微分方程式（Differential Equations）重點複習卡

本套刷題卡涵蓋微分方程式的分類（ODE/PDE）、階數、線性度、各類解的定義、存在與唯一性定理、可分離變數法、一階線性方程式、恰當方程式與積分因子、代換法以及常見物理/生物模型。

常微分方程式（O.D.E.）與偏微分方程式（P.D.E.）的主要區別是什麼？

常微分方程式（O.D.E.）包含對「單一」自變數的微分導數；偏微分方程式（P.D.E.）則包含對「多個」自變數的偏微分導數。

撇號表示法（Prime notation，如 $y'$、$y''$）適用於哪些微分方程式？

撇號表示法僅適用於常微分方程式（O.D.E.），不適用於偏微分方程式（P.D.E.）。

如何定義微分方程式的「階數」（Order）？

微分方程式的階數是由方程式中出現最高階的微分導數（Highest derivative）決定。

一個 $n$ 階常微分方程式（O.D.E.）需滿足哪兩個條件才被稱為線性方程式？

1. 因變數 $y$ 及其所有導數都必須是一次方（First degree）。2. 每個係數 $a_n(x)$ 最多只能依賴於自變數 $x$。

顯解（Explicit solution）與隱解（Implicit solution）有何不同？

顯解可以直接將因變數孤立表示為 $y = \frac{dy}{dx}$ 形式的 $y = \tan(x)$ 或 $y = h(x)$；隱解則表示為關係式 $G(x, y) = 0$，且在區間 $I$ 上至少定義一個滿足該微分方程式的函數 $y = \frac{dy}{dx}$。

通解（General solution）與特解（Particular solution）的定義為何？

通解包含任意常數（參數），且任意常數的數量等於微分方程式的階數；特解則是將通解中的任意常數賦予特定數值後所得到的解。

什麼是奇異解（Singular solution）？

奇異解是指無法透過為通解中的任意常數指定特定數值而獲得的額外解（例如方程式 $(y')^2 - x y' + y = 0$ 的通解為 $y = c x - c^2$，而 $y = \frac{1}{4}x^2$ 為其奇異解）。

微分方程式的平凡解（Trivial solution）指的是什麼？

平凡解是指在定義區間 $I$ 上恆等於零的解（即 $y = 0$）。

一階微分方程式 $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ 存在唯一解的充足條件是什麼？

若函數 $f(x, y)$ 及其偏導數 $\frac{\frac{\frac{\frac{d}{dx}}{\frac{d}{dx}}}{\frac{d}{dx}}}{\frac{d}{dx}}$（即 $\frac{\frac{\frac{d}{dx}}{\frac{d}{dx}}}{\frac{d}{dx}}$）在包含初始點 $(x_0, y_0)$ 的區域 $R$ 內皆為連續（Continuous），則在包含 $x_0$ 的某區間內存在唯一的解 $y(x)$。

什麼是可分離變數微分方程式（Separable differential equation）？其求解方法為何？

可分離變數方程式可寫成 $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ 的形式。求解方法是將所有包含 $y$ 的項移至左邊，含 $x$ 的項移至右邊，再兩邊同時積分：$\frac{\frac{d}{dx}}{\frac{d}{dx}}$，即 $\frac{\frac{d}{dx}}{\frac{d}{dx}}$。

一階線性微分方程式的標準式（Standard form）與積分因子（Integrating factor）公式為何？

標準式為 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = f(x)$；其積分因子公式為 $I(x) = e^{\frac{d}{dx}}$（即 $I(x) = e^{\frac{d}{dx}}$）。同乘後方程式左式可化為 $\frac{d}{dx}[I(x)y]$。

在一階線性微分方程式的解 $y = y_c + y_p$ 中，$y_c$ 與 $y_p$ 分別代表什麼？

$y_c$ 為對應齊次方程式（Homogeneous equation）$\frac{dy_c}{dx} + P(x)y_c = 0$ 的通解（Complementary solution）；$y_p$ 為非齊次方程式的特解（Particular solution）。

恰當方程式（Exact equation）的微分形式與判斷條件為何？

恰當方程式的形式為 $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$。其充要判別條件為 $\frac{\frac{d}{dx}}{\frac{d}{dx}} = \frac{\frac{d}{dx}}{\frac{d}{dx}}$（源於混合偏導數相等 $\frac{\frac{d}{dx}}{\frac{d}{dx}} = \frac{\frac{d}{dx}}{\frac{d}{dx}}$）。

當方程式 $M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$ 不恰當（Not exact）時，如何尋找僅與 $x$ 有關或僅與 $y$ 有關的積分因子？

1. 若 $\frac{M_y - N_x}{N}$ 僅為 $x$ 的函數，則積分因子為 $u(x) = e^{\frac{d}{dx}}$。2. 若 $\frac{N_x - M_y}{M}$ 僅為 $y$ 的函數，則積分因子為 $u(y) = e^{\frac{d}{dx}}$。

誤差函數（Error function，$\text{erf}(x)$）與餘誤差函數（Complementary error function，$\text{erfc}(x)$）的定義及其關係為何？

誤差函數定義為 $\text{erf}(x) = \frac{2}{\frac{d}{dx}}\frac{d}{dx}$（即 $\text{erf}(x) = \frac{2}{\frac{d}{dx}}$），且 $\text{erf}(0) = 0$；餘誤差函數定義為 $\text{erfc}(x) = \frac{2}{\frac{d}{dx}}\frac{d}{dx}$。兩者關係為 $\text{erf}(x) + \text{erfc}(x) = 1$。

在代換法中，如何定義一個齊次函數（Homogeneous function）其次數為 $\frac{d}{dx}$ 次？

若對任意實數 $t$，函數滿足 $f(t x, t y) = t^{\frac{d}{dx}} f(x, y)$，則稱 $f(x, y)$ 為次數（Degree）為 $\frac{d}{dx}$ 的齊次函數。

伯努利方程式（Bernoulli's equation）的標準形式為何？使用何種代換可將其轉化為線性方程式？

標準形式為 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = f(x)y^n$（其中 $n \neq 0$ 且 $n \neq 1$）。使用變數代換 $u = y^{1-n}$ 可將其化簡為線性常微分方程式。

對於形式為 $\frac{dy}{dx} = f(A x + B y + C)$（其中 $B \neq 0$）的微分方程式，應使用何種代換來化簡？

應使用代換 $u = A x + B y + C$，可將該微分方程式轉化為可分離變數型方程式（Separable equation）。

質量-彈簧-阻尼器系統（Mass-spring-damper system）的二階常微分方程式為何？

方程式為 $M\frac{d^2x}{dt^2} + B\frac{dx}{dt} + k x = F(t)$，其中 $M$ 為質量，$B$ 為阻尼係數，$k$ 為彈簧常數，$F(t)$ 為外力。

牛頓冷卻/加熱定律（Newton's law of cooling/warming）的微分方程式模型為何？

方程式為 $\frac{dT}{dt} = k(T - T_m)$，其中 $T$ 為物體溫度，$T_m$ 為環境溫度，$k$ 為比例常數。

在固定人口為 $n$ 的社區中，引入 $1$ 名感染者時，傳染病擴散速率的微分方程式模型為何？

若 $x(t)$ 為感染人數，微分方程式為 $\frac{dx}{dt} = k x(n + 1 - x)$，此為一階常微分方程式（1st order ODE）。