complex analysis

Комплексное число (алгебраическая форма)

Выражение вида z = x + iy, где x и y — вещественные числа, а i — мнимая единица, удовлетворяющая условию i^2 = -1.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Выражение вида z = r * (cos(phi) + i * sin(phi)), где r — модуль комплексного числа, а phi — его аргумент.

Показательная форма комплексного числа

Выражение вида z = r * e^(i * phi), полученное с помощью фундаментальной формулы Эйлера.

Формула Муавра

Формула для возведения комплексного числа в натуральную степень n: z^n = r^n * (cos(nphi) + isin(n*phi)).

Главное значение аргумента комплексного числа (arg z)

Значение аргумента phi комплексного числа, лежащее в полуинтервале (-pi, pi].

Комплексная плоскость

Геометрическая интерпретация множества комплексных чисел C, где вещественная часть откладывается по оси абсцисс, а мнимая — по оси ординат.

Сходящаяся последовательность комплексных чисел

Последовательность {z_n}, для которой существует число z_0 такое, что для любого eps > 0 существует номер N, начиная с которого

Критерий Коши для последовательностей в C

Последовательность {z_n} сходится тогда и только тогда, когда для любого eps > 0 существует N, что при всех n, m > N выполнено

Бесконечно удаленная точка (z = infinity)

Идеализированная точка, дополняющая комплексную плоскость, модуль которой равен бесконечности, а аргумент не определён.

Расширенная комплексная плоскость

Множество всех конечных комплексных чисел C, дополненное одной бесконечно удаленной точкой. Обозначается как C с чертой.

Сфера Римана

Геометрическая модель расширенной комплексной плоскости в виде сферы, точки которой взаимно однозначно проецируются на плоскость с помощью стереографической проекции.

Эпсилон-окрестность конечной точки z_0

Открытый круг радиуса eps с центром в точке z_0, то есть множество точек z, удовлетворяющих неравенству

Окрестность бесконечно удаленной точки

Множество всех точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству

Проколотая окрестность точки z_0

Окрестность точки z_0, из которой исключена сама эта точка z_0, задаваемая неравенством 0 <

Внутренняя точка множества

Точка, которая принадлежит данному множеству вместе с некоторой своей окрестностью.

Внешняя точка множества

Точка комплексной плоскости, имеющая окрестность, целиком не пересекающуюся с данным множеством.

Граничная точка множества

Точка, в любой окрестности которой содержатся как точки, принадлежащие множеству, так и точки, не принадлежащие ему.

Граница множества

Множество всех граничных точек данного множества.

Открытое множество

Множество, все точки которого являются внутренними.

Замкнутое множество

Множество, содержащее все свои граничные точки (дополнение к которому является открытым множеством).

Связное множество

Множество, любые две точки которого можно соединить непрерывной кривой или ломаной, целиком лежащей в этом множестве.

Область в ТФКП

Открытое и одновременно связное множество комплексной плоскости.

Замкнутая область

Множество, состоящее из открытой области и присоединенной к ней её границы.

Функция комплексной переменной

Правило, по которому каждому комплексному числу z из множества определения сопоставляется одно или несколько комплексных чисел w.

Однозначная функция комплексной переменной

Функция, которая каждому значению аргумента z сопоставляет строго одно комплексное значение w.

Многозначная функция комплексной переменной

Функция, которая хотя бы одному значению аргумента z сопоставляет несколько или бесконечно много комплексных значений w.

Предел функции f(z) в точке z_0

Число W такое, что для любого eps > 0 существует delta > 0, что из условия 0 <

Непрерывность функции в точке z_0

Свойство функции, при котором предел функции в точке z_0 существует и равен значению функции в этой точке: lim(z->z_0) f(z) = f(z_0).

Равномерная непрерывность функции в области

Свойство, при котором для любого eps > 0 существует delta > 0 (единое для всей области), что из

Теорема Кантора

Если функция комплексной переменной непрерывна в замкнутой ограниченной области (компакте), то она равномерно непрерывна в ней.

Дифференцируемость функции в точке z_0

Существование конечного предела отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Комплексная производная f'(z_0)

Предел lim(delta z -> 0) [f(z_0 + delta z) - f(z_0)] / delta z, не зависящий от траектории стремления delta z к нулю.

Условия Коши-Римана (в декартовых координатах)

Система дифференциальных уравнений в частных производных вида u_x = v_y и u_y = -v_x.

Необходимое условие дифференцируемости функции

Если f(z) = u + iv дифференцируема в точке z_0, то в этой точке обязательно выполняются условия Коши-Римана u_x = v_y, u_y = -v_x.

Достаточное условие дифференцируемости функции

Выполнение условий Коши-Римана в точке и дифференцируемость функций u(x,y) и v(x,y) как вещественных функций двух переменных.

Условия Коши-Римана в полярных координатах

Система уравнений связи для полярной сетки: u_r = (1/r) * v_phi и v_r = -(1/r) * u_phi.

Операторная форма условий Коши-Римана

Краткая запись условий через производную по сопряжённой переменной: df / d(z_сопряженное) = 0.

Геометрический смысл модуля производной

Величина

Геометрический смысл аргумента производной

Величина arg f'(z_0) равна углу поворота касательного вектора в точке z_0 при отображении w = f(z).

Аналитичность функции в точке z_0

Свойство функции быть дифференцируемой как в самой точке z_0, так и в некоторой её открытой окрестности.

Голоморфность

Общепринятый в математике синоним аналитичности функции комплексной переменной.

Аналитичность функции в области

Комплексная дифференцируемость функции в каждой без исключения точке этой открытой области.

Необходимое и достаточное условие аналитичности в области

Выполнение условий Коши-Римана и дифференцируемость (или непрерывность частичных производных) u и v в каждой точке области.

Гармоническая функция

Функция двух переменных, обладающая непрерывными производными до 2-го порядка и удовлетворяющая уравнению Лапласа (u_xx + u_yy = 0).

Связь аналитичности и гармоничности

Вещественная и мнимая части любой аналитической функции являются сопряженными гармоническими функциями.

Сопряженные гармонические функции

Пара гармонических функций u(x,y) и v(x,y), связанных между собой системой уравнений Коши-Римана.

Алгебраические свойства аналитических функций

Сумма, разность, произведение и частное (при условии невырождения знаменателя в ноль) аналитических функций аналитичны.

Аналитичность сложной функции (композиции)

Если w = f(z) аналитична в области g, а xi = phi(w) аналитична в области значений f(g), то сложная функция phi(f(z)) аналитична в g.

Теорема об обратной функции

Если f(z) аналитична в области и f'(z_0) != 0, то локально существует аналитическая обратная функция phi(w), причём phi'(w) = 1 / f'(z).

Связь Якобиана с комплексной производной

Определитель матрицы Якоби вещественного отображения (u,v) по (x,y) равен квадрату модуля комплексной производной: J =

Теорема о постоянстве модуля

Если функция f(z) аналитична в области и её модуль постоянен (

Гладкая кривая

Кривая, заданная непрерывно дифференцируемой комплексной функцией z(t), у которой вектор скорости (производная z'(t)) нигде не обращается в ноль.

Кусочно-гладкая кривая

Непрерывная траектория на плоскости, составленная из конечного числа последовательно соединенных гладких участков.

Замкнутый контур

Кусочно-гладкая кривая, у которой начальная точка пути полностью совпадает с конечной точкой.

Положительное направление обхода замкнутого контура

Движение по контуру против часовой стрелки, при котором ограниченная им внутренняя область всегда остается слева.

Определение комплексного интеграла по кривой C

Предел интегральных сумм вида sum(f(z_k) * delta z_k) при стремлении к нулю максимальной длины шага разбиения кривой.

Линейность комплексного интеграла

Интеграл от линейной комбинации функций (alphaf + betag) равен линейной комбинации их интегралов alphaint(f) + betaint(g).

Свойство смены направления интегрирования

Интеграл по кривой, проходимой в противоположном направлении (-C), равен интегралу по кривой C, взятому со знаком минус.

Оценка модуля комплексного интеграла

Модуль интеграла от f(z) по кривой C не превосходит произведения максимума модуля функции M на геометрическую длину кривой L:

Односвязная область

Область без внутренних «дыр», в которой любой замкнутый контур можно непрерывно стянуть в точку, не выходя за границы этой области.

Теорема Коши для односвязной области

Если функция f(z) аналитична в односвязной области g, то её интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в ней, равен нулю.

Теорема Коши для многосвязной области

Интеграл по внешнему контуру области равен сумме интегралов по всем внутренним контурам, ограничивающим «дыры», при обходе в одном направлении.

Независимость интеграла от пути интегрирования

В односвязной области интеграл от аналитической функции зависит исключительно от начальной и конечной точек, но не от формы кривой.

Первообразная функции комплексной переменной

Функция F(z), комплексная производная которой во всей заданной области равна исходной функции: F'(z) = f(z).

Существование первообразной у аналитической функции

Если f(z) аналитична в односвязной области, то у неё гарантированно существует первообразная, выражаемая интегралом с переменным верхним пределом.

Формула Ньютона-Лейбница в ТФКП

Основная формула вычисления: int(от z1 до z2) f(z) dz = F(z2) - F(z1), где F(z) — любая первообразная функции f(z).

Теорема Морера

Если функция f(z) непрерывна в области и интеграл от неё по любому замкнутому контуру равен нулю, то функция f(z) является аналитической в этой области.

Интегральная формула Коши

Формула f(z_0) = (1 / 2pi*i) * oint [f(z) / (z - z_0)] dz, выражающая значение аналитической функции внутри контура через её значения на границе.

Формула среднего значения для аналитической функции

Значение аналитической функции в центре круга f(z_0) равно среднему геометрическому (интегральному) её значений на ограничивающей окружности.

Интегральная формула Коши для производных n-го порядка

Формула дифференцирования под знаком интеграла: f^(n)(z_0) = (n! / 2pi*i) * oint [f(z) / (z - z_0)^(n+1)] dz.

Бесконечная дифференцируемость аналитической функции

Из факта аналитичности (однократной дифференцируемости) функции в области автоматически следует существование у неё производных абсолютно всех порядков.

Принцип максимума модуля аналитической функции

Модуль аналитической в области функции, не являющейся константой, не может достигать своего локального максимума во внутренних точках этой области.

Где достигается максимум модуля аналитической функции в замкнутой области?

Максимум модуля аналитической функции в замкнутой ограниченной области всегда достигается только на её границе.

Теорема Лиувилля

Если функция аналитична на всей комплексной плоскости (является целой функцией) и ограничена по модулю (

Равномерная сходимость функционального ряда

Сходимость, при которой остаток ряда стремится к нулю контролируемо и равномерно одновременно для всех точек z заданного множества.

Первая теорема Вейерштрасса для функциональных рядов

Предел последовательности (или сумма ряда) аналитических функций, сходящейся равномерно внутри области, является аналитической функцией.

Вторая теорема Вейерштрасса для функциональных рядов

Равномерно сходящийся ряд аналитических функций в области можно почленно дифференцировать любое число раз, сохраняя свойство аналитичности.

Степенной ряд

Функциональный ряд специального вида: sum( c_n * (z - z_0)^n ), где c_n — комплексные коэффициенты, а z_0 — центр ряда.

Круг сходимости степенного ряда

Открытый круг

Радиус сходимости степенного ряда (R)

Геометрическое расстояние от центра ряда z_0 до ближайшей особой точки функции, определяющее границы круга сходимости.

Формула Коши-Адамара

Формула для точного нахождения радиуса сходимости степенного ряда: 1/R = lim sup (при n->infinity) от корня n-й степени из

Первая теорема Абеля

Если степенной ряд сходится в некоторой точке z_1, то он абсолютно сходится во всех точках z, лежащих ближе к центру, то есть при

Вторая теорема Абеля (о равномерной сходимости)

Степенной ряд сходится равномерно на любом замкнутом компактном подмножестве, целиком лежащем внутри его круга сходимости.

Теорема Тейлора

Любая функция, аналитическая в круге

Коэффициенты ряда Тейлора

Находятся по однозначной формуле c_n = f^(n)(z_0) / n! или через интеграл Коши.

Правильная (регулярная) точка функции

Точка комплексной плоскости, в некоторой открытой окрестности которой функция является аналитической.

Особая точка функции комплексной переменной

Точка, в которой функция теряет свойство аналитичности, но которая является предельной для её правильных (регулярных) точек.

Изолированная особая точка

Особая точка z_0, в некоторой достаточно малой проколотой окрестности которой функция сохраняет аналитичность.

Нуль аналитической функции

Точка z_0 комплексной плоскости, в которой значение аналитической функции f(z) строго равно нулю: f(z_0) = 0.

Порядок (кратность) нуля аналитической функции

Наименьший порядок производной n, при котором f^(n)(z_0) != 0, в то время как сама функция и все предыдущие производные равны нулю.

Теорема о нулях аналитической функции (изолированность нулей)

Нули аналитической в области функции, не равной тождественно нулю, всегда изолированы (у каждого нуля есть окрестность, где нет других нулей).

Теорема единственности аналитических функций

Если две аналитические в области функции совпадают на множестве, имеющем предельную точку внутри этой области, то они тождественно равны.

Аналитическое продолжение функции

Процесс расширения области определения аналитической функции с исходной области на более широкую область с сохранением свойства аналитичности.

Единственность аналитического продолжения

Если аналитическую функцию удается продолжить из исходной области в новую область через общую границу, то такое продолжение всегда уникально и единственно.

Аналитическое продолжение через общий участок границы

Метод непрерывного склеивания двух областей вдоль дуги, на которой предельные значения аналитических функций полностью совпадают.

Принцип симметрии Шварца

Метод аналитического продолжения функции через прямолинейный (или круговой) участок границы путём зеркального отображения областей и комплексного сопряжения.

Однолистная функция в области

Функция, которая принимает строго различные комплексные значения в различных точках этой области (осуществляет взаимно однозначное отображение).

Необходимое условие однолистности функции

Производная f'(z) аналитической и однолистной в области функции нигде в пределах этой области не может обращаться в ноль.

Конформное отображение в точке z_0

Геометрическое отображение, сохраняющее углы между любыми кривыми по величине и направлению, и обладающее постоянным коэффициентом растяжения.

Связь аналитичности и конформности

Отображение w = f(z) конформно в области тогда и только тогда, когда f(z) аналитична и её производная f'(z) != 0 в каждой точке области.