Guía de Estudio: Temas Selectos de Matemáticas II

Colección de términos clave y conceptos fundamentales sobre cálculo integral, geometría de figuras regulares y técnicas de integración basados en la guía de estudio.

Integral

Es la operación inversa de la derivada.

Integral definida

Es la expresión en la cual se realiza la evaluación de la integral de $f(x) dx$ en el intervalo $[a, b]$.

Notación sumatoria

Notación utilizada para representar sumas finitas o infinitas de números.

Arquímedes

Matemático griego que aportó el antecedente histórico de los conceptos básicos de la integral definida mediante el método de agotamiento.

Isaac Newton y Gottfried Leibniz

Matemáticos que en el siglo XVII establecieron de manera independiente el cálculo de áreas limitadas por curvas evaluando una integral definida mediante una antiderivada.

Cálculo de la base ($\Delta x$)

Fórmula para calcular el ancho de los rectángulos bajo la curva, definida como $\Delta x = \frac{b - a}{n}$.

Límite superior ($n$)

En la notación sumatoria, representa el valor final de la suma.

Límite inferior ($i = c$)

En la notación sumatoria, representa el valor inicial donde comienza la serie.

Bernhard Riemann

Matemático que propuso determinar el área de una región limitada por una función mediante el límite de una suma infinita de áreas de rectángulos.

Gottfried Leibniz

Matemático que propuso la notación moderna utilizada para la integral definida.

Figuras regulares

Aquellas figuras que tienen todos sus lados de igual tamaño y cada uno de sus ángulos internos con la misma medida.

Método de agotamiento

Procedimiento también conocido como sumas de Riemann que consiste en rellenar con rectángulos de igual base el área bajo la curva para estimar su superficie total.

Área

Corresponde a la superficie encerrada por el perímetro de una figura.

Problema fundamental del Cálculo Integral

Consiste en la obtención del área bajo la curva de una función.

Antiderivada o primitiva

Es el nombre que recibe el resultado obtenido de una integral indefinida.

Función exponencial ($e^x$)

Es la función cuya derivada e integral es la misma función, siendo también la inversa del logaritmo natural.

Área entre funciones

Región comprendida entre dos funciones continuas $f(x)$ y $g(x)$ donde $f(x) > g(x)$.

Integral indefinida

Tipo de integral donde no se especifican los límites de integración.

Integración por sustitución (Cambio de variable)

Técnica de integración que emplea teoremas básicos cambiando la variable original por una función $u$ y completando su diferencial $du$.

Integración por partes

Técnica de integración aplicable cuando el integrando tiene la forma $u \, dv$, a menudo recordada por la analogía: Un día vi una vaca vestida de uniforme.

Sustitución trigonométrica

Técnica de integración que ocupa como base el triángulo rectángulo y se aplica a integrandos con raíces cuadradas de sumas o diferencias de cuadrados.

Fracciones parciales

Técnica que consiste en realizar la descomposición de funciones mediante el uso de fracciones, aplicable por ejemplo cuando hay factores cuadráticos irreducibles.

Sólido de revolución

Cuerpo que se forma al girar alrededor del eje $X$ un área limitada por una función $f(x)$ en un intervalo $[a, b]$.

Identidad pitagórica

Relación fundamental donde $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

Integración

Operación de calcular la antiderivada o primitiva de una función identificando su diferencial.