Analízis és Lineáris Algebra Szigorlati Fogalmak

Flashcards covering key definitions from Linear Algebra, Vector Calculus, and Probability Theory based on the lecture transcript.

Lineáris leképezés ($f: V \rightarrow W$)

Két vektortér közötti leképezés, amely megőrzi a vektorösszeadást és a skalárral való szorzást, azaz $f(\text{u} + \text{v}) = f(\text{u}) + f(\text{v})$ és $f(\text{c} \text{v}) = \text{c} f(\text{v})$.

Lineáris transzformáció

Olyan lineáris leképezés, amely ugyanazon vektortéren belül értelmezett ($f: V \rightarrow V$).

Sajátérték és sajátvektor

Az $\text{A}$ mátrix sajátértéke \text{\lambda} és sajátvektora $\text{v} \neq \text{0}$, ha fennáll az \text{A} \text{v} = \text{\lambda} \text{v} egyenlet.

Karakterisztikus polinom

Egy \text{A} \text{\in} \text{M}_{n \times n} mátrix esetén a P(\text{\lambda}) = \text{det}(\text{A} - \text{\lambda} \text{I}) módon definiált polinom.

Bilineáris forma

Egy $\text{V}$ vektortéren értelmezett függvény, amely mindkét változójában lineáris.

Kvadratikus forma

Egy $\text{L}$ bilineáris forma által származtatott $Q(\text{x}) = L(\text{x}, \text{x})$ alakú függvény.

Skaláris szorzás

Egy valós vektortéren értelmezett bináris művelet, amely szimmetrikus (\text{\langle u, v \rangle} = \text{\langle v, u \rangle}), additív, homogén és pozitív definit.

Euklideszi vektortér

Olyan valós vektortér, amely el van látva egy skaláris szorzással.

Vektor normája

Euklideszi vektortérben a $\text{v}$ vektor hossza, amelyet a \text{\|\text{v}\|} = \text{\sqrt{\langle \text{v}, \text{v} \rangle}} képlettel számítunk ki.

Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz egyenlőtlenség

Euklideszi vektorterekben érvényes összefüggés: \text{|\langle \text{u}, \text{v} \rangle|} \text{\leq} \text{\|\text{u}\|} \text{\cdot} \text{\|\text{v}\|}.

Ortogonális vektorok

Két olyan $\text{v}$ és $\text{w}$ vektor egy euklideszi térben, amelyek skaláris szorzata nulla (\text{\langle \text{v}, \text{w} \rangle} = 0).

Gradiens (\text{\nabla f})

Egy \text{f: H} \text{\subset} \text{\mathbb{R}}^n \text{\rightarrow} \text{\mathbb{R}} skalármező parciális deriváltjaiból alkotott vektor az adott pontban.

Jacobi-mátrix

Egy \text{f: H} \text{\subset} \text{\mathbb{R}}^n \text{\rightarrow} \text{\mathbb{R}}^m differenciálható függvény elsőrendű parciális deriváltjaiból álló \text{m} \text{\times} \text{n}-es mátrix.

Hesse-mátrix

Egy \text{f: H} \text{\subset} \text{\mathbb{R}}^n \text{\rightarrow} \text{\mathbb{R}} kétszer differenciálható skalármező másodrendű parciális deriváltjaiból képzett négyzetes mátrix.

Stacionárius pont

Az $\text{x}_0$ pont, ahol a skalármező gradiense zérusvektor, azaz \text{\nabla f(x}_0) = \text{0}. Ez a lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele.

Görbe sebessége (\text{\gamma'(t)})

A \text{\gamma: [a,b]} \text{\rightarrow} \text{\mathbb{R}}^n differenciálható görbe érintővektora a $\text{t}$ paraméternél, amely a komponensfüggvények deriváltjaiból áll: \text{(\gamma}_1\text{'(t)}, \text{\dots}, \text{\gamma}_n\text{'(t))}.

Konzervatív vektormező

Olyan vektormező, amelyhez létezik skalár potenciálfüggvény, azaz \text{f} = \text{\nabla \Phi}.

Divergencia

Egy differenciálható \text{f: } \text{\mathbb{R}}^n \text{\rightarrow} \text{\mathbb{R}}^n vektormező parciális deriváltjainak összege: \text{div f} = \text{\nabla} \text{\cdot} \text{f} = \text{\sum}_{i=1}^n \frac{\text{\partial f}_i}{\text{\partial x}_i}.

Rotáció

Egy \text{f: } \text{\mathbb{R}}^3 \text{\rightarrow} \text{\mathbb{R}^3} vektormező differenciáloperátora, jelölése \text{rot f} = \text{\nabla} \text{\times} \text{f}.

Bayes-tétel

A feltételes valószínűségre vonatkozó összefüggés: \text{P(B}_i\text{|A)} = \frac{\text{P(A|B}_i\text{)} \text{P(B}_i\text{)}}{\text{\sum}_{j=1}^n \text{P(A|B}_j\text{)} \text{P(B}_j\text{)}}, ahol a $\text{B}_j$ események teljes eseményrendszert alkotnak.

Várható érték (diszkrét)

A lehetséges értékeknek a hozzájuk tartozó valószínűségekkel súlyozott összege: \text{E(X)} = \text{\sum}_i \text{x}_i \text{P(X} = \text{x}_i\text{)}.

t-próba

Ismeretlen szórású, normális eloszlású sokaság várható értékének vizsgálatára szolgáló statisztikai próba. Próbastatisztikája: \text{t} = \frac{\text{\bar{X}} - \text{\mu}_0}{\text{s}} \text{\sqrt{n}}, amely $\text{f} = \text{n} - 1$ szabadsági fokú Student-féle t-eloszlást követ.