Matrike (5. predavanje)

Zbirka flashcardov o osnovah matrik, operacijah, Gaussovi metodi, metodi najmanjših kvadratov in inverzih matrik.

Matrika velikosti $m \times n$

Urejena $m$-terica urejenih $n$-teric realnih števil, torej element prostora $(R^n)^m$.

Stolpāni vektorji

Matrike velikosti $m \times 1$, ki jih lahko identificiramo z obiāajnimi vektorji.

Vrsticiāni vektorji

Matrike velikosti $1 \times n$, ki jih lahko identificiramo z obiāajnimi vektorji.

Produkt matrike s skalarjem

Operacija, pri kateri se vsak vhod matrike pomnoŹi s skalarjem $\alpha$ po komponentah.

Produkt matrik ($C = AB$)

Matrika velikosti $m \times p$, katere $(i, j)$-ti element je skalarni produkt $i$-te vrstice matrike $A$ in $j$-tega stolpca matrike $B$, zapisan kot $c_{i,j} = \sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j}$.

Transponiranka matrike ($A^T$)

Matrika, pri kateri je $(i, j)$-ti element enak $(j, i)$-temu elementu originalne matrike $A$.

Niāelna matrika ($0_{m,n}$)

Matrika velikosti $m \times n$, ki ima vse elemente enake niā.

Identiāna matrika ($I_n$)

Kvadratna matrika, ki ima po glavni diagonali same enke, drugod pa same niāle.

Elementarna matrika $E_{i,j}(\alpha)$

Matrika, dobljena tako, da v identiāni matriki $I_m$ k $i$-ti vrstici prištejemo $\alpha$-kratnik $j$-te vrstice.

Elementarna matrika $P_{i,j}$

Matrika, dobljena tako, da v identiāni matriki $I_m$ zamenjamo $i$-to in $j$-to vrstico.

Elementarna matrika $E_i(\beta)$

Matrika, dobljena tako, da v identiāni matriki $I_m$ mnoŹimo $i$-to vrstico z $\beta$.

Posplošena rešitev sistema

Vektor $x_0$, ki minimizira izraz $\|Ax - b\|$; ustreza obiāajnim rešitvam sistema $A^T Ax = A^T b$.

Najkrajša rešitev sistema

Rešitev z najmanjšo normo, ki jo dobimo z nastavkom $x = A^T y$, kjer je $y$ poljubna rešitev $AA^T y = b$.

Inverz kvadratne matrike ($A^{-1}$)

Kvadratna matrika $B$, za katero velja $AB = BA = I$. Matrika je obrnljiva natanko tedaj, ko je enaka produktu elementarnih matrik.