Math : chapitre 1 : logique et theorie des ensembles

Assertion

C’est une phrase que l’on énonce soit positivement soit négativement. Elle est compréhensible sans ambiguïté et on peut y répondre soit par vrai (V ou 1) soit par faux (F ou 0).

Négation

Si P est une assertion alors la négation de P est une assertion, on la note ¬*P.*

¬*P* est vraie si P est fausse et est fausse si P est vraie

Conjonction

Si P et Q sont des assertions alors la conjonction de P et Q est une assertion, on la note P ∧ Q ou P et Q.

Elle est vraie si P et Q sont vraies simultanément et fausse dans les autres cas.

Disjonction

Si P et Q sont des assertion, la disjonction de P et Q est une assertion, on la note P ∨ Q.

Elle est vraie si au moins une des 2 propositions est vraie

Implication

Si P et Q sont des assertions alors, '“P implique Q” est une assertion, on la note P ⇒ Q.

Elle est uniquement fausse quand P est fausse et Q est vraie

Bi-implication

Si P et Q sont des assertions, alors “P bi-implique Q” est une assertion, on la note P ⇔ Q.

Elle est vraie si P implique Q et Q implique P sont vraies simultanément.

Tautologie

C’est quand la proposition est tout le temps vraie.

Ensemble

Un ensemble est une collection d’objets qui partage une ou plusieurs caractéristiques commune.

C’est objets sont les éléments de l’ensemble

Inclusion

On note B ⊂ A (B est inclus dans A ou B est un sous-ensemble de A) quand tous les éléments de B sont aussi éléments de A.

Egalité

On note B = A (B et A sont égaux) si les ensembles A et B ont les mêmes éléments. Cela se traduit par A ⊂ B et B ⊂ A.

Union

Soient A et B deux ensemble, l’ensemble A ∪ B est formé par les éléments qui appartiennent à l’ensemble A ou à l’ensemble B.

D’un point de vue logique, on a :

Quel que soit l’objet x : (x ∈ (A∪B)) ≡ ((x ∈ A) ou (x ∈ B))

Intersection

Soient A et B deux ensembles, l’ensemble A ∩ B est formé par les éléments qui appartiennent à A et à B.

D’un point de vue logique, on a :

Quel que soit l’objet x : (x ∈ (A∩B)) ≡ ((x ∈ A) et (x ∈ B))

Différence

Soient A et B deux ensembles, l’ensemble (A \\ B) est formé par les éléments qui appartiennent à A mais pas à B.

D’un point de vue logique, on a :

Quel que soit l’objet x : (x ∈ (A\\B)) ≡ ((x ∈ A) et ¬(x ∈ B))