meccanica - sistemi di punti materiali

dammi la definizione di baricentro

il baricentro o centro di massa del sistema è il punto geometrico di coordinate

r_CM = sum(m_i r_i) / sum(m_i)

oppure, con la massa totale M

r_G = 1/M * sum(m_i r_i)

la velocità del baricentro è

v_CM = sum(m_i v_i) / M = p/M

differenziando rispetto al tempo:

dp/dt = M a_G = sum(m_i a_i) = F_i

arriva ad enunciare la prima eq. cardinale della dinamica

la velocità del baricentro è

v_CM = sum(m_i v_i) / M = p/M

differenziando rispetto al tempo:

dp/dt = M a_G = sum(m_i a_i) = F_i (*)

abbiamo ricavato l’equazione m a_i = F_i , ma conviene vedere la forza totale come una somma di forza esterna al sistema F_i^E e una fora interna dovuta alle particelle circostanti F_i^I.

F_i = F_i^I + F_i^E

Per il 3° principio di newton per ogni azione del punto i-esimo sul punto j-esimo F_ji corrisponde una reazione uguale e contraria del punto j-esimo esercitata sul punto i-esimo F_ij = -F_ji

Essendo la somma vettoriale INDIPENDENTE dal punto di applicazione, abbiamo che F_i^I = sum_i=/=j (F_ij) e che quindi

sum_i=1^N(F_i^I) = sum_{i,j = 1}^N(F_ij)

DIMOSTRAZIONE (1 ver)

sum_i<j(F_ij) + sum_j<i(F_ij) =

= sum_i<j(F_ij) - sum_j<i(F_ji)

dato che la somma è indipendente dal nome delle variabili su cui si somma, posso scambiare la i e la j nel secondo termine:

sum_i<j(F_ij) - sum_i<j(F_ij)

DIMOSTRAZIONE (2 ver)

fisso una coppia i, j e considero solo le forze che coinvolgono i e j

F_ij + F_ji = (3° princ) = F_ij - F_ij = 0

quindi (*) sarebbe

dp/dt = sum(m_i a_i) = (2° princ) = sum(F_i^I + F_i^E) = sum F_i^E = F^E

cosa dice il teorema del moto del baricentro? Qual è una sua conseguenza?

il baricentro si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e su cui agisce la risultante delle forze esterne.

La sua conseguenza afferma che per conoscere il moto del baricentro è sufficiente conoscere le forze esterne che agiscono su di esso.

come si effettua il passaggio da un insieme di elementi discreti a un insieme continui di infinite particelle?

basta scomporre il volume in moltissimi volumetti infinitesimi e passare da sommatorie a integrali:

lim_ΔV→0 sum(ΔV_i ρ(r_i) r_i) = 1/M ∫ ρ(r_i) r_i dV

spiega come arrivare alla seconda equazione cardinale della dinamica

Ho un polo O e un vettore r_O che descrive le coordinate di O rispetto l’origine del sistema.

Il momento angolare rispetto ad O è dato da

• L_o = sum L_Oi = sum (OP_i x p_i)

derivo:

• dL_o/dt = sum d/dt(OP_i x p_i) =

  = sum (dOP_i/dt* p_i + OP_i *dp_i/dt) (#)

• d/dt OP_i = v_i - v_o

• (#) diventa sum (v_i - v_o) x p_i + OP_i x F_i

Ma v_i x p_i = 0 perché paralleli, quindi

• -v_o x p_i + OP_i x (sum(F_i^I + F_i^E))

dimostro che posso eliminare le forze interne:

sum_i,j OP_i F_ij = sum_i<j OP_i x F_ij + sum_j<i OP_i x F_ij

adesso cambio i con j e j con i

= sum_i<j OP_i x F_ij + sum_i<j OP_i x F_ij = (1° parte 3° princ)

= sum_i<j (OP_i x F_ij - OP_j x F_ij) = sum_i<j (OP_i - OP_j) x F_ij =

= sum_i<j P_jP_o x F_ij = 0 perché Fij // P_jP_i

Quindi, riprendendeo il discorso di prima

• dL_o/dt = - v_o x p_i + OP_i x (sum(F_i^I + F_i^E)) =

  = - v_o x p_i + sum(OP_i x F_i^E) = -v_o x p + M^E

Questa equazione si semplifica con solo dL_o/dt = M^E se:

• O è fisso (v_o = 0)

• il baricentro è fisso (p = mv_CM = 0)

• v_o // v_CM

• O corrisponde con il centro di massa

spiega la differenza tra ‘nel CM’ e ‘del CM’ e come preferisce distinguerli il prof

una scrittura del tipo v* indica nel CM, ovvero la velocità osservata dal sistema del CM.

una scrittura del tipo v_CM indica la velocità complessiva del CM visto dall’esterno, e viene chiamato del CM

spiega e dimostra il teorema di Konig per il momento angolare

connette il momento angolare rispetto al polo O e quello rispetto al CM. Il teorema ci dice infatti che:

L_o = r_CM x p + (L_CM)*

il momento angolare rispetto un arbitrario polo O = momento angolare del CM + momento angolare del CM.

DIMOSTRAZIONE

so che r_i = r_i* + r_CM e che v_i = v_i* + v_CM

L_o = sum (r_i x m_i v_i) =

= sum ((r_i* + r_CM) x m_i (v_i* + v_CM))

= sum (r_i* x m_i v_i*) + r_CM x sum(m_i v_i*) + sum (m_ir_i*) x v_CM + r_CM x Mv_CM

si eliminano perche p* = 0 e m_ir_i* = 0

• sum (r_i* x m_i v_i*) = L_CM*

• r_CM x Mv_CM = r_CM x p

Ho dimostrato che L_o = L_CM* + r_CM x p

spiega e dimostra il teorema di Konig per l’energia cinetica

l’energia cinetica totale K è la somma dell’energia cinetica DEL CM e dell’energia cinetica NEL CM

K = ½ M v_CM² + K*

DIMOSTRAZIONE

K = sum ( ½ m_i v_i v_i) = sum ( ½ m_i (v_i* + v_CM) (v_i* + v_CM))

= ½ sum (m_i v_i*² ) + ½ v_CM sum(m_i v_i*) + ½ v_CM sum(m_i v_i*) + ½ sum(m_i v_CM * v_CM)

si eliminano perché p* = 0

• ½ sum (m_i v_i*² ) = K*

• ½ sum(m_i v_CM * v_CM) = ½ M v²_CM