Lin Alg

Wie werden die Dimensionen einer Matrix angegenben

Merksatz: Zeilenindex zuerst, Spaltenindex später

Was ist der Rang r einer Matrix?

Anzahl bestimmbarer Variablen/Gleichungen eines LGS. Das heisst n-r= anzahl freier Parameter

Transpornierten Rechenregeln

Singulär

Wenn A nicht regulär/invertierbar, heisst sie singulär

Orthogonale Matrizen

• Die Spalten und Zeilen von A sind einheitsvektoren und stehen paarweise senkrecht aufeinander

• Alle Eigenwerte haben den Betrag=1

• Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zueinander

• Das Produkt zweier orthogonaler Matrizen bleibt orthogonal

Minoren einer Matrix

Wird z.B. Für Determinantenberechnung verwendet. Matrix ausser die Zeile und Spalte des Eintrags.

Transpornierter Kern

Das Bild von A und der Kern von Transpornierte(A) stehen senkrecht aufeinander. Zudem ist sind die beiden Dimensionen=m

Adjunkte einer Matrix

Die Adjunkte selbst ist wieder eine Matrix. Als Werte a_ij stehen immer die determinanten der jeweiligen Minoren. Also det(M_ij). Zusätzlich kommt noch der Vorfaktor hinzu, wie man ihn von der Rekursiven Determinantenberechnung kennt (glenau gleich)

Ein paar sätze zur Determinante

Blocksatz für Determinanten

Unten links oder oben rechts muss die Nullmatrix stehen. A und C müssen quadratische Matrizen sein.

Wenn es nur einen Nullblock gibt, aber alle Blöcke quadratisch sind, sind die Eigenwerte ebenfalls die Determinanten der beiden Diagonalblöcken

Äquivalenzsätze für Reguläre Matrizen

Dazu kommt:

• Kein Eigenwert von A ist 0

• Die Spalten von A bilden eine Basis. Sind linear unabhängig

Inverse 2×2 Matrix

Unterraum

Ein Unterraum muss abgeschlossen bezüglich linearkombinationen sein. Das heisst alle Linearkombinationen müssen immernoch im Unterraum sein.

Linearkombinationen

Linear unabhängig

Jeder Vektor darf nur eine spezifische Art haben, dargestellt zu werden. Also darf der Nullvektor nur durch die triviale Lösung entstehen.

Koordinaten

Wie viel mal muss man welchen Basisvektor nehmen, um einen Vektor x zu bekommen?

Lineare Abbildungen

Alles was eine lineare Abbildung ist, lässt sich mit Matrizen beschreiben. F(x)=A*x.

Geometrische und algebraische Vielfachheit

Algebraische Vielfachheit: Anzahl wie oft Nullstelle vorkommt.

Geometrische Vielfachheit: Anzahl Eigenvektor für einen Eigenwert

Norm

Eine Norm ist ein Funktion oder ein Abbildung eines Vektors. Die Norm gibt immer einen positiven Wert aus.

Skalarprodukt

Eine Abbildung/Funktion mit zwei Vektoren als Inputs.

Induzierte Norm

Mit jedem Skalarprodukt hat man auch automatisch eine Norm. Nähmlich die Induzierte Norm.

Parallelogrammregel

Es gibt eine Gleichung, welche erfüllt ist, wenn es sich um eine induzierte Norm handelt. Das Skalarprodukt, dass diese Norm induziert, lässt sich dann zurückrechnen.

orthogonal

Orthogonal bezüglich eines Skalarproduktes ist, wenn <x,y>=0

Orthogonalprojektion

Orthonormalbasis

Alle Basisvektoren sind orthogonal zueinander und sind auf länge 1 normiert

Gram-Schmidt-Verfahren

Algorithmus, der aus einer beliebigen Basis (natürlich linear unabhängig) eine Orthonormalbasis macht.

• Erster Vektor wird als referenz genommen (Ist schon Orthogonal zu sich selber). Danach folgendermassen (siehe Bild)

Bild(A) oder Im(A)

Sozusagen Wertebereich der Matrix. Alle Vektoren, die durch die Abbildung von A erreicht/entstehen können. Es dürfen nur Vektoren im Definitionsbereich eingesetzt werden.

Die Dimension von Im(A)=Rang r von A

Das Bild von A wird von den Spalten der Matrix aufgespannt. Es müssen Spalten der Originalmatrix sein. Nach Gaussen stimmt es nicht mehr. Aber durch Gauss kann man Rang und somit dimension herausfinden.

Kern(A) oder Ker(A)

Der Kern einer Matrix sind alle Vektoren IM DEFINIITONSBEREICH, welche auf den Nullvektor abgebildet werden.

Wichtig:

dim(Ker(A))+dim(Im(A))=n

wobei n die Anzahl spalten ist.

Kern findet man durch lösen des homogenen LGS von A

Übergangsmatrix T

Wird genutzt für Basiswechsel.

Ähnliche Matrizen

Zwei Matrizen heissen ähnlich, wenn eine Übergangsmatrix T existiert.

Ähnliche Matrizen haben:

• Gleiche Eigenwerte

• Gleiche Determinante

  • Gleiche Spura

Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren

Eigenvektoren zu verschiednen Eigenwerten sind immer linear unabhängig.

Eigenbasis

Die Basis, welche aus den Eigenvektoren gebildet wird. Wenn keine Eigenbasis exestiert, kann man eine Matrix nicht Diagonalisieren.

Diagonalisierbarkeit

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie einfach oder halbeinfach ist.

• einfach: Jeder Eigenwert hat algebraisches Vielfaches 1

• halbeinfach: Bei jedem Eigenwert sind algebraische Vielfachheit und geometrische Vielfachheit gleich.

Eigenraum

Ein Eigenraum gehört immer zu einem Eigenwert. Es ist das erzeugenden System/aufgespannter Raum von den Eigenvektoren eines Eigenwertes. Die Dimension des Eigenraumes ist somit die geometrische Vielfachheit des Eigenvektors.

Symmetrische Matrizen

Für Symmetrische Matrizen gilt:

• Alle Eigenwerte von A sind Reel

• A ist halbeinfach, also diagonalisierbar

• Spur(A) =const.

• Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenvektoren sind orthogonal (Gilt sonst nur noch für Orthogonale Matrizen)

Matrixoperatornorm

Gibt die Abbildung mit der grössten (Standard)norm aller Einheitsvektoren

Quadratische Formen

Ist für symmetrische Matrizen definiert. Ist die Matrix nicht symmetrisch, wird sie symmetrisch gemacht.

rein quadratisch

Eine Quadratische Form, welche keine Mischterme a*xy enthält. Sondern nur Quadratische Terme. Eine Quadratische Form wird durch Hauptachsentransformation (Diagonalisiert) rein quadratisch.

Kegelschnitte

Sei q_A eine quadratische Form einer symmetrischen 2×2 Matrix. Dann ist der Kugelschnitt gegeben durch q_A=1

Ein Kegelschnitt im Hauptachensystem heisst in NORMALFORM.

Quadriken

Kegelschnitte in 3D.

Signatur

Signatur kann bei quadratischen Formen nützlich sein. Zum herausfinden der Form der Quadriken, Kegelschnitten

Definitheit von quadratischen Formen bestimmen

• per Eigenwerte → Siehe Formelsammlung

• Hauptminoren (Keine Semidefinitheit)

Konvergenz und Normen

Wenn eine Folge mit einer Norm konvergiert, so konvergiert sie für alle Normen. Dies gilt nur für endlichdimensionale Räume.

Normalform

Der Kegelschnitt im Hauptachsensystem heisst in Normalform

spur

Ähnliche Matrizen haben immer dieselbe spur

komplexe Eigenwerte bei DGL-Sytem

Weiterrechnen siehe zusammenfassung.

Re() und Im() ergeben jeweils eine Lösung. Also insgesamt 2 linear unabhängige Lösungen. Dafür gilt wieder, das jede komplexe und dazugehörige konjugiert komplexe Zahl dieselbe Lösung ergeben. Lösungsraum bleibt also bestehen

Gauss-Jordan

Erlaubt sind nur Zeilenoperatoren. Spalten sind Tabu. Man darf Zeilen vertauschen und addieren. Wird verwendet um Inverse zu berechnen.