Analyse

Def. fonction paire

f(-x) = f(x)

Def. fonction impaire

f(-x) = -f(x)

Fonction surjective

• chaque y a au moins une préimage

• l’ensemble image correspond à l’emsemble d’arrivée: Im(f) = B

Fonction injective

• chaque y a au plus une préimage / x distincts ont des images distinctes

• f(x) = f(x’) <=> x = x’

Fonction bijective

• à la fois surjective et injective

• chaque y a exactement une préimage

• possède une réciproque

Inégalité triangulaire

Ix+yI <= IxI + IyI

A est majoré si

il existe un majorant M t.q.

x <= M pour tout x de A

A est minoré si

il existe un minorant m t.q.

x >= m pour tout x de A

Quand l’ensemble A est-il borné?

A est borné si A est à la fois majoré et minoré

Supremum de A

supA

=> Le plus petit majorant de A

s = supA si

1) x <= s pour tout x de A

2) pour tout s’<s, il existe x dans A t.q. x>s’

Infimum de A

infA

=> Le plus grand minorant de A

s = infA si

1) x >= s pour tout x de A

2) pour tout s’>s, il existe x dans A t.q. x<s’

AXIOME:

Dans R,

• tout ensemble majoré possède un _

• tout ensemble minoré possède un _

• supremum

• infimum

élément maximal de A

maxA

plus grand x appartenenant à A

Si A possède un élément maximal alors…

supA = maxA

élément minimal de A

min A

plus petit x appartenant à A

Si A possède un élément minimal alors…

infA = minA

Que signifie être dense?

Un ensemble E dans R est dense si pour tout x,y app.à R, il existe un z app.à E t.q. x<z<y

Quels ensembles sont denses dans R d’après les théorèmes vus en cours?

Q (rationnels) et R\Q (irrationnels)

Définition ensemble ouvert/fermé

• G ouvert:
  G CR ouvert si pour tout x app.à G, il existe epsilon (E > 0) t.q. un x’ app.à G est compris entre [x-E , x+E].

• G fermé
  si G^c := (R sauf G) est ouvert

Propriété: Union d’espaces ouverts

Une union d’ouverts est ouverte