Mathe Funktionsuntersuchung, Kurvendiskussion, Analysis, Steckbrief, Gleichungssystem

Wie berechnet man eine Ableitung, welche Ableitung steht wofür (Thema und wichtig für welchen Lagepunkt) und wie viele?

Berechnung: freistehende Zahl fällt weg, Variable ohne exponent fällt weg (Zahl davor bleibt dann und fällt erst bei der nächsten weg), bei exponent gleich Potenz (Zahl ansonsten variable) mit exponenten multiplizieren und dann Ergebnis hinschreiben und den exponent -1 auch oder er fällt weg , und das dann Runde für Runde wiederholen

Von der Funktion rechnet man 3 Ableitungen aus:

1.Ableitung: Steigung/ Ort und Höhe = wichtig für Extrem- und Sattelpunkte 2.Ableitung: Krümmung und Lenkungsänderung = wichtig für EP Überprüfung und Wendepunkte und Sattelpunkt

3. Ableitung: Krümmungsänderung = wichtig für Überprüfungn des WPs

Lagepunkte und Alles andere was man für Funktionsuntersuchung braucht

Lagepunkte: Achsenschnittpunkte (Nullstelle und Y Achse), Hochpunkt, Tiefpunkt, Sattelpunkt, Wendepunkt

Untersuchung:

1. Abteilungen

2. Globalverhalten

3. Symmetrie

4. Achsenschnittpunkte

5. Extrempunkte

Wendepunkte

Ganzrational

Nur x Verse und natürliche Hochzahlenn

Kein:x im Bruch , x unter Wurzel oder x im exponenten

Bei den Koordinaten was steht vorne? Und bei Funktionen was steht für was

X/Y

f(x) ist das x aber wenn man uf die andere Seite die x Werte einsetzt ist das Ergebnis y

achsensymmetrie: welche was bedeuten sie wie und Bedingung Formel

-Nur bei gnzrationalen

Ermittlung durch : Exponenten

Mir bekannte Arten:

• Achsensymmetrie nur gerade Exponenten, geht zur y Achse, f(-x)= f (x)

• Punktsymmetrie nur ungerade Exponenten, geht zum Ursprung, f(-x)= -f(x)

• Beide Arten von exponenten = andere oder keine

Globalverhalten:

Bedeutung, Fälle, Ermittlung und Schreibweise

Globalverhalten= Unendlichkeitsverhalten

4 Fälle: oben oben, unten unten, oben unten, unten oben

Ermittlung:

-durch Term mit höchsten Exponenten

1. ist der Exponent gerade (Verlauf nur auf einer Seite der Y Achse also oben oben oder unten unten) oder ungerade (Verlauf uf beiden Seiten der y Achse also unten oben oder oben unten)

2. Ist die Variable davor (falls x=1) negativ (er geht ins Negative weiter also oben unten oder unten unten) oder positiv (er geht ins positive weiter also unten oben operabel oben )

Schreibweise: mit limus = grenzverhalten

lim f(x) → -/+

x→ - unendlich Zeichen (Linke Seite)

Und

lim f(x) → -/+

x→ + unendlich Zeichen

Wie setze ich Funktionen im Rechner ein und überprüfe Einleitungen?

Mit :=

Ableitungen mit der Zahl der Ableitung := und d d (wo dann zu erst x und dann f(x)→ oder 1 also jeweils 1 niedriger als das nächste)

Überprüfen durch f(x) f1(x), etc.

Achsenschnittpunkte:

Bedeutung, Berechnung

Bedeutung: Eine Achse wird geschnitten, also x (Nullstelle) oder y die andere ist dann null

Rechnen:

mit einspeichern: y: f(0) x: solve(f(x)=0,x)≈

Ansonsten nach 0 auflösen für x und für y bei x null einsetzen und berechnen

Extrempunkte

Bedeutung, Berechnung was sollte man beachten

Hochpunkt oder Tiefpunkt

Beachten taschenrechnereingabe Klammern um exponenten

Berechnung;

Mit einspeichern;

1. X Werte solve(f1(x)=0,x)=

2. Art überprüfen mit f2(x1), f2(x2), etc, (0>=TP, <0=HP)

3. Y Werte: f (x1), f(x2), etc.

Ohne einspeichern:

1. X Werte: f1 mit solve nach 0 auflösen

2. Art: durch einsetzen in f2 der x Werte und dann schauen : 0>=TP, <0=HP)

3. 3. Y: in normale Funktion x Werte einsetzen und ausrechnen

Wendepunkt

Bedeutung, Berechnung

Änderung des Krümmungsverhalten (von positiv zu negativ oder negativ zu positiv)

Berechnung:

1. x werte ( 2. Ableitung nach 0 auflösen beim Rechner: solve(f2(x)=0,x)

2. WP wenn es nicht 0 ist (in 3. Ableitung den berechneten x Wert und rechnen beim Rechner: f3(x)

3. Y Wert (x in Funktion einsetzen wenn wp beim Rechner: f(x) also mit dem jeweiligen x Wert

Tangente und Normale:

• Gleichung berechnen und Bedeutung

Tangente: Gerade die eine Funktion in einem Punkt (x/y) trifft

Normale: Gerde die im selben Punkt senkrecht auf der Tangente steht

Nutzung: Änderungsrate in einem bestimmten Punkt

Berechnung

Generell: normale Geradengleichung f(x)=m*x+b

→ also zur Berechnung ermittelt man m die Steigung und b durch Z.B. Umstellung den Y Wert

m Steigungsgesetz:

Tangente: m(t)= f1

Normale: m(n)= -1/m(t)

Berechnungsablauf:

Y Wert ermitteln mit x einsetzen

Tangente

-Steigung berechnen (zuerst der Tangente) mit der ersten Ableitung der Funktion x muss dafür eingesetzt werden)

-Abschnitt b berechnen mit der Gleichungsformel und solve

Werte in Gleichung einsetzen

Normale:

Steigung berechnen mit m(n)=-1/m(t)

--Abschnitt b berechnen mit der Gleichungsformel und solve

Werte in Gleichung einsetzen

Normale geradengleichung

Generell: normale Geradengleichung f(x)=m*x+b

Was sind Steckbriefaufgaben, was ist ihr Ziel und wodurch ablesen?

Aufgabe bei der die Funktionsgleichung f(x) durch bestimmte Bedingungen ermittelt wird. Das geht durch Texte mit Angaben oder Grafische Abbildungen

Bedingungen: Punkte, Symmetrie, HP, TP, WP, Symmetrie, SP, Tangenten

Was braucht man für den Steckbrief?

Grad: höchster Exponent, immer einen weniger als Bedingungen bestimmt Grundform

Grundform: je nach Grad, Z,B. Grad 5 ax^5+bx^4+cx³+dx²+ex+h

Oder Grad 3 ax³+bx²+cx+e

Eigenschaften: Bedingungen: Punkte, Symmetrie, HP, TP, WP, Symmetrie, SP, Tangenten

Welche Bedingung macht was:

Punkt: nur Punkt mit f(x)

Steigung: 1. Ableitung Z.B. an Stelle 3 Steigung 4 gleich f1(3)=e

Tangente: waagerecht an Stelle 1 = f1(1)=0

HP,TP,EP= Punkt und f1(x)=0

WP= Punkt und f2(x)=0

SP= Punkt und f1(x)=0 und f2(x)=0

Symmetrie: exponenten grade oder ungerade (bei nur grade werden dann Z.B. alle Variablen mit ungeraden exponenren 0 und wegfallen)

Globalverhalten : grader grad = oben oben und unten unten oder ungerader grad = unten oben und oben unten

Wie steckbriefaufgaben

1.grad und Grundform bestimmen

2.bedingungen ermitteln

3. Grundform und 1. und 2. Ableitung einspeichern im Rechner

4. Gleichungssystem im Rechner lösen

5. Ergebnis einsetzen

Grundsätzliche Gleichungsformen

Gerade: f(x)=mx+b

Kubisch: f(x)=ax³+bx²+cx+d

Parabel: f(x)=ax²+bx²+c

Krümmungsverhalten

Mit wendestelle, in 2. Ableitung und dann eine Zahl aus beiden Bereichen wählen (Z.b. 1 und -1) und jeweils in 2. Ableitung einsetzen. Also für x Werte ist der Wert größer als 0 geht es nach links und kleiner als 0 geht er nach rechts