Chapitre 1.1 : condition nécessaire d'optimalité

Quel est le problème d’optimisation qu’on considère ?

Qu’est-ce que l’infimum d’une fonction sur un ensemble admissible ?

Est-ce que l’infimum existe toujours ?

Que se passe-t-il si J n’est pas minorée ?

Qu’appelle-t-on une suite minimisante ?

Qu’est-ce que le minimum de J sur Uₐd ?

Qu’appelle-t-on, par abus de langage, le minimum d’un élément ū ∈ Uₐd ?

Est-ce que le minimum existe toujours ?

Qu’est-ce qu’une fonction coercive sur Uₐd ?

Quelle norme peut-on utiliser pour définir la coercivité d’une fonction sur ℝⁿ ?

Quels sont les deux exemples à connaître par cœur concernant les fonctions coercives ?

Quelles sont les conditions de la proposition 1.7 permettant de montrer que J est coercive ?

Quelles sont les conditions du théorème 1.8 permettant de montrer que (Pᵤₐd) admet un minimum global sur Uₐd ?

Quelles sont les conditions de la proposition 1.9 permettant de montrer que (Pᵤₐd) admet une solution lorsque Uₐd est ouvert ?

Qu’est-ce que la dérivée directionnelle de f en x dans la direction d ?

Dans l’exemple de la fonction f(x) = |x|, que valent f′(0;1) et f′(0;−1), et que montre cet exemple ?

Qu’est-ce qu’une fonction Gâteaux-différentiable en x ∈ H₁ ?

Qu’est-ce que le gradient de f en x ∈ H ?

Qu’est-ce qu’une fonction Fréchet-différentiable en x ∈ H₁ ?

Que peut-on dire d’une fonction Fréchet-différentiable en x ∈ H₁ concernant sa dérivabilité au sens de Gâteaux et sa dérivée ?

Comment définit-on les dérivées partielles de f en x ∈ ℝⁿ et comment s’exprime le gradient ∇f(x) à l’aide de ces dérivées partielles ?

Que dit la proposition 1.16 sur l’addition de deux applications Fréchet différentiables ?

Que dit la proposition 1.17 sur la composition de deux applications Fréchet différentiables ?

On suppose que f est différentiable dans un voisinage U de x et que l’on définit l’application f' : U ⊂ H₁ → 𝓛(H₁,H₂), x ↦ f'(x). Quand dit-on que f est deux fois différentiable en x ∈ H₁ et comment appelle-t-on f''(x) ?

On suppose que f est deux fois différentiable en x ∈ U. Quelles propriétés possède alors f''(x) d’après le théorème de Schwarz ?

Soit f : U ⊂ H₁ → H₂ une application n fois différentiable en x ∈ U. Quelle est la formule de Taylor-Young à l’ordre n pour f(x+h) ?

Soit U ⊂ H₁ un ouvert connexe et f : U → H₂ une application n+1 fois différentiable sur U. Si ∃ M ≥ 0 tel que supₓ∈U ‖f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)‖ ≤ M, quelle inégalité vérifient f(x) et f(y) d’après l’inégalité de Taylor-Lagrange ?

Soit U ⊂ H₁ un ouvert convexe et f : U → H₂ une application de classe Cⁿ⁺¹. Quelle formule donne le théorème de Taylor avec reste intégral pour tout x, y ∈ U ?

Quand dit-on qu’un sous-ensemble C d’un espace vectoriel réel E est convexe ?

Qu’est-ce que l’épigraphe d’une fonction f : H → ℝ ?

Quand dit-on qu’une fonction f : H → ℝ est convexe ou concave ?

Soient H un espace de Hilbert et f : H → ℝ. À quelle condition la fonction f est-elle convexe ?

Soient H un espace de Hilbert et f : H → ℝ. À quelle condition la fonction f est-elle strictement convexe ?

Soient H un espace de Hilbert et f : H → ℝ. À quelle condition la fonction f est-elle fortement convexe de module α ?

Quelle relation existe-t-il entre une fonction fortement convexe et une fonction strictement convexe ?

Soient H un espace de Hilbert et f : H → ℝ une fonction (Fréchet) différentiable. Quelles sont les trois propriétés équivalentes caractérisant la convexité de f sur H ?

Soient H un espace de Hilbert et f : H → ℝ une fonction (Fréchet) différentiable et α > 0. Quelles sont les trois propriétés équivalentes caractérisant l’α-convexité de f sur H ?

On suppose ici que U_ad est un ouvert de ℝⁿ et que J est une application de ℝⁿ dans ℝ de classe C¹.

Si ū est un point de minimum local de J sur U_ad, que dit la condition d’Euler ?

On suppose ici que U_ad est un ouvert de ℝⁿ et que J est une application de ℝⁿ dans ℝ de classe C¹.

Quelle remarque est faite concernant la condition du second ordre pour les applications de classe C² ?

On suppose ici que U_ad est un ouvert de ℝⁿ et que J est une application de ℝⁿ dans ℝ de classe C¹.

Pourquoi est-il important de connaître la preuve de la condition d’Euler ?

On suppose ici que U_ad est un ouvert de ℝⁿ et que J est une application de ℝⁿ dans ℝ de classe C¹.

Soient U_ad un sous-ensemble convexe de ℝⁿ et ū ∈ U_ad. Si J est différentiable en ū et si ū est un point de minimum local de J sur U_ad, quelle inégalité vérifie ∇J(ū) ?

Si ū est un point de minimum local de J sur U_ad, quelles sont les conditions nécessaires données par le théorème de Kuhn-Tucker avec Lagrangien généralisé ?

Qu’est-ce que le vecteur (p₀, p, q) associé à une solution ū ?

Quelle est la signification de la condition d’exclusion ?

Pourquoi peut-on avoir p₀ = 0 dans l’expression du multiplicateur généralisé ?

Quelle est la partie importante du théorème de Kuhn & Tucker ?

Comment appelle-t-on la fonction L(u, p₀, p, q) et comment s’écrit la condition nécessaire d’optimalité associée ?

Quand dit-on que la contrainte Uad est qualifiée en un point ū ∈ Uad ?

Quelle remarque peut-on faire sur la notion de qualification des contraintes ?

Que dit le théorème de Kuhn & Tucker lorsque la contrainte Uad est qualifiée en ū ?

Comment appelle-t-on le vecteur (λ, μ) associé à la solution ū ?

Comment appelle-t-on la fonction L(u, λ, μ) et comment s’écrit-elle ?