M5: Portfolio Mathematics

Definition Expected return of portfolio

Là tỷ suất sinh lời trung bình mà bạn dự kiến từ một danh mục đầu tư, có tính đến tỷ trọng (weight) từng tài sản trong danh mục

Hiểu đơn giản: bạn bỏ bao nhiêu tiền hơn vào tài sản nào -> lợi nhuận kỳ vọng của tài sản đó ảnh hưởng mạnh hơn đến toàn danh mục

Formula Expected return of portfolio

E(Rp) = w1xE(R1) + w2xE(R2) +...+ wnxE(Rn)

- wi: tỷ trọng đầu tư vào tài sản i (tổng wi =1)

- E(Ri): lợi nhuận kỳ vọng của tài sản i

- E(Rp): lợi nhuận kỳ vọng của danh mục

Ý nghĩa Expected return of portfolio

• Ước lượng danh mục sẽ sinh lời bao nhiêu

• So sánh danh mục với các cơ hội đầu tư khác

• Nhưng chỉ nhìn expected return thôi là chưa đủ, phải xem thêm rủi ro (độ lệch chuẩn, phương sai)

Definition Variance of portfolio

Độ biến động (rủi ro) của 1 danh mục gồm nhiều ts không chỉ phụ thuộc vào từng ts riêng lẻ, mà còn phụ thuộc mức độ tương quan giữa chúng

Formula Variance of portfolio

Var(Rp) = σP^2 = ∑(i=1->N) ∑(j=1->N) wiwjCov(Ri,Rj)

- wi,wj: tỷ trọng đầu tư vào tài sản i và j

- Ri,Rj: lợi suất tài sản i, j

- Cov: hiệp phương sai

TH 2 ts: Variance of portfolio

Trường hợp 2 ts A và B:

σP^2 = wA^2σA^2 + wB^2σB^2 + 2wAwB x rhoA,B x σAσB

- wA, wB: tỷ trọng A và B trong danh mục

- σA, σB: độ lệch chuẩn của A và B

- rho A,B: hệ số tương quan giữa A và B

Definition Covariance (hiệp phương sai) of portfolio

• Đo mức độ hai tài sản biến động cùng nhau

Nếu Cov > 0: khi tài sản A tăng thì B cũng có xu hướng tăng (cùng chiều)

Nếu Cov < 0: khi A tăng thì B có xu hướng giảm (ngược chiều)

Nếu Cov = 0: hai tài sản gần như không liên quan

• Là cơ sở để hiểu tại sao đa dạng hóa danh mục (diversification) có thể giảm rủi ro

Formula Covariance of portfolio

Cov(Ri,Rj) = E x [(Ri - E(Ri)] x [Rj - E(Rj)]

- Ri, Rj: lợi nhuận ngẫu nhiên của tài sản i và j

- E(Ri), E(Rj): lợi nhuận kỳ vọng của từng tài sản

Characteristics Covariance of portfolio

• Cov(Ri, Rj) = Var(Ri) = σ(Ri)^2 (hiệp phương sai của một biến với chính nó chính là phương sai)

• Giá trị covariance có thể chạy từ âm vô cùng đến dương vô cùng

• Covariance phụ thuộc vào đơn vị đo, nên khó so sánh trực tiếp -> vì vậy ngta thường chuẩn hóa thành correlation

Definition Correlation (hệ số tương quan) of portfolio

Đo lường mức độ và hướng mqh tuyến tính giữa 2 tài sản

Formula Correlation of portfolio

Corr(Ri, Rj) = rho Ri, Rj = Cov(Ri, Rj) / (σRi x σRj)

- Cov(Ri, Rj): hiệp phương sai của lợi nhuận i và j

- σRi, σRj: độ lệch chuẩn của lợi nhuận i và j

Ý nghĩa Correlation of portfolio

• Corr = +1: hai tài sản biến động cùng chiều hoàn hảo -> diversification không có tác dụng

Nghĩa là nếu ts A giảm 5% thì ts B cũng giảm 5% -> Khi gộp chúng vào danh mục, biến động vẫn hệt như nắm 1 ts -> không có lợi ích đa dạng hóa

• Corr = -1: hai tài sản biến động ngược chiều hoàn hảo -> diversification giảm rủi ro tối đa (thậm chí loại bỏ rủi ro)

A tăng 5% thì B giảm đúng 5% -> Khi kết hợp sự "cộng-trừ" này có thể bù trừ rủi ro hoàn toàn (nếu chọn đúng tỷ trọng) -> có thể loại bỏ toàn bộ phương sai danh mục -> rủi ro = 0

• Corr = 0: hai tài sản không liên quan -> diversification giảm rủi ro một phần

Key properties of normal distribution

1. Xác định bởi 2 tham số: mean (mju) và variance (σ^2)

• Ký hiệu: X ~ N(mju, σ^2)

2. Đối xứng: skewness = 0 -> phân phối đối xứng qua giá trị trung bình

• Nghĩa là xác suất nằm bên trái và bên phải trung bình là như nhau

3. Độ nhọn chuẩn: -> Kurtosis = 3 -> mức độ tập trung vừa phải, không quá nhọt hay dẹt -> Excess kurtosis = 0 (so với phân phối chuẩn lý tưởng)

4. Ổn định khi cộng

Nếu cộng hoặc kết hợp tuyến tính các biến tuân theo phân phối chuẩn -> kết quả vẫn là chuẩn

5. Đuôi kéo dài vô hạn -> xác suất giảm dần khi giá trị xa trung bình, nhưng không bao giờ = 0

• Các giá trị cực đoan vẫn có thể xảy ra, dù rất hiếm

Kết luận: phân phối chuẩn có dạng chuông đối xứng, tập trung quanh trung bình -> Được dùng nhiều trong tài chính để mô tả lợi suất đầu tư, rủi ro, và hành vi thị trường

An application of normal distribution

• Shortfall risk (rủi ro thiếu hụt)

• Roy's Safety-First Criterion (tiêu chuẩn an toàn nhất của Roy)

Shortfall risk (rủi ro thiếu hụt)

• Là xác suất danh mục đầu tư bị lỗ hoặc sinh lời thấp hơn mức kỳ vọng tối thiểu mà NĐT chấp nhận (gọi là required/ threshold return level)

  • Đây là rủi ro mà lợi nhuận không đạt đến mức tối thiểu mong muốn

VD: nếu bạn muốn lợi nhuận ít nhất 5%, nhưng có 20% khả năng danh mục của bạn chỉ đạt dưới mức đó -> shortfall risk = 20%

Roy's Safety-First Criterion (tiêu chuẩn an toàn nhất của Roy)

• Giả định:

- Lợi nhuận danh mục phân phối chuẩn (normal distribution)

- NĐT ngại rủi ro (risk-averse)

• Nguyên tắc: danh mục tốt nhất là danh mục có xác suất rơi xuống dưới mức tối thiểu RL thấp nhất, hay tương đương là SFR (safety - first ratio) cao nhất

• SFR = (E(Rp) - RL) / σp

- E(Rp): lợi nhuận kỳ vọng của danh mục

RL: threshold return level, which is the minimum acceptable level

σp: độ lệch chuẩn của danh mục (mức rủi ro)

- Mẫu số σp: rủi ro -> càng nhỏ càng tốt

Tử số E(Rp) - Rl: khoảng "dư" so với ngưỡng -> càng lớn càng tốt