VIII Riemann-Integration:

Konzept Riemann-Integral - via Treppenfunktionen:

Definition - Treppenfunktion:

∀∈⊂→⟹∃δε∞ξ⇔∩αβγ

Eine Funktion f : [a, b] → R heisst Treppenfunktion, falls es eine Zerlegung

a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n-1 < x_n = b von [a, b] gibt, sodass für k = 1, 2, …, n die Restriktionen von f auf (x_k-1, x_k), f |_{(x_(k-1), x_k)} konstant sind.

Wir sagen dann auch, dass f eine Treppenfunktion bezüglich der Zerlegung a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n-1 < x_n = b ist.

Satz - Linearkombination:

Es seien f, g : [a, b] → R zwei Treppenfunktionen, und es seien α, β ∈ R. Dann ist αf + βg auch eine Treppenfunktion.

Definition - Integral der Treppenfunktion:

Satz - Linearität des Integrals von Treppenfunktionen:

Satz - Monotonie des Integrals von Treppenfunktionen:

Es seien f, g : [a, b] → R zwei Treppenfunktionen mit f ≤ g. Dann gilt:

∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx

Definition - Ober- und Untersumme:

Definition - Riemann-integrierbar:

Eine beschränkte Funktion f : [a, b] → R nennt man Riemann-integrierbar, falls gilt:

sup L(f) = inf U(f).

In diesem Fall wird der gemeinsame Wert das Riemann-Integral von f genannt, und geschrieben als:

∫_a^b f dx := sup L(f) = inf U(f)

a nennt man untere Integrationsgrenze, b obere Integrationsgrenze und f den Integralen.

Satz - Beschränktheit und Treppenfunktion:

Es sei f : [a, b] → R beschränkt. Dann ist f genau dann Riemann-integrierbar, wenn es für jedes ε > 0 Treppenfunktionen I und u gibt mit:

i ≤ f ≤ u und ∫(u-I) dx < ε.

In einem solchen Fall gilt:

|∫_a^b f dx - ∫_a^b I dx | < ε und |∫_a^b u dx - ∫_a^b f dx | < ε.

Satz - Lineare Abhängigkeit und Integration

Es seien f, g : [a, b] → R zwei (Riemann-)integrierbare Funktionen, und es seien α, β ∈ R. Dann ist auch αf + βg integrierbar und es gilt:

∫_a^b (αf + βg) (x) dx = α ∫_a^b f(x) dx + β ∫_a^b g(x) dx

Satz - Kleiner gleich

Es seien f, g : [a, b] → R zwei (Riemann-)integrierbare Funktionen. Falls gilt f ≤ g, so gilt auch:

∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx

Satz - Dreiecksungleichung für das Riemann-Integral:

Es seien f : [a, b] → R eine (Riemann-)integrierbare Funktion. Dann sind auch f⁺, f ^- und | f | (Riemann-)integrierbar, und es gilt:

| ∫_a^b f(x) dx | ≤ ∫_a^b |f(x)| dx

Satz - Monotonie:

Jede monotone Funktion f : [a, b] → R ist Riemann-integrierbar.

Bemerkung: Monotone Funktionen auf kompaktem Intervallen sind beschränkt.

Definition - Stückweise Monotonie:

Eine Funktion f : [a, b] → R nennt man stückweise monoton, falls es eine Zerlegung von [a, b]:

a = x₀ < x₁ < x₂ … < x_n-1 < x_n = b

gibt, sodass f|_{(x_(k-1), x_k)} für jedes k ∈ {1, 2, …, n₁} monoton ist.

Satz - Monoton und Integrierbarkeit:

Jede stückweise monotone (beschränkte) Funktion f : [a, b] → R ist Riemann-integrierbar.

Theorem - Stetigkeit und Riemannintegration

Jede stetige Funktion f : [a, b] → R ist Riemann-integrierbar.

Definition - Stückweise Stetig:

Eine Funktion f : [a, b] → R nennt man stückweise stetig, falls es eine Zerlegung von [a, b]:

a = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n-1 < x_n = b

gibt, sodass f |_{(x_(k-1), x_k)} für jedes k ∈ {1, 2, …, n₁} stetig ist und jeweils beide einseitigen Grenzwerte

lim f(x)   und   lim f(x)
x > x_(k-1)      x < x_k
x -> x_(k-1)     x -> x_k

existieren.

Satz - Stetigkeit und Integrierbarkeit:

Jede stückweise stetige Funktion f : [a, b] → R ist Riemann-integrierbar.

Definition - Punktweise Konvergenz und Grenzwert:

Es sei D ⊂ R, (f_n)_{n∈N_0} eine Folge von Funktionen f_n : D ⊂ R → R und f : D ⊂ R → R eine weitere Funktion.

Dann konvergiert die Folge (f_n)_{n∈N_0} punktweise gegen f, falls für jedes x ∈ D die reelle Folge (f_n(x))_{n∈N_0} gegen f(x) konvergiert. f heisst dann auch punktweiser Grenzwert der Folge (f_n)_{n∈N_0}.

Definition - Gleichmässige Konvergenz:

Es sei D ⊂ R, (f_n)_{n∈N_0} eine Folge von Funktionen f_n : D ⊂ R → R und f : D ⊂ R → R eine weitere Funktion.

Dann konvergiert die Folge (f_n)_{n∈N_0} gleichmässig gegen f, falls für jedes ε > 0 ein Index N existiert, sodass für alle n ≥ N und für alle x ∈ D gilt:

| f_n(x) - f(x) | < ε

Satz - Gleichmässige Konvergenz:

Es sei D ⊂ R und (f_n)_{n∈N_0} eine Folge stetiger Funktionen f_n : D ⊂ R → R, welche gleichmässig gegen f : D ⊂ R → R konvergiert. Dann ist f stetig.

Satz - Gleichmässige Konvergenz und Integrierbarkeit:

Es sei (f_n)_{n∈N_0} eine Folge integrierbarer Funktionen f_n : [a, b] → R, welche gleichmässig gegen f : [a, b] → R konvergiert. Dann ist auch f integrierbar, und es gilt:

∫_a^b f dx = lim_n→∞ ∫_a^b f_n dx