MVE480

(AB)T = ?

BT\* AT

Lösa differentialekvation

1. Hitta ditt A
2. Diagonalisera A genom att sätta in den i

e^(At) *begynelsevärde = P * e^(Dt) * Pinvers * begynnelsevärde*

där e^(Dt)= \[e^a 0; 0 e^d\]

Transponat

“spegelvända” matrisen längs diagonalen

Invers av 2x2 matris

1/(ad-bc) \* \[d -b; -c a\]

Determinant av kvadratisk matris större än 3x3 (enkel)

1. Hitta lättaste trappstegsform 2. Multiplicera tal längs diagonal

\
(När man byter plats på rader i matrisen så byter determinanten tecken.

Egenvektor

En vektor x så att Ax ligger på spannet av x. Ax= λx där λ är egenvärde

Hitta egenvektor

Lös (A-λI)v = 0

Determinant av 2x2 matris

ad-bc

Produkt av egenvärden =

determinanten

Invers av 2x2 matris

1/(ad-bc) \* \[ d -b; -c a\]

Hitta MK-lösning där du har A och b

1. Räkna AT\*A och ATb 2. ATAx = ATb 3. x = (ATA)-1 \* ATb

Hur vet man om A är inverterbar?

det(A) ≠ 0

Invertera 3x3 matris

\[AI\] = \[IA-invers\].

\
Sätt upp total matris med A och I och försök föra över enhetsmatrisen till vänster sida.

Rotationsmatris i 2x2

\[cosθ -sinθ; sinθ cosθ\]

Rotationsmatris i 3x3 runt x

\[1 0 0; 0 cosθ -sinθ; 0 sinθ cosθ\]

Rotationsmatris i 3x3 runt y

\[cosθ 0 sinθ; 0 1 0; sinθ 0 cosθ\]

Rotationsmatris i 3x3 runt z

Anpassa följd av värde till linje med MK

Sätt in värden i linjens ekvation. Värdet av K och M blir då värden i matris. Lös sen som vanligt.

Parameterform

1. V1 - V2 = ny vektor
2. \[x; y; z\] = \[ny vektor\]\*t + \[V1 eller V2\]
3. Lös ut varje variabel så att x= …t + … osv

Definiera minsta kvadratlösning

En approximerad vektor x∧ till ett olösligt Ax=b som minimerar felet |Ax∧-b|.

\
x∧ tillhör Rⁿ

Vektorprodukt

Planets ekvation (normalform)

ax + by + cz + d = 0

Parameterfri form

Hitta parameterform och lös ut t

Vektorform

\[x; y; z\] = \[riktningsvektor\] \* t + \[punkt\]

Hitta plan när du har riktningsvektor och punkter i planet

1. Hitta två vektorer i planet och hitta kryssprodukten mellan de två
2. Vektorn ger koefficenter till x, y och z.
3. Sätt in känd punkt i planet för att lösa ut d

Ligger vektorn u i Span{v1, v2 …}

Kolla om \[v1 v2 u\] har några lösningar. Är det lösningsbart så u∈Spannet

I LES innebär en fri variabel, dvs säga att en rad är bara nollor att…

LES har oändligt många lösningar

Col A

Kolonnrummet är mängden av alla linjärkombinationer av kolonnerna i A. Om A=\[a1 a2 … an\] så är Col A samma som Span{a1 a2 … an}

Om A är en mxn matris så är Col A och Nul A…

Col A är underrum till Rm

Nul A är underrum till Rn

Bestäm bas för col A och Nul A för matrisen A

1. Radreducera
2. Pivotkollonerna i radreducerad matris motsvarar baserna som finns i Col A
3. Skriv om Radreducerade A till parameterform ( = 0 )och bryt ut en av variablerna i taget för att hitta basvektorer. Basvektor \* A = 0

\
!!!Nul A har lika många variabler som kolonner i A!!!

Hitta egenvärde

Lös det(A-λI)

Dimension av ett underrum är…

Antalet vektorer i en bas för H

dim Nul A

Antalet fria variabler i Ax=0

Dim Col A = Rank (rangen)

Antalet pivotkolonner i A

Area mellan två vektorer

| u x v |

Volymen i form av parallelepiped

V = |u \* (v x w)|

Volym av pyramid

V = |u \* (v x w)| / 6

DetA \* DetB =

Det(A\*B)

Hitta vinkel mellan vektorer

|u x v| = |u| \* |v| \* sin θ

Om A är inverterbar så är det ekvivalent med…

\
(Jättelånga invers-satsen)

1. Kolonnerna i A formar bas till Rn
2. Col A = Rn
3. Rank A = n
4. DimNul A = 0
5. Nul A = {0}
6. Ax = 0 har endast triviala lösningen
7. Kolonner i A är linjärt oberoende
8. Avbildningen Tx = Ax är injektiv
9. Ekvationen Ax= b har unik lösning för varje b i Rⁿ

DimCol A + DimNul A = ?

n

Är det A = 0 så är ranken..

Full rank, så stor den kan bli. (DimNul A = 0)

Nollrummet är

Mängden av alla lösningar x till Ax= 0

Gram-schmidt processen

(Hitta ortogonal bas för två eller fler vektorer)

Bestäm ortogonal projektion av vektor på plan

Projektionen = v\*u₁/u₁u₁ + vu₂/u₂\*u₂ osv för alla baser

\
(u är baser för planet, framtagna genom grahm-schmidt)

Avstånd från punkt till linje

1. Välj punkt på linjen Q, hitta också norm n av linjen
2. Projicera Q till P (given punkt) på linjen. proj QP på n = QPn / n\*n \* n. Detta kallas QN
3. N = QN + Q
4. Räkna normen av PN