1/2) k A^2 ή E = (1/2) m \omega^2 A^2, όπου A είναι το πλάτος.

Περίοδος ταλαντωτή μάζας-ελατηρίου

Ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη ταλάντωση ενός συστήματος μάζας-ελατηρίου δίνεται από τον τύπο T = 2\pi\sqrt{(m/k)}, όπου m είναι η μάζα που είναι προσαρτημένη στο ελατήριο και k (ή D) είναι η σταθερά του ελατηρίου. Η αντίστοιχη συχνότητα είναι f = (1/2\pi)\sqrt{(k/m)}. Αυτό δείχνει ότι η περίοδος αυξάνεται με τη μάζα και μειώνεται με τη δυσκαμψία του ελατηρίου.

Σχέσεις μετατόπισης-ταχύτητας-επιτάχυνσης

Σε Απλή Αρμονική Κίνηση (ΑΑΚ), η μετατόπιση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι όλες ημιτονοειδείς συναρτήσεις του χρόνου, σχετιζόμενες μέσω παραγώγισης:

1. Μετατόπιση: x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)
2. Ταχύτητα: v(t) = \frac{dx}{dt} = \omega A \cos(\omega t + \varphi_0)
3. Επιτάχυνση: a(t) = \frac{dv}{dt} = - \omega^2 A \sin(\omega t + \varphi_0) = - \omega^2 x(t)

Διαφορές φάσης (x, v, a)

Οι σχέσεις φάσης μεταξύ μετατόπισης (x), ταχύτητας (v) και επιτάχυνσης (a) σε ΑΑΚ είναι κρίσιμες:

• Μετατόπιση (x) και Ταχύτητα (v): Η ταχύτητα προηγείται της μετατόπισης κατά \pi/2 ακτίνια (ή 90°). Όταν το x είναι στο μέγιστο, το v είναι μηδέν. όταν το x είναι μηδέν, το v είναι στο μέγιστο.
• Μετατόπιση (x) και Επιτάχυνση (a): Η επιτάχυνση είναι 180° εκτός φάσης με τη μετατόπιση (a = -\omega^2 x). Έχουν πάντα αντίθετες κατευθύνσεις. Όταν το x είναι μέγιστο, το a είναι μέγιστο στην αντίθετη κατεύθυνση.
• Ταχύτητα (v) και Επιτάχυνση (a): Η επιτάχυνση προηγείται της ταχύτητας κατά \pi/2 ακτίνια (ή 90°).

Ανταλλαγή ενέργειας σε ΑΑΚ

Σε Απλή Αρμονική Κίνηση, η κινητική ενέργεια (K) και η δυναμική ενέργεια (U) υφίστανται συνεχή και αμοιβαία μετατροπή. Καθώς το ταλαντούμενο αντικείμενο κινείται προς την ισορροπία, η δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια (η ταχύτητα αυξάνεται). Καθώς απομακρύνεται από την ισορροπία, η κινητική ενέργεια μετατρέπεται ξανά σε δυναμική ενέργεια (η ταχύτητα μειώνεται). Σε ένα ιδανικό, χωρίς απόσβεση σύστημα, η ολική μηχανική ενέργεια (E = K + U) παραμένει διατηρημένη καθ' όλη τη διάρκεια αυτής της ανταλλαγής.

Έργο-ενέργεια σε ΑΑΚ

Για ένα συντηρητικό σύστημα Απλή Αρμονικής Κίνησης (όπου μόνο συντηρητικές δυνάμες, όπως η δύναμη του ελατηρίου, παράγουν έργο), το θεώρημα έργου-ενέργειας συνεπάγεται ότι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας είναι ίση με την αρνητική μεταβολή της δυναμικής ενέργειας (\Delta K = -\Delta U). Αυτό σημαίνει ότι η ολική μηχανική ενέργεια (E = K + U) του συστήματος παραμένει σταθερή καθ' όλη τη διάρκεια της κίνησης, καθώς η ενέργεια απλώς μετασχηματίζεται μεταξύ των κινητικών και δυναμικών της μορφών χωρίς απώλειες.

Απόσβεση

Η διαδικασία κατά την οποία το πλάτος μιας ταλάντωσης μειώνεται σταδιακά με την πάροδο του χρόνου λόγω της παρουσίας μη συντηρητικών δυνάμεων, όπως η τριβή ή η αντίσταση του αέρα. Αυτές οι δυνάμεις απόσβεσης διαχέουν τη μηχανική ενέργεια από το σύστημα, μετατρέποντάς την σε άλλες μορφές (π.χ., θερμότητα), οδηγώντας σε μείωση της ολικής ενέργειας και, κατά συνέπεια, σε μείωση του πλάτους της ταλάντωσης.

Μετατόπιση ισορροπίας κατακόρυφου ταλαντωτή μάζας-ελατηρίου

Όταν μια μάζα συνδέεται με ένα κατακόρυφο ελατήριο, η βαρύτητα εισάγει μια επιπλέον δύναμη. Αυτό προκαλεί την τάνυση του ελατηρίου κατά ένα ποσό τέτοιο ώστε η βαρυτική δύναμη (mg) να εξισορροπείται από τη δύναμη επαναφοράς του ελατηρίου (kx), μετατοπίζοντας τη θέση ισορροπίας από το φυσικό της μήκος σε ένα νέο σημείο \text{x_eq} = mg/k. Είναι σημαντικό ότι, παρόλο που η θέση ισορροπίας αλλάζει, η γωνιακή συχνότητα (\omega = \sqrt{(k/m)}) της επακόλουθης Απλής Αρμονικής Κίνησης γύρω από αυτήν τη νέα θέση ισορροπίας παραμένει η ίδια όπως για ένα οριζόντιο ελατήριο, επειδή η συνισταμένη δύναμη επαναφοράς για μετατόπιση από τη νέα ισορροπία εξακολουθεί να είναι ανάλογη αυτής της μετατόπισης.

Προσδιορισμός αρχικών συνθηκών

Για κάθε Απλή Αρμονική Κίνηση, το πλάτος (A) και η αρχική φάση (\varphi_0) μπορούν να προσδιοριστούν μοναδικά από την αρχική μετατόπιση (x(0)) και την αρχική ταχύτητα (v(0)) του αντικειμένου τη χρονική στιγμή t=0. Αυτά βρίσκονται λύνοντας τις ταυτόχρονες εξισώσεις που προκύπτουν από τη γενική λύση της ΑΑΚ:

• x(0) = A \sin \varphi_0
• v(0) = \omega A \cos \varphi_0

Λύνοντας αυτές τις εξισώσεις προκύπτουν οι συγκεκριμένες τιμές A και \varphi_0 για τη δεδομένη κίνηση.

Αναπαράσταση με περιστρεφόμενο φωτεινό (φασορέκτορα)

Η Απλή Αρμονική Κίνηση (ΑΑΚ) μπορεί να οπτικοποιηθεί και να αναλυθεί χρησιμοποιώντας ένα περιστρεφόμενο διάνυσμα (ή 'φασορέκτορα') σε ένα μιγαδικό επίπεδο. Αυτός ο φασορέκτορας έχει μήκος ίσο με το πλάτος (A) της ταλάντωσης και περιστρέφεται αντίθετα προς τον ωρολογιακό δείκτη με γωνιακή ταχύτητα ίση με τη γωνιακή συχνότητα (\omega) της ΑΑΚ. Η προβολή αυτού του περιστρεφόμενου φασορέκτορα σε έναν από τους άξονες (πραγματικό ή φανταστικό) ανά πάσα στιγμή αντιστοιχεί άμεσα στην στιγμιαία μετατόπιση x(t) ή y(t) του αντικειμένου σε ΑΑΚ. Αυτή η αναπαράσταση είναι χρήσιμη για την κατανόηση των σχέσεων φάσης και τον συνδυασμό πολλαπλών ταλαντώσεων.

Προσεγγίση μικρών πλάτων

Πολλά φυσικά συστήματα εκτελούν ταλαντωτική συμπεριφορά που είναι περίπου Απλή Αρμονική Κίνηση μόνο όταν η μετατόπιση είναι μικρή. Η προσέγγιση μικρών πλάτων υποθέτει ότι η δύναμη επαναφοράς είναι ευθέως ανάλογη της μετατόπισης (δηλαδή, γραμμική), κάτι που είναι η θεμελιώδης προϋπόθεση για την ΑΑΚ. Για παράδειγμα, ένα απλό εκκρεμές εκτελεί ΑΑΚ μόνο για μικρές γωνίες εκτροπής, όπου \sin\theta \approx \theta, καθιστώντας τη δύναμη επαναφοράς περίπου γραμμική σε σχέση με τη μετατόπιση.

Σημεία αναστροφής

Οι ακραίες θέσεις που φτάνει ένα αντικείμενο σε Απλή Αρμονική Κίνηση, οι οποίες βρίσκονται στα x = +A και x = -A (τα όρια του πλάτους). Σε αυτά τα σημεία, το αντικείμενο σταματά στιγμιαία (v = 0) πριν αντιστρέψει την κατεύθυνση κίνησης. Συνεπώς, όλη η κινητική ενέργεια του συστήματος έχει μετατραπεί σε δυναμική ενέργεια, καθιστώντας τη δυναμική ενέργεια (U) μέγιστη σε αυτές τις θέσεις.

Εξισώσεις για οριζόντιο ελατήριο

Για μια μάζα προσαρτημένη σε ένα οριζόντιο ελατήριο, όπου η βαρύτητα δεν επηρεάζει την ταλαντωτική κίνηση (ή είναι κάθετη σε αυτήν), και παραβλέποντας την τριβή:

• Δύναμη επαναφοράς: F = -k x
• Γωνιακή Συχνότητα: \omega = \sqrt{(k/m)}
• Ολική Ενέργεια: E = (1/2) k A^2 (η οποία διατηρείται καθ' όλη τη διάρκεια της κίνησης).

Εξισώσεις για κατακόρυφο ελατήριο (παρούσα βαρύτητα)

Για μια μάζα προσαρτημένη σε ένα κατακόρυφο ελατήριο, η βαρύτητα μετατοπίζει τη θέση ισορροπίας. Η μάζα θα ταλαντωθεί σε Απλή Αρμονική Κίνηση γύρω από αυτή τη νέα θέση ισορροπίας (x_{\text{eq}} = mg/k).

• Η γωνιακή συχνότητα παραμένει η ίδια όπως για ένα οριζόντιο ελατήριο: \omega = \sqrt{(k/m)}.
• Ενώ η δυναμική ενέργεια του συστήματος θα πρέπει ιδανικά να περιλαμβάνει και τη βαρυτική συνιστώσα (U_{\text{grav}} = mgy), η συχνότητα της ταλάντωσης εξαρτάται μόνο από τη μάζα και τη σταθερά του ελατηρίου, παραμένοντας \omega = \sqrt{(k/m)} επειδή η δύναμη της βαρύτητας είναι σταθερή και απλώς μετατοπίζει το σημείο ισορροπίας χωρίς να αλλάζει την επαναφέρουσα φύση της δύναμης του ελατηρίου.