BLOCCO 10 (Cap 10 - Integrali Impropri) - flashcard | Quizlet

Integrale Improprio di I Specie (Intervallo Illimitato)

DEFINIZIONE: L'integrale di f su [a, +∞) è definito come il limite per c → +∞ dell'integrale definito su [a, c]. Formula: ∫(a, +∞) f(x) dx = lim(c→+∞) ∫(a, c) f(x) dx.

Integrale Improprio di II Specie (Funzione Illimitata)

DEFINIZIONE: Se f è illimitata in b (es. asintoto verticale), l'integrale su [a, b] è il limite per c → b⁻ dell'integrale su [a, c]. Formula: lim(c→b⁻) ∫(a, c) f(x) dx.

Convergenza dell'Integrale Improprio

L'integrale si dice CONVERGENTE se il limite esiste ed è finito. DIVERGENTE se il limite è ±∞. INDETERMINATO se il limite non esiste (es. sin x a +∞).

Integrale Fondamentale 1/x^α all'Infinito (I Specie)

∫(1, +∞) 1/x^α dx. CONVERGE se α > 1. DIVERGE a +∞ se α ≤ 1. (Analogo alla serie armonica generalizzata). MEMORIA: A infinito serve una potenza "forte" (grande) al denominatore per schiacciare la funzione a zero velocemente.

Integrale Fondamentale 1/x^α in Zero (II Specie)

∫(0, 1) 1/x^α dx. CONVERGE se α < 1. DIVERGE a +∞ se α ≥ 1. MEMORIA: Vicino a zero serve una potenza "debole" (piccola) per non far esplodere la funzione troppo velocemente.

Criterio del Confronto (Integrali Impropri)

Siano f, g funzioni continue e positive in [a, +∞) con f(x) ≤ g(x). Se ∫ g converge ⇒ ∫ f converge. Se ∫ f diverge ⇒ ∫ g diverge. (Vale anche per II specie).

Criterio del Confronto Asintotico (f ∼ g)

Siano f, g positive. Se f(x) ∼ g(x) per x → x₀ (punto critico, ∞ o asintoto), allora gli integrali di f e g hanno lo STESSO CARATTERE (convergono o divergono insieme).

Criterio dell'Ordine di Infinitesimo (a +∞)

Se f(x) è infinitesima di ordine α rispetto a 1/x per x→+∞: 1) Se α > 1, ∫ f converge. 2) Se α ≤ 1, ∫ f diverge (se f non cambia segno).

Criterio dell'Ordine di Infinito (in x₀ finito)

Se f(x) è infinita di ordine α rispetto a 1/|x-x₀| per x→x₀: 1) Se α < 1, ∫ f converge. 2) Se α ≥ 1, ∫ f diverge.

Convergenza Assoluta (Integrali)

Se ∫ |f(x)| dx converge, allora anche ∫ f(x) dx converge. (Vale l'implicazione Assoluta ⇒ Semplice, come per le serie). Utile per funzioni a segno alterno (es. sin x / x²).

Integrale di sin(x)/x su (0, +∞) (Dirichlet)

Questo integrale CONVERGE semplicemente (si dimostra per parti o con residui, vale π/2), ma NON converge assolutamente (l'area dei lobi |sin x|/x diverge come la serie armonica).

Convergenza Principale (Valor Principale di Cauchy)

Se f ha una singolarità in c interno ad [a, b], si definisce VP ∫(a,b) f = lim(ε→0⁺) [∫(a, c-ε) + ∫(c+ε, b)]. Può esistere anche se l'integrale improprio classico diverge (cancellazione simmetrica degli infiniti).

Criterio Integrale per le Serie

Sia f decrescente e positiva. La serie Σ f(n) converge SE E SOLO SE l'integrale improprio ∫(1, +∞) f(x) dx converge. (Collega Cap 5 e Cap 10).

Volume Solido di Rotazione (Illimitato)

Il volume generato ruotando f(x) attorno all'asse x su [a, +∞) è V = π ∫(a, +∞) [f(x)]² dx. Può convergere anche se l'area sottesa da f diverge (Paradosso Tromba di Torricelli).

Tromba di Torricelli (Gabriel's Horn)

Solido generato da y=1/x su [1, +∞). Ha VOLUME FINITO (π ∫ 1/x² = π), ma SUPERFICIE INFINITA (∫ 1/x diverge). Paradosso: "Si può riempire di vernice ma non si può pitturare la superficie".

Gamma di Eulero Γ(x) (Definizione)

Γ(x) = ∫(0, +∞) t^(x-1) e^(-t) dt. Converge per x > 0. Proprietà: Γ(n+1) = n!. Estende il fattoriale ai numeri reali.

Esempio Svolto: ∫(1, +∞) e^(-x) dx

Lim(c→∞) [-e^(-x)] da 1 a c. = Lim [-e^(-c) - (-e⁻¹)] = 0 + 1/e = 1/e. CONVERGE.

Esempio Svolto: ∫(0, 1) ln x dx

Integrale improprio in 0. Primitiva x(ln x - 1). Lim(x→0⁺) x(ln x - 1) = 0 (gerarchia infiniti). Valore in 1: 1(-1)=-1. Integrale = -1 - 0 = -1. Area finita (negativa).

Esempio Svolto: ∫(1, +∞) 1/(x² + 5x) dx

Asintotico a 1/x² per x→∞. Poiché 2 > 1, CONVERGE.

Esempio Svolto: ∫(0, 1) 1/sin(x) dx

Per x→0, sin(x) ∼ x. L'integrale si comporta come ∫ 1/x dx. Poiché potenza 1 non è < 1, DIVERGE.

Esempio Svolto: ∫(0, +∞) 1/(1+x²) dx

Primitiva arctan(x). Lim(c→∞) arctan(c) - arctan(0) = π/2 - 0 = π/2. CONVERGE.

Trucco: Spezzare gli Integrali

Se l'intervallo è (0, +∞) e la funzione ha problemi sia in 0 che a +∞, bisogna spezzare in ∫(0, 1) + ∫(1, +∞) e studiare separatamente. L'integrale converge solo se ENTRAMBI i pezzi convergono.

Errore Tipico: Confondere α > 1 e α < 1

RICORDA: A +∞ serve α > 1 (denominatore grande). In 0 serve α < 1 (denominatore piccolo, singolarità debole).

Errore Tipico: Trascurare singolarità interne

Se integri 1/(x-2)² su [0, 5], devi notare che esplode in x=2! Non puoi usare Torricelli-Barrow diretto ignorando il buco. ∫(0,5) = ∫(0,2) + ∫(2,5). (In questo caso diverge).

Confronto tra Esponenziale e Potenza negli Integrali

e^(-x) a +∞ va a zero così velocemente che rende convergente l'integrale di x^k e^(-x) per qualunque k.

Funzione Gaussiana ∫(-∞, +∞) e^(-x²) dx

Converge (e molto rapidamente). Il valore è √π (si dimostra con integrali doppi, Analisi 2, ma la convergenza si vede col confronto: e^(-x²) < 1/x² per x grande).