Rappels et Compléments sur les Groupes

Flashcards de vocabulaire et définitions fondamentales sur la théorie des groupes d'après le cours de mathématiques.

Groupe

Ensemble non vide $G$ muni d'une loi de composition interne $\ast : G \times G \rightarrow G$ associative, possédant un élément neutre $e \in G$, et telle que tout élément $x \in G$ admette un inverse $\tilde{x} \in G$.

Groupe abélien

Groupe $G$ dont la loi de composition est commutative, c'est-à-dire vérifiant $x \ast y = y \ast x$ pour tous $x, y \in G$.

Groupe symétrique

Groupe des bijections d'un ensemble $E$ dans lui-même muni de la loi de composition, noté $S_E$, ou $S_n$ pour l'ensemble $\mathcal{E} = \{1, \dots, n\}$.

Groupe linéaire

Groupe noté $GL_n(\mathbb{C})$ constitué des matrices carrées d'ordre $n$ inversibles à coefficients complexes, muni de la multiplication matricielle.

Morphisme de groupes

Application $f : G \rightarrow G'$ entre deux groupes qui respecte la structure de groupe, vérifiant $f(xy) = f(x)f(y)$ pour tous $x, y \in G$.

Isomorphisme de groupes

Morphisme de groupes bijectif, signifiant que deux groupes ont la même structure algébrique, noté $G \cong G'$.

Automorphisme

Isomorphisme d'un groupe $G$ dans lui-même. L'ensemble des automorphismes de $G$ est noté $\text{Aut}(G)$.

Sous-groupe

Partie non vide $H$ d'un groupe $G$ stable par la loi du groupe et par passage à l'inverse, vérifiant $1 \in H$ et $xy^{-1} \in H$ pour tous $x, y \in H$.

Sous-groupe propre

Sous-groupe $H$ d'un groupe $G$ strictement compris entre le sous-groupe trivial et le groupe entier, c'est-à-dire $\mathbf{\{1\}} \subsetneq H \subsetneq G$.

Classe à gauche modulo $H$

Ensemble $xH = \{xh \mid h \in H\}$ représentant la classe d'équivalence de $x \in G$ pour la relation $x^{-1}y \in H$.

Ordre d'un groupe

Nombre d'éléments contenus dans un groupe fini $G$, noté $|G|$.

Indice d'un sous-groupe

Cardinal de l'ensemble $G/H$ des classes à gauche modulo $H$, noté $[G : H]$.

Théorème de Lagrange

Théorème affirmant que pour tout sous-groupe $H$ d'un groupe fini $G$, l'ordre de $G$ est égal au produit de l'indice de $H$ par l'ordre de $H$, soit $|G| = [G : H] |H|$.

Sous-groupe normal

Sous-groupe $H$ d'un groupe $G$ stable par conjugaison, vérifiant $xHx^{-1} = H$ pour tout $x \in G$, noté $H \triangleleft G$.

Centre d'un groupe

Sous-groupe normal et abélien $Z(G) = \{x \in G \mid \forall y \in G, yx = xy\}$ formé des éléments qui commutent avec tous les éléments du groupe.

Groupe simple

Groupe non trivial $G$ qui ne possède aucun sous-groupe normal autre que $\mathbf{\{1\}}$ et $G$.

Sous-groupe engendré par une partie

Le plus petit sous-groupe d'un groupe $G$ contenant la partie $S \subset G$, noté $\langle S \rangle$, formé par toutes les combinaisons de produits d'éléments de $S$ et de leurs inverses.

Ordre d'un élément

Pour $x \in G$, le plus petit entier $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $x^n = 1$, noté $o(x)$. L'ordre correspond également au cardinal du sous-groupe engendré $\langle x \rangle$.

Groupe monogène

Groupe $G$ engendré par un unique élément $x \in G$, tel que $G = \langle x \rangle$.

Groupe cyclique

Groupe monogène de cardinal fini, isomorphe au groupe additif $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ où $n = |G|$.

Théorème chinois (pour les groupes)

Théorème établissant une équivalence entre l'isomorphisme $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/nm\mathbb{Z}$ et la condition $\text{pgcd}(n, m) = 1$.

Produit direct de groupes

Groupe construit sur le produit cartésien $G_1 \times G_2$ muni de la loi composante par composante $(x_1, x_2)(y_1, y_2) = (x_1y_1, x_2y_2)$.

Suite exacte de groupes

Suite de morphismes de groupes $1 \rightarrow H \stackrel{i}{\rightarrow} G \stackrel{p}{\rightarrow} K \rightarrow 1$ telle que $i$ est injectif, $p$ est surjectif et $\text{Im}(i) = \text{Ker}(p)$.