Chapitre 3 - Les fonctions

Qu’est-ce qu’une fonction f : A → B ?

Une règle qui associe à chaque x ∈ A un et un seul élément f(x) ∈ B.

Comment reconnaître graphiquement qu’une courbe représente une fonction ?

Toute droite verticale coupe le graphe au plus une fois.

Qu’est-ce que le produit cartésien A × B ?

A × B = {(a,b) : a ∈ A et b ∈ B}.

Qu’est-ce que le graphe de f : A → B ?

G_f = {(x,f(x)) : x ∈ A} ⊆ A × B.

Qu’est-ce que l’image f(A′) d’un sous-ensemble A′ ⊆ A ?

f(A′) = {f(x) : x ∈ A′} ⊆ B.

Qu’est-ce que l’image de la fonction f ?

Im(f) = f(A) = {f(x) : x ∈ A}.

Quand une fonction est-elle injective ?

Lorsque f(x₁) = f(x₂) implique x₁ = x₂.

Comment reconnaître graphiquement l’injectivité ?

Toute droite horizontale coupe le graphe au plus une fois.

Quand une fonction est-elle surjective ?

Lorsque chaque y ∈ B possède au moins un antécédent x ∈ A tel que f(x) = y.

Quand une fonction est-elle bijective ?

Lorsqu’elle est injective et surjective ; chaque y ∈ B possède un unique antécédent.

Quand la fonction réciproque f⁻¹ existe-t-elle ?

Lorsque f est bijective.

Comment est défini f⁻¹ ?

f⁻¹(y) = x si et seulement si f(x) = y.

Quel lien graphique existe entre f et f⁻¹ ?

Leurs graphes sont symétriques par rapport à la droite y = x.

Quand deux fonctions f,g : A → B sont-elles égales ?

Lorsque ∀x ∈ A, f(x) = g(x).

Comment définit-on la somme de deux fonctions ?

(f + g)(x) = f(x) + g(x).

Comment définit-on le produit de deux fonctions ?

(fg)(x) = f(x)g(x).

Comment définit-on la multiplication scalaire d’une fonction ?

(cf)(x) = c f(x), avec c ∈ ℝ.

Comment définit-on le quotient de deux fonctions ?

(f/g)(x) = f(x)/g(x), pour les x tels que g(x) ≠ 0.

Comment définit-on la composée g ∘ f ?

(g ∘ f)(x) = g(f(x)).

La composition des fonctions est-elle associative ?

Oui : h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f.

La composition des fonctions est-elle commutative ?

Non en général : g ∘ f ≠ f ∘ g.

Quelle propriété lie une bijection et sa réciproque ?

f⁻¹ ∘ f = Id_A et f ∘ f⁻¹ = Id_B.

Quand f est-elle strictement croissante ?

∀x₁,x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

Quand f est-elle strictement décroissante ?

∀x₁,x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

Quand f est-elle croissante ?

∀x₁,x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂).

Quand f est-elle décroissante ?

∀x₁,x₂ ∈ A, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂).

Comment définit-on la valeur absolue |x| ?

|x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x < 0.

Qu’est-ce qu’une fonction affine ?

Une fonction f(x) = ax + b, avec a,b ∈ ℝ.

Que représente a dans f(x) = ax + b ?

La pente de la droite, donc la vitesse de croissance ou de décroissance.

Comment calculer la pente d’une droite passant par deux points ?

a = (f(b) − f(a))/(b − a), avec a ≠ b.

Selon le signe de a, comment varie une fonction affine ?

a > 0 : strictement croissante ; a = 0 : constante ; a < 0 : strictement décroissante.

Qu’est-ce qu’une fonction polynomiale ?

f(x) = c₀ + c₁x + ⋯ + cₙxⁿ, avec cₙ ≠ 0.

Qu’est-ce que le degré d’un polynôme ?

Le plus grand exposant n dont le coefficient cₙ est non nul.

Qu’est-ce qu’une fonction rationnelle ?

Le quotient de deux fonctions polynomiales.

Quel est le domaine d’une fonction rationnelle P(x)/Q(x) ?

ℝ privé des réels x pour lesquels Q(x) = 0.

Qu’est-ce qu’une fonction exponentielle de base a ?

f(x) = aˣ, avec a > 0.

Comment varie x ↦ aˣ selon la base a ?

a > 1 : strictement croissante ; a = 1 : constante ; 0 < a < 1 : strictement décroissante.

Qu’est-ce que logₐ ?

La fonction réciproque de x ↦ aˣ, pour a > 0 et a ≠ 1.

Quelle identité relie exponentielle et logarithme ?

logₐ(aˣ) = x et a^{logₐ(x)} = x pour x > 0.

Quelle est l’inégalité triangulaire ?

|x + y| ≤ |x| + |y|.

Quelle est l’inégalité triangulaire inversée ?

||x| − |y|| ≤ |x − y|.

Quel type de preuve est utilisé pour l’inégalité triangulaire ?

Une preuve directe, en comparant les carrés puis en prenant la racine carrée.

Quel type de preuve est utilisé pour l’inégalité triangulaire inversée ?

Une preuve directe, obtenue à partir de l’inégalité triangulaire.