Analisi Matematica: Funzioni, Limiti, Continuità e Derivate

Insieme di flashcard di vocabolario riguardanti i concetti chiave di analisi matematica presenti negli appunti: definizioni di funzioni, limiti, continuità, derivate e relativi teoremi.

Funzione

Siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti, una funzione $f$ definita in $A$ a valori in $B$ è una legge (di natura qualunque) che a ogni elemento $x$ di $A$ fa corrispondere uno e un solo elemento $y = f(x)$ di $B$.

Funzione suriettiva

Una funzione $f : A \rightarrow B$ è detta suriettiva se $\text{Im}(f) = B$, cioè per ogni $y \text{ in } B$ esiste $x \text{ in } A$ tale che $f(x) = y$ (ogni elemento del codominio $B$ è immagine di almeno un elemento del dominio $A$).

Funzione iniettiva

Una funzione $f : A \rightarrow B$ per cui, preso $b \text{ in } B$, l'equazione $f(x) = b$ per $x \text{ in } A$ ha al più una soluzione, ossia per ogni $x, y \text{ in } A$, $f(x) = f(y) \rightarrow x = y$ (elementi distinti del dominio conducono a immagini distinte).

Funzione biettiva

Una funzione che è sia suriettiva che iniettiva, la quale stabilisce una corrispondenza biunivoca tra dominio e codominio.

Funzione composta

Siano $f : A \rightarrow B$ e $g : B \rightarrow C$ due funzioni, si dice funzione composta di $f$ e $g$ la funzione da $A$ in $C$ indicata con $(g \text{ o } f)(x) = g(f(x))$.

Funzione inversa

Siano $A, B$ due insiemi non vuoti e $f$ una funzione iniettiva di $A$ in $B$. Si chiama funzione inversa di $f$ (denotata con $f^{-1}$) la funzione da $\text{Im}(f)$ in $\text{Dom}(f)$ che associa a ogni elemento dell'immagine la sua unica controimmagine.

Funzione dispari

Una funzione $f$ per cui, per ogni $x \text{ in } \text{Dom}(f)$, si ha $f(-x) = -f(x)$.

Funzione pari

Una funzione $f$ per cui, per ogni $x \text{ in } \text{Dom}(f)$, si ha $f(-x) = f(x)$.

Punto di accumulazione

Un punto $x_0 \text{ in } \text{R}$ è detto di accumulazione per il dominio $\text{Dom}(f)$ se per ogni intorno $I(x_0, r)$ con $r > 0$, esiste $x \text{ in } \text{Dom}(f) \text{ int } I(x_0, r) \text{ diff } \text{\{}x_0\text{\} }$.

Limite finito al finito (formale)

Sia $f : D \rightarrow \text{R}$, per ogni $\text{epsilon} > 0$ infinitamente piccolo, esiste $\text{delta}_{\text{epsilon}} > 0$ che definisce un intorno $I(x_0; \text{delta}_{\text{epsilon}})$, con $x_0 \text{ in } \text{R}$ punto di accumulazione di $D$, tale che per ogni $x \text{ in } D$, se $0 < |x - x_0| < \text{delta}_{\text{epsilon}}$, allora $|f(x) - L| < \text{epsilon}$, e si scrive $\text{lim}_{x \rightarrow x_0} f(x) = L$.

Teorema dell'unicità del limite

Teorema che stabilisce che una funzione non può avere due limiti differenti: se $\text{lim}_{x \rightarrow x_0} f(x) = L$ e $\text{lim}_{x \rightarrow x_0} f(x) = L'$, allora necessariamente $L = L'$.

Teorema del confronto (o dei due carabinieri)

Siano $f, g, h : D \rightarrow \text{R}$, $D \text{ sub } \text{R}$, tali che $g(x) \text{ le } f(x) \text{ le } h(x)$ per $x \text{ in } I(x_0, r) \text{ diff } \text{\{}x_0\text{\} }$, $x_0$ punto di accumulazione di $D$, $r > 0$; se $\text{lim}_{x \rightarrow x_0} g(x) = \text{lim}_{x \rightarrow x_0} h(x) = L$ allora $\text{lim}_{x \rightarrow x_0} f(x) = L$.

Limite destro (finito al finito)

Si dice che $f : D \rightarrow \text{R}$ ha limite destro $L \text{ in } \text{R}$ per $x$ che tende a $x_0$ (scritto $\text{lim}_{x \rightarrow x_0^+} f(x) = L$) se $f(x)$ si avvicina arbitrariamente a $L$ quando $x$ si avvicina ad $x_0$ assumendo valori maggiori di $x_0$.

Limite sinistro (finito al finito)

Si dice che $f : D \rightarrow \text{R}$ ha limite sinistro $L \text{ in } \text{R}$ per $x$ che tende a $x_0$ (scritto $\text{lim}_{x \rightarrow x_0^-} f(x) = L$) se $f(x)$ si avvicina arbitrariamente a $L$ quando $x$ si avvicina ad $x_0$ assumendo valori minori di $x_0$.

Limite infinito al finito (formale)

Sia $f : D \rightarrow \text{R}$, per ogni $M > 0$ infinitamente grande, esiste $\text{delta}_M > 0$ che definisce un intorno $I(x_0; \text{delta}_M)$, con $x_0$ punto di accumulazione di $D$, tale che per ogni $x \text{ in } D$, se $0 < |x - x_0| < \text{delta}_M$, allora $f(x) > M$ ($f(x) < -M$), ovvero $\text{lim}_{x \rightarrow x_0} f(x) = +\text{infty}$ ($\text{lim}_{x \rightarrow x_0} f(x) = -\text{infty}$).

Limite finito all'infinito (formale)

Sia $f : D \rightarrow \text{R}$, per ogni $\text{epsilon} > 0$, esiste $k_{\text{epsilon}} > 0$ tale che per ogni $x \text{ in } D$, se $x > k_{\text{epsilon}}$ ($x < -k_{\text{epsilon}}$), allora $|f(x) - L| < \text{epsilon}$, e si scrive $\text{lim}_{x \rightarrow +\text{infty}} f(x) = L$ ($\text{lim}_{x \rightarrow -\text{infty}} f(x) = L$).

Funzione continua in un punto

Sia $f : D \rightarrow \text{R}$, $D \text{ sub } \text{R}$, e $x_0 \text{ in } D$ punto di accumulazione di $D$. La funzione $f$ è detta continua nel punto $x_0$ se $\text{lim}_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)$.

Continuità delle funzioni elementari

Proposizione secondo cui le funzioni $\text{sin}(x)$, $\text{cos}(x)$, $a^x$ e $\text{log}_a(x)$ sono continue nel loro dominio.

Teorema dei valori intermedi

Sia $f : [a, b] \rightarrow \text{R}$ continua in $[a, b]$ e $f(x_1) < y < f(x_2)$, $y \text{ in } \text{R}$, allora esiste $c \text{ in } (a, b)$ tale che $f(c) = y$.

Teorema di Bolzano (o degli zeri)

Sia $f : [a, b] \rightarrow \text{R}$ continua in $[a, b]$, se $f(a) f(b) < 0$, allora esiste almeno un punto $c \text{ in } (a, b)$ tale che $f(c) = 0$.

Teorema di Weierstrass

Sia $f : [a, b] \rightarrow \text{R}$ continua in $[a, b]$, allora esiste $k \text{ in } \text{R}^+$ tale che $|f(x)| \text{ le } k$ per ogni $x \text{ in } [a, b]$. Esistono inoltre due punti $x_m$ (punto di minimo assoluto) e $x_M$ (punto di massimo assoluto) tali che $f(x_m) \text{ le } f(x) \text{ le } f(x_M)$ per ogni $x \text{ in } [a, b]$.

Derivata di una funzione in un punto

Sia $f : I \rightarrow \text{R}$, $I$ intervallo di $\text{R}$, e sia $x_0 \text{ in } I$ un punto interno. La funzione è detta derivabile in $x_0$ e la derivata $f'(x_0)$ è il limite finito $\text{lim}_{x \rightarrow x_0} \text{frac}{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.

Funzione crescente in un punto

Sia $f : I \rightarrow \text{R}$, $I$ intervallo, $x_0 \text{ in } I$ interno ad $I$. $f$ è crescente in $x_0$ se esiste un intorno di $x_0$ contenuto in $I$ tale che $f(x_1) \text{ le } f(x_0) \text{ le } f(x_2)$ per tutti i punti $x_1 < x_0 < x_2$ nell'intorno.

Funzione decrescente in un punto

Sia $f : I \rightarrow \text{R}$, $I$ intervallo, $x_0 \text{ in } I$ interno ad $I$. $f$ è decrescente in $x_0$ se esiste un intorno di $x_0$ contenuto in $I$ tale che $f(x_1) \text{ ge } f(x_0) \text{ ge } f(x_2)$ per tutti i punti $x_1 < x_0 < x_2$ nell'intorno.

Punto di minimo locale

Sia $f : I \rightarrow \text{R}$, $I$ intervallo, $x_0 \text{ in } I$ interno ad $I$. $x_0$ è un punto di minimo locale se existe un intorno di $x_0$ contenuto in $I$ tale che $f(x) \text{ ge } f(x_0)$ per tutti i punti $x$ nell'intorno.

Punto di massimo locale

Sia $f : I \rightarrow \text{R}$, $I$ intervallo, $x_0 \text{ in } I$ interno ad $I$. $x_0$ è un punto di massimo locale se esiste un intorno di $x_0$ contenuto in $I$ tale che $f(x) \text{ le } f(x_0)$ per tutti i punti $x$ nell'intorno.

Teorema di Fermat

Sia $f : I \rightarrow \text{R}$, $I$ intervallo, $x_0 \text{ in } I$ e interno ad $I$, e $f$ derivabile in $x_0$. Se $x_0$ è un punto di minimo o di massimo locale, allora $f'(x_0) = 0$.

Teorema di Rolle

Sia $f : [a, b] \rightarrow \text{R}$ una funzione continua in $[a, b]$ e derivabile in $(a, b)$. Se $f(a) = f(b)$, allora esiste almeno un punto $c \text{ in } (a, b)$ tale che $f'(c) = 0$.

Teorema di Lagrange (o del valor medio)

Sia $f : [a, b] \rightarrow \text{R}$ una funzione continua in $[a, b]$ e derivabile in $(a, b)$, allora esiste almeno un punto $c \text{ in } (a, b)$ tale che $f'(c) = \text{frac}{f(b) - f(a)}{b - a}$.

Teorema della derivata prima e monotonia

Sia $f : [a, b] \rightarrow \text{R}$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $(a, b)$. Se $f'(x) > 0$ per ogni $x \text{ in } (a, b)$, $f$ è strettamente crescente in $[a, b]$; se $f'(x) < 0$, $f$ è strettamente decrescente; se $f'(x) \text{ ge } 0$, $f$ è crescente (non decrescente); se $f'(x) \text{ le } 0$, $f$ è decrescente (non crescente).

Test della derivata prima

Sia $f : (a, b) \rightarrow \text{R}$ continua e $x_0 \text{ in } (a, b)$ punto stazionario ($f'(x_0) = 0$) o singolare. Se $f$ è derivabile in $(a, x_0)$ e $(x_0, b)$, con $f'(x) > 0$ in $(a, x_0)$ e $f'(x) < 0$ in $(x_0, b)$, allora $f$ ha un massimo locale in $x_0$; se $f'(x) < 0$ in $(a, x_0)$ e $f'(x) > 0$ in $(x_0, b)$, allora $f$ ha un minimo locale in $x_0$.

Funzione convessa e concava

Sia $f : I \rightarrow \text{R}$, con $I$ intervallo. La funzione $f$ si dice convessa (concava) se per ogni coppia di punti $x_1 < x_2 \text{ in } I$ il segmento di estremi $P_1(x_1, f(x_1))$ e $P_2(x_2, f(x_2))$ non sta al di sotto (sopra) del grafico di $f$ per $x \text{ in } [x_1, x_2]$.

Teorema della derivata e convessità

Sia $f : [a, b] \rightarrow \text{R}$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $(a, b)$. $f$ è convessa (concava) in $[a, b]$ se e solo se $f'$ è crescente (decrescente) in $(a, b)$, oppure se e solo se $f(x) \text{ ge } f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ ($f(x) \text{ le } f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$) per ogni $x, x_0 \text{ in } (a, b)$.