Mathe B Kapitel 3

Körper

Definition Körper

Kommutativer Ring (R,+,*) mit Gruppe (R\{0},*) mit neutralem Element 1 ≠ 0 (jedes Element der Gruppe hat multiplikatives Inverses)

Charakterisierung Körper

Vor.: 𝕂 ist Körper mit +,* Verknüpfungen, wenn gilt

• (𝕂,+) ist abelsche Gruppe mit e = 0

• (𝕂\{0},*) ist abelsche Gruppe mit e = 1 ≠ 0

• DG

Nullteilerfreiheit und Rechnen im Körper

∀x,y ∈ 𝕂: x * y = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ y = 0

• In Körpern können wir rechnen wie gewohnt (+,-,*,/)

Kleiner Fermat’scher Satz

Vor.: p Primzahl, a ∈ ℤ, a ≠ 0, kein Vielfaches von p.

• a^p-1 ≡ 1 (mod p)

• Korollar: Vor. => a^-1 ≡ a^p-2 (mod p)