MATEMATIKA

funkcije jedne varijable

Funkcija jedne varijable

pravilo po kojem se svaki element skupa A preslikava na točno jedan element skupa B naziva se funkcija iz skupa A u skup B. f:A→B kada je a podskup r i b podskup r to je funkcija jedne varijable.

Domena

skup A kod preslikavanja f:A→B

Kada kažemo da je funkcija jedne varijable neprekidna?

1. definirana je u točki x=a i njenoj okolini
2. postoji konačna vrijednost lim x→a (f)(x)=f(a)
3. ta vrijednost jednaka je f(a)

Asimptota

asimptota grafa realne funkcije f:(c,d) →R je pravac koji ima svojstvo da udaljenost točke na graf od tog pravca teži nuli kada točka gibajući se po pravcu teži u beskonačno.

Vertikalna asimptota

pravac x=a, određuje se iz lim x→a f(x)= +/- beskonačno

Horizontalna asimptota

pravac y=b, određuje se iz lim x→besk f(x)=b

Kosa asimptota

pravac y=kx+l određuje se iz k=lim x→besk f(x)/x i l=f(X)-kx

Mora li funkcija biti diferencijabilna ako je neprekidna?

Ne mora. primjer je apsolutna funkcija x

Diferencijal

Dan je izrazom dy=f’(x)\* delta x

tim izrazom želimo aproksimirati promjenu vrijednosti funkcije y=f(x) odnosno prirast funkcije koji označavamo s delta y kada znamo da se vrijednost varijable x promijenila za delta x.

Rollerov teorem

Neka je f (a,b) zatvoren interval gdje je a

Totalni diferencijal

Neka je z= (x,y). U situaciji kada se u točki (x0,y0) obje nezavisne varijable promijene za male vrijednosti delta x i delta y tada odgovarajući totalni prirast funkcije delta z možemo aproksimirati zbrojem odgovarajućih parcijalnih diferencijala po jednoj i po drugoj varijabli

Parcijalna elastičnost

Koeficijent parcijalne elastičnosti mjeri relativnu promjenu vrijednosti funkcije uslijed promjene nezavisne varijable za 1%

Eulerov teorem

neka je z=f(x1,x2…**xn**) __realna funkcija__ **n varijabli** s neprekidnim parcijalnim derivacijama u području definicije a je podskup r na n-tu, te neka za svaku točku x=(x1,x2…xn) i λ>0 vrijedi λx=(λx1,λx2…λxn) element a. Tada je funkcija f homogena stupnja homogeniteta alfa __***ako i samo ako***__ vrijedi

\
x1fx1(x)+x2fx2(x)….+xnfxn(x)= alfa f(x)

Efx1+Efx2+…Efxn=alfa

Young Schwartzov teorem

Neka je f:A→R^2 , A je podskup R^2 , **realna** funkcija dvije varijable. Ako su njene parcijalne derivacije drugog reda fxy(x,y) i fyx(x,y) neprekidne na a podskup R^2 onda vrijedi fxy(x,y)=fyx(x,y)

Anticipativan obračun

Kamata znači da se njihov vrši i isplaćuje ili oduzima **unaprijed** za neko vremensko razdoblje, pri čemu ^^se kamate obračunavaju od konačne vrijednosti iznosa.^^

Dekurzivan obračun

Obračun kamata se vrši i isplaćuje ili pribraja danom iznosu C **na kraju danog vremenskog razdoblja** pri čemu se kamate obračunavaju od početne vrijednosti iznosa.

Baza vektorskog prostora R^n

Skup vektora A1…A2…Ak koji


1. razapinju prostor R^n
2. Linearno su nezavisni

Koliko svaka baza prostora Rn nužno ima vektora?

Svaka baza prostora R^n sastoji se od točno n nezavisnih vektora.

Što je kanonska baza prostora Rn?

\

Što je stacionarna točka?

Točka X0 podskup D (f) koja ima svojstvo da je f’(X0)=0 ili da funkcija f nema derivaciju u toj točki.

Iskažite potreban (nužan) uvjet lokalnog ekstrema funkcije jedne varijble

Pretpostavimo da je funkcija y=f(X) derivabilna u točki x0 podskup D(f). Ako je x0 točka lokalnog ekstrema fukcije f, tada je f’(x0)=0.

Navedite algoritam za traženje ekstrema funkcije jedne varijable

1. domena
2. prva derivacija =0 (stacionarna točka)
3. druga derivacija; ako je druga derivacija manja od nule → __**MAKSIMUM**__ ako je veća __**MINIMUM**__

Definirajte pojam proširene matrice sustava.

Proširena matrica oznaka A I B je matrica s n+1 stupcem pri čemu se prvih n stupaca poklapa s dogovarajućim stupcima matrice A, dok je (n+1)-vi stupac identičan vektoru stupcu B.

Iskažite Kronecker Cappelijev teorem.

Sustav ima rješenje ako je R(a)=R(ap)

Nema rješenje ako prethodna relacija nije jednaka

Beskonačno mnogo rješenja ako je R(a) manji od broja nepoznanica

Jedinstveno rješenje ako je R(a) jednak broju nepoznanica

Gauss- Jordanov algoritam

Metoda transformacije matrica u njima ekvivalentne matrice pomoću elementarnih transformacija; zamjena dva retka, množenje retka brojem različitim od nule te dodavanje retka nekom drugom retku

Matrica

pravokutna tablica brojeva, parametara, funkcija ili varijabli.

A € Mm,n - matrica A ima m redaka i n stupaca (m,n € N)

Navedite geometrijsku interpretaciju derivacije

f’(a) predstavlja koeficijent smjera odnosno nagib tangente povučene na graf funkcije u f(x) u točki (a,fx(a)). Derivacija je mjera brzine promjene funkcije uzrokovane malom promjenom.

dovoljan uvjet za maksimum u stacionarnoj točki funkcije dvije varijable

Dovoljan uvjet da diferencijabilna funkcija z=f(x,y) ima maksimum u stacionarnoj točki (x0,y0) je negativna definitnost Hesseove matrice parcijalnih derivacija drugog reda u toj točki.

\
zxx(x0,y0)

postupak računanja ekstrema metodom Lagrang. multiplikatora

Formiramo Lagrangeovu funkciju od tri varijable %%L(λ,x,y)=f(x,y)+λg(x,y)%% gdje je λ lagrangev multiplikator. Imamo nužan uvjet

Lλ=0

Lx=0

Ly=0

dobivamo stacionarne točke

dovoljan uvjet preko proširene hesseove matrice

ako je detH>0 imamo maksimum ako je manje minimum

Definirajte neodređeni integral

Neodređeni integral je skup svih primitivnih funkcija F(X)+C za koje vrijedi ==F’(x)=f(x)

monotono padajuća funkcija

funkcija y=f(x) je strogo padajuća na intervalu I=

Definirajte pojam realne funkcije dvije varijable

Za funkciju f:a → b gdje su a i b neprazni skupovi , kažemo da je realna funkcija dviju varijabli ako je a podskup r^2 i b podskup r. kod realne funkcije dvije varijable svakom uređenom paru (x,y) element a pridružuje se točno jedan realan broj z=f(x,y)

Definirajte pojam homogene funkcije više varijabli

za funkciju z=f(x1,x2) definiranu na skupu a podskup r^2 kažemo da je homogena funkcija homogeniteta alfa ako vrijedi f(λx1,x2)=λ^alfa f(x1,x2)

interpretacija stupnja homogeniteta alfa

stupanj homogeniteta α homogene funkcije kazuje nam koliko se posto približno promijeni (poveća ili smanji) vrijednost funkcije f u točki (x1,x2…xn) ako se vrijednost svih varijabli istovremeno poveća za 1%

Što je diferencijalna jednadžba

Diferencijalna jednadžba je jednadžba u kojoj želimo odrediti funkciju y(x), koja sadrži derivaciju ili više stupnjeve derivacije funkcije y(x).

Što je rješenje diferenc.jednadžbe.

Svaka funkcija y(x) koja zadovoljava diferencijalnu jednadžbu tj prevodi je u identitetu predstavlja rješenje/integral diferencijalne jednadžbe

Što određuje red dif.jednadžbe

Broj jednak najvećem redu derivacije sadržane u diferencijabilnoj jednadžbi predstavlja red diferencijabilne jednadžbe

Definirajte HEsseovu matricu.

Hesseova matrica je matrica čiji su elementi parcijalne derivacije drugog reda funkcije r^2 → r.

Objasnite kako računamo površinu lika omeđenog s jednom funkcijom, a kako sa dvije funkcije

Kada je lik omeđen jednom funkcijom, površina se može izračunati integriranjem te funkcije od jedne do druge točke na osi x, unutar koje se nalazi lik.

Kada je lik omeđen s dvije funkcije, površina se može izračunati integriranjem razlike između dvije funkcije od jedne do druge točke na osi x, unutar koje se nalazi lik. Odnosno, potrebno je odrediti točke presjeka dviju funkcija na osi x, a zatim izračunati integral apsolutne vrijednosti razlike između tih funkcija u tom intervalu.

Definirajte parcijalne derivacije prvog i drugog reda, realne funkcije dvije varijable

Parcijalne derivacije su derivacije funkcije po jednoj varijabli uz pretpostavku da su sve ostale varijable konstantne.

Parcijalna derivacija prvog reda funkcije f(x,y) po varijabli x u točki (a,b) se označava kao f_x(a,b) i definira se kao granica funkcije f(x,y) kada se varijabla x približava vrijednosti a, a varijabla y se drži konstantnom na vrijednosti b:

f_x(a,b) = lim (h->0) \[f(a+h, b) - f(a,b)\]/h

Parcijalne derivacije drugog reda su derivacije prvog reda parcijalnih derivacija, te se označavaju f_{xx}, f_{yy}, i f_{xy} (ili f_{yx}), gdje se f_{xy} definira kao derivacija po x, a zatim po y.

što je inverz

Za kvadratnu matricu A∈Mn postoji matrica A^-1 takva da vrijedi A\*A^-1*=*A^-1\*A=I tada je A^-1 inverzna matrica matrice A.

Ako kvadratna matrica nema maksimalan rang, što možemo zaključiti o determinanti

Determinanta je nula. Vektori su linearno zavisni, ne čine bazu. Matrica je singularna i nema inverz.

Definirajte Cramerov sustav i objasnite.

Sustav je Cramerov ako zadovoljava dva uvjeta.


1. R(a) je maksimalan
2. Broj jednadžbi jednak je broju nepoznanica.

Metodom suprotnih koeficijenata dolazimo do formule X=Di/D

gdje je D determinanta matrice, a Di je determinanta matrice gdje je n-ti stupac zamijenjen vektorom b

Iskažite Rolleov teorem te skicirajte

Neka je f: \[a, b\] →R gdje je a te vrijedi f(a)=f(b). Tada između a i b postoji c takav da je f’(c)=0

Definirajte rastuću i strogo rastuću funkciju.

Funkcija je strogo rastuća na intervalu I

Navedite potreban uvjet za rast funkcije.

Ako je funkcija y=f(x) diferencijabilna i monotono rastuća na intervalu

Definirajte umnožak matrica

Umnožak matrice A=\[aij\] ∈ Mmk i B=\[bij\] je ∈ Mkn je matirca C=\[cij\] formata (m,n).

Je li množenje matrica komutativno? Objasnite.

Množenje matrica nije komutativno.

Iskažite Binet - Cauchyjev teorem

Za kvadratne matrice A,B ∈Mn vrijedi detA+detB=det(A\*B)

Definirajte singularnu i regulatnu matricu

SINGULARNA MATRICA

det=0

R(A) NIJE MAX

linearno zavisni vektori

ne čine bazu

nema inverz

\
REGULARNA MATRICA

detA ≠ 0

R(A)=max

jedinstveno rješenje

linearno nezavisni

svi retci čine bazu

ima inverz

Dokažite da je inverz jedinstven

NEKA SU B I C INVERZI OD A. SLIJEDI

AB=BC=I

AC=CA=I

@@B=BI=@@%%B\*AC=%%==B\*AC===^^I\*C=C^^

DOKAZALI SMO DA JE B=C ŠTO ZNAČI DA JE INVERZ JEDINSTVEN

NAveidte nužne i dovoljne uvjete za postojanje ekstrema

Pretpostavimo da je funkcija y=f(x) diferencijabilna u točki x0 ⊆ D(f). Ako je x0 točka lokalnog ekstrema funkcije f tada je f’(x0)=0.

Dovoljan uvjet (pomoću derivacije)

Ako za prvu derivaciju f’(x0) =0 tada će vrijednost f(x0) biti **lokalni minimum** ako funkcija f’(x) mijenja predznak iz - u + dok nezavisna varijabila prelazi s lijeve na desnu stranu točke x0.

Definirajte točku infleksije i lokalni minimum funkcije jedne varijbale.

Točka infleksije jT(x0, f(x0)) je ona točka koja na grafu funkcije f:

Definirajte HEsseovu matricu.

Hesseova matrica je matrica drugih parcijalnih derivacija funkcije f:R^2 → R. Elementi aij dani su formulom

Objasnite model otplate zajma po modelu jednakih anuiteta.

1. obračun kamata je složen i dekurzivan
2. anuiteti su jednaki i dospijevaju u jednakim vremenskim jedinicama krajem razdoblja
3. duljina razdoblja ukamaćivanja=duljina vrmenskog dospijeća anuiteta (iznosi 1)


1. KAMATNJAK JE FIKSAN

Ima li kvadratna matrica inverz?

Kvadratna matrica ima inverz __***ako i samo ako***__ je njezin ==__***determinanta različita od nule***__==

Može li postojati više od jednog inverza za matricu A

Matrica može imati samo jedan inverz. Ako postoje dvije matrice A i B takve da su obje inverzne matrice, tada vrijedi AB = BA = I. Prema tome, A i B su jednake matrice, pa postoji samo jedan inverz.

NAvedite formulu za računanje inverza preko adjunkte.

47. Ako je A kvadratna matrica, njezin inverz se može izračunati kao A^-1 = adj(A)/det(A), gdje je adj(A) matrica adjungata matrice A.

Ako je r(A)=4 za Ae M5, ima li matrica inverz.

Nema jer rang nije maksimalan.

Definirajte lokalni maksimum funkcije jedne varijable.

neka je I=

Objasnite prosječne i granične troškove te vezu među njima

Prosječni trošak je ukupni trošak podijeljen s ukupnom količinom proizvodnje. Granični trošak je promjena ukupnog troška kada se proizvodnja poveća za jednu jedinicu. Prosječni trošak i granični trošak povezani su preko pravila "zakona opadajuće granične koristi", gdje granični trošak obično raste kako se povećava proizvodnja, što znači da će prosječni trošak također rasti kada se proizvodnja poveća.

Definirajte kofaktor i subdeterminantu

Minor Mij elemenata aij determinante n-tog reda je: determinanta n-1 reda koja se dobije kad se determinanti izostavi jedan redak i jedan stupac.