M8.2 8.2 WS 23/24 Mathematikdidaktik

Umfangreiche Flashcards zu den Themen mathematische Kompetenzen, Muster und Strukturen, Treppenzahlen, Anschauungsmittel, Stellenwertsysteme und Rechenstrategien basierend auf der Vorlesung M8.2.

Prozessbezogene Kompetenz: Darstellen

Die Fähigkeit, geeignete Darstellungsformen für mathematische Fragestellungen auszuwählen, diese zu übertragen, zu vergleichen und zu bewerten.

Prozessbezogene Kompetenz: Kommunizieren

Überlegungen zu mathematischen Sachverhalten, Lösungswege und Ergebnisse adressatengerecht beschreiben, erklären und die Lösungen anderer reflektieren.

Prozessbezogene Kompetenz: Argumentieren

Mathematische Aussagen hinterfragen, auf Korrektheit prüfen, Vermutungen aufstellen und Begründungen formulieren sowie nachvollziehen.

Prozessbezogene Kompetenz: Modellieren

Relevante Informationen aus Texten oder der Lebenswirklichkeit entnehmen, Sachprobleme in die Sprache der Mathematik übersetzen und Lösungen interpretieren.

Prozessbezogene Kompetenz: Problemlösen

Ideen zur Lösung von Aufgaben entwickeln, für die keine Routinen bekannt sind, sowie Lösungsstrategien und heuristische Mittel nutzen.

Inhaltsbezogene Kompetenz: Muster und Strukturen

Gesetzmäßigkeiten erkennen, beschreiben, darstellen und funktionale Beziehungen in Sachsituationen oder Tabellen nutzen.

Inhaltsbezogene Kompetenz: Raum und Form

Sich in Ebene und Raum orientieren, geometrische Figuren und Abbildungen kennen sowie Flächen- und Rauminhalte messen.

Inhaltsbezogene Kompetenz: Zahlen und Operationen

Zahlvorstellungen besitzen, Zahldarstellungen verstehen, Rechenoperationen beherrschen und kombinatorische Zählstrategien nutzen.

Inhaltsbezogene Kompetenz: Größen und Messen

Größenvorstellungen besitzen, mit Größen in Sachsituationen rechnen und Zusammenhänge zwischen Daten und Messergebnissen erkennen.

Inhaltsbezogene Kompetenz: Daten, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit

Daten erfassen, darstellen und die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen.

Anforderungsbereich Reproduzieren (AB I)

Wiedergabe von Grundwissen, Ausführen von Routinetätigkeiten und die direkte Anwendung grundlegender Begriffe und Verfahren.

Anforderungsbereich Zusammenhänge herstellen (AB II)

Erkennen von mathematischen Zusammenhängen und das Verknüpfen von Kenntnissen und Fähigkeiten bei der Bearbeitung von Aufgaben.

Anforderungsbereich Verallgemeinern und Reflektieren (AB III)

Übertragen von Erkenntnissen auf unbekannte Fragestellungen sowie das Entwickeln und Reflektieren von Strategien und Begründungen.

Mathematik nach Devlin (2003)

Mathematik ist die Wissenschaft der Muster und Strukturen.

Nutzen von Mustern und Strukturen

Sie entlasten das Gedächtnis, da Gemeinsamkeiten erkannt werden, und sind elementar für erfolgreiches Mathelernen.

Voraussetzung für die quasisimultane Zahlerfassung

Ein fundiertes Muster- und Strukturverständnis.

Lüken (2012a)

Stellte einen Zusammenhang zwischen Muster- und Strukturfähigkeiten und der arithmetischen Leistung fest.

Mulligan & Mitchelmore (2009)

Zeigten, dass Strukturfähigkeiten mit Leistungen in allen mathematischen Inhaltsbereichen korrelieren.

Definition: Muster

Gekennzeichnet durch eine Regelmäßigkeit und Wiederholung, lässt sich fortsetzen und ermöglicht Vorhersagen.

Räumliche Muster (spatial structure pattern)

Regelmäßige räumliche Anordnung, oft in Anschauungsmitteln wie Würfelbildern oder Gittern genutzt.

Wiederkehrende Muster (repeating pattern)

Musterfolge aus einer Grundeinheit, die unverändert aneinandergereiht wird (Translation).

Grundeinheit (eines repeating pattern)

Die kleinste Einheit der Elemente einer Musterfolge, die zur Erzeugung des Gesamtmusters wiederholt wird.

Wachsende Muster (growing pattern)

Musterfolgen, bei denen die Grundeinheit systematisch bei jeder Wiederholung wächst.

Definition: Struktur

Die Gesamtheit eines mathematischen Beziehungsgefüges und die Art und Weise, wie die Teile eines Ganzen verbunden sind.

Modell zum Experimentieren: Schritt 1

Generieren von Beispielen nach einer Problemstellung und Einführung.

Modell zum Experimentieren: Schritt 2

Strukturieren (mental oder schriftlich), Gruppieren nach Kategorien und Suche nach Analogien.

Modell zum Experimentieren: Schritt 3

Finden von Hypothesen für weitere Überlegungen basierend auf der Strukturierung.

Modell zum Experimentieren: Schritt 4

Überprüfen und Verifizieren der Beispiele; bei Nicht-Passen beginnt der Kreislauf von neuem.

Treppenzahl

Eine natürliche Zahl, die sich als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen darstellen lässt (z. B. $9 = 4 + 5$).

Symbolische Darstellung 2er Treppe

$a = n + (n+1) = 2n + 1$; ergibt immer eine ungerade Zahl.

Symbolische Darstellung 3er Treppe

$a = n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)$; immer durch $3$ teilbar.

Symbolische Darstellung 4er Treppe

$a = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6 = 2(2n+3)$; immer eine gerade Zahl.

Symbolische Darstellung 5er Treppe

$a = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 5(n+2)$; immer durch $5$ teilbar.

Satz von Sylvester bzgl. Treppenzahlen

Alle natürlichen Zahlen (außer der $1$), die einen ungeraden Teiler haben, lassen sich als Treppenzahl darstellen.

2er Potenzen bzgl. Treppenzahlen

Diese lassen sich nicht als Treppenzahlen darstellen, da sie keinen ungeraden Teiler besitzen.

Gaußsche Summenformel

Formel zur Berechnung der kleinsten Treppenzahl einer Stufe $n$: $\frac{n \times (n+1)}{2}$.

Simultanerfassung

Bestimmung der Anzahl einer Menge (bis zu $4$ Plättchen) auf einen Blick ohne zu zählen.

Quasi-Simultanerfassung

Bestimmung einer Anzahl durch Nutzung einer bekannten Struktur (z. B. Würfelbild oder 5er-Gliederung).

Unstrukturierte Materialien

Geeignet für kleine Anzahlen (bis $4$) zur Simultanerfassung, z. B. einfache Wendeplättchen.

Strukturierte Materialien

Zahlen werden als Ganzheiten repräsentiert, zielen auf Quasi-Simultanerfassung ab, z. B. Dienes-Material.

Mischformen (Anschauungsmittel)

Vereinen Vorteile, weisen oft 5er- und 10er-Gliederungen auf, z. B. Abaco oder Rechenrahmen.

20er Feld

Anschauungsmittel mit Strukturen wie $4 \times 5$er Reihen, $2 \times 10$er Blöcken oder $10 \times 2$er Gruppen.

Mentale Modellierung

Der Prozess des Ablösens vom physischen Anschauungsmittel zur rein gedanklichen Operation.

Kraft der Fünf

Nutzen der 5er-Struktur (z. B. Farben am Rechenrahmen) zur schnellen Anzahlbestimmung.

Rechenrahmen ZR 100

Farbwechsel ab der Mitte (Zahl $50$) zur Unterstützung der Strukturübersicht.

Rechenstrategie: Schrittweises Rechnen

Aufteilen einer Rechenoperation in Teilschritte (z. B. erst zum Zehner, dann den Rest).

Rechenstrategie: (Fast)Verdoppeln

Nutzung von Verdopplungsaufgaben und Korrektur um $1$ (z. B. $7+8$ als $7+7+1$).

Rechenstrategie: Gegensinniges Verändern

Bei Addition: Wenn ein Summand um $x$ erhöht wird, wird der andere um $x$ verringert ($a+b = (a+x)+(b-x)$).

Rechenstrategie: Gleichsinniges Verändern

Bei Subtraktion: Wenn Minuend und Subtrahend um denselben Wert verändert werden, bleibt die Differenz gleich.

Dienes-Material (Prinzip)

Visualisiert das dekadische Zahlsystem durch Einerwürfel, Zehnerstangen, Hunderterplatten und Tausenderwürfel.

Hundertertafel (HAT)

Strukturiertes Medium zur Erweiterung des Zahlenraums bis $100$ und zum Entdecken von Mustern.

Positionsbegriffe an der HAT

Zeile, Spalte, Diagonale, rechts von, links von, über, unter.

Pentominos

Geometrische Formen aus fünf Quadraten, die an der Hundertertafel für Summenuntersuchungen genutzt werden.

Verschiebung Kreuz-Pentomino nach unten

Bewirkt an der Hundertertafel eine Erhöhung der Gesamtsumme um $+50$, da jedes der $5$ Felder in die nächste Zeile rutscht.

Verschiebung Kreuz-Pentomino nach links

Bewirkt an der Hundertertafel eine Verringerung der Gesamtsumme um $-5$, da jedes der $5$ Felder um $1$ kleiner wird.

Punktsymmetrische Pentominos (HAT)

Formen wie I, X, Z oder das Quadrat, bei denen die Mitte der Durchschnittswert ist ($5 \times \text{Mitte} = \text{Summe}$).

Gauss-Trick auf der HAT

Berechnung der Summe aller Zahlen von $1$ bis $100$: $\frac{100 \times (100+1)}{2} = 5050$.

Quersumme (QS)

Summe der Ziffernwert einer Zahl.

Eigenschaft der Diagonale (HAT)

Zahlen auf der Diagonale (von rechts oben nach links unten) haben im 10er-System oft die gleiche Quersumme.

Bewegung nach rechts (HAT)

Die Quersumme vergrößert sich um $+1$ (außer beim Zehnerübergang).

IRI-Zahlen

Dreistellige Zahlen, bei denen Hunderter- und Einerziffer identisch sind (z. B. $727$).

Ergebnisse von IRI-Aufgaben (10er System)

Sind immer Vielfache von $91$ ($91, 182, 273, \text{...}$).

Selbstdifferenzierung

Alle Kinder arbeiten an derselben Problemstellung auf unterschiedlichen Niveaus und mit eigenen Wegen.

Zahlenwert einer Ziffer

Gibt die Anzahl der Bündel der betreffenden Mächtigkeit an.

Stellenwert einer Ziffer

Gibt die Mächtigkeit des Bündels basierend auf seiner Position in der Ziffernfolge an.

Dezimales Stellenwertsystem

Gekennzeichnet durch durchgängige Zehnerbündelung und die Ziffern $0$ bis $9$.

Zweiersystem (Dualsystem)

Bündelt in Zweierpotenzen: $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, \text{...}$ ($1, 2, 4, 8, \text{...}$).

Dreiersystem

Bündelt in Dreierpotenzen: $1, 3, 9, 27, 81, 243, \text{...}$.

Fünfersystem

Bündelt in Fünferpotenzen: $1, 5, 25, 125, 625, \text{...}$.

Anzahl Zahlwörter im System zur Basis $b$

Formel für ein- und zweistellige Zahlen: $b^{2} - 1$.

Teilbarkeitsregel für $3$ (10er System)

Die Quersumme der Zahl muss durch $3$ teilbar sein.

Teilbarkeitsregel für $4$ (10er System)

Die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl muss durch $4$ teilbar sein.

Teilbarkeitsregel für $6$ (10er System)

Die Zahl muss gerade sein und ihre Quersumme durch $3$ teilbar sein.

Endstellenprobe (Teilbarkeit)

Anwendbar, wenn der Divisor ein Teiler der Basiszahl $b$ des Stellenwertsystems ist.

Erkennen von gerade/ungerade (ungerade Basis)

Hier entscheidet die Quersumme über die Parität (z. B. im 7er-System).

Erkennen von gerade/ungerade (gerade Basis)

Hier entscheidet die Endziffer über die Parität (z. B. im 10er- oder 6er-System).

Voraussetzung für schriftliche Verfahren

Beherrschung des kleinen $1+1$ und $1 \times 1$ sowie ein tiefes Verständnis von Bündelung.

Sprechweise Subtraktion: Abziehen mit Entbündeln

Vorgang, bei dem ein Zehner in $10$ Einer aufgelöst wird, wenn der Subtrahend größer als der Minuend an einer Stelle ist.

Sprechweise Subtraktion: Ergänzen und Erweitern

Vorgang, bei dem oben um $10$ Einheiten und unten beim nächsten Stellenwert um $1$ Einheit erweitert wird.

Schöne Päckchen

Übungsformat, bei dem Aufgaben so strukturiert sind, dass Muster in den Summanden und Ergebnissen erkennbar sind.

Staircase Mitte (ungerade Stufenzahl)

Die mittlere Zahl der Folge; bei einer 3er-Treppe ist sie $(n+1)$, bei einer 5er-Treppe $$(n+2)$ stories.

Kleinste 2er Treppe

Die Zahl $3 = 1 + 2$.

Kleinste 3er Treppe

Die Zahl $6 = 1 + 2 + 3$.

Kleinste 4er Treppe

Die Zahl $10 = 1 + 2 + 3 + 4$.

Kleinste 5er Treppe

Die Zahl $15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5$.

Division als Verteilen

Sprechweise: $18$ geteilt durch $12$, wie oft passt es hinein, Rest bestimmen.

Division als Aufteilen

Sprechweise: Wie oft passt die $8$ in die $9.000$ hinein?

OLA-Phase 1

Gemeinsamer Beginn: Aufgabe lesen und Fragen klären.

OLA-Phase 2

Arbeitsphase: Gruppensuche nach Lösungsideen und Beratung.

OLA-Phase 3

Arbeitsphase: Ausprobieren der Ideen und Aufschreiben des Lösungswegs.

OLA-Phase 4

Austausch und Reflexion: Vorstellung der Ergebnisse vor der Klasse.

Analyse von Schulaufgaben (Kriterium Offenheit)

Aufgaben sollten verschiedene Lösungswege zulassen.

Analyse von Schulaufgaben (Kriterium Niederschwelligkeit)

Jedes Kind sollte in der Lage sein, mit der Bearbeitung zu beginnen.

Spezialfall L-Fenster (HAT)

Fällt aus dem Rahmen, da die Summe nicht einfach über die Mitte berechnet werden kann (Struktur der Rechnung anders).

Konvertierung $(7)_{10}$ in Zweiersystem

$(111)_{2}$ (da $7 = 1 \times 4 + 1 \times 2 + 1 \times 1$).

Konvertierung $(26)_{10}$ in Zweiersystem

$(11010)_{2}$. Darstellbar über sukzessive Division durch $2$.

IRI-Zahlen Differenz im 6er System

Bei Differenz $1$ der gewählten Ziffern ist das Ergebnis $(51)_{6}$.

Ikonischer Beweis (IRI)

Veranschaulichung im Stellenwertsystem durch Verschieben von Plättchen (z. B. $+1H, -1Z, +1E$).

Teilbarkeit durch 5 (10er System)

Endziffer muss $0$ oder $5$ sein.

Teilbarkeit durch 9 (10er System)

Die Quersumme muss durch $9$ teilbar sein.