MVE595 Chalmers - satser

Satsen om mellanliggande värden (Bolzanos sats)

Antag att f är kontinuerlig på [a,b] och låt N vara ett tal mellan f(a) och f(b), (f(a) ≠ f(b)). Då finns ett C i [a,b] så att f(c) = N.

Sats för kontinuitet

Om f är deriverbar i a så är f

kontinuerlig i a.

Produktregeln, Kapitel 3.2

Om f och g är deriverbara, så är

(f·g)′ = f · ′g + f · g′.

Kvotregeln, Kapitel 3.2

Antag att f och g är deriverbara funktioner och g(x)≠0. Då gäller att: (f/g)' = ((f·′g) - (f·g′))/(g)^2

Kedjeregeln, Kapitel 3.4

Om y=f(z) och z=g(x) är två deriverbara funktioner så gäller för y=f(g(x)) att y' = f′(g(x)) · g′(x).

I Leibniz notation, kan detta skrivas som dy/dx = dy/dz · dz/dx.

Fermats sats, Kapitel 4.1

Om f är deriverbar på (a, b) och

c ∈ (a, b) är ett lokalt max eller lokalt min, så är f′(c) = 0.

Rolles sats, Kapitel 4.2

Antag att f är en funktion som är

kontinuerlig på [a,b], deriverbar på (a,b) och uppfyller f(a) = f(b). Då finns ett c ∈ (a,b) så att f′(c) = 0

L'Hôpitals regel, Kapitel 4.4

Antag f och g är funktioner som är deriverbara funktioner, och lim(x→a) f = lim(x→a) g är båda 0 eller båda ±∞. Här kan a vara ett reellt tal eller ±∞. Då gäller det att lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f′(x)/g′(x).

Primitiva funktioner, Kapitel 4.9

Antag f är en funktion definierad på ett intervall I. Om F och G är primitiva funktioner till f, så är F = G + c, där c är en konstant.

Medelvärdessatsen för integraler, Kapitel 6.5

Om f är kontinuerlig på ett intervall [a,b], så finns ett c i [a,b] så att:

f(c) = 1/(b − a)

b

∫ f(x) dx.

a