fonction exponentielle

Qu’est ce qu’une équation différentielle?

Une équation où ce qui est cherché est la fonction grâce à la dérivée.

Donner un exemple fondamental d’équation différentielle

f’= k*f

Que peut on dire sur l’équation différentielle de type f’=k*f ?

La solution de l’équation est :

f(x) = C * eᵏ ˣ

La fonction f est exponentielle,

Si k>0📈

Si k<0📉

Comment appelle-t-on la fonction de type f’=k*f où k=1

C’est LA fonction exponentielle exp

Quelles sont les caractéristiques de LA fonction exponentielle?

f’=1*f donc f’=f

Mais pas n’importe quel f’=f ( f[x]=C*e^x ), il faut que C=1

Donc f(x) = 1*e^x

f(0)= 1*e^0 = 1

Que vaut e ?

e = exp(1) = 2,71828

exp(0)= ?

= 1

exp’=

=exp

Le signe de exp sur R ?

Strictement positif

Sens de variation de exp sur R ?

Strictement croissant

$e^{-x}$ = ?

$$\frac{1}{e^{x}}$$

Comment est appelé e et quel type de nombre est-ce ?

La “constante d’Euler”

C’est un nombre irrationnel (ne peut être écrit sous forme de fraction)

Que vaut $e^{x+y}$?

$$e^{x}\cdot e^{y}$$

Que vaut$e^{x-y}$?

$$\frac{e^{x}}{e^{y}}$$

Que vaut exp(2) ?

exp(1+1)

exp(1)*exp(1)

e*e

e²

Que vaut exp(n)

e^n

Que vaut exp(na)

$$\exp(a)^{n}$$

Pourquoi peut-on dire que exp(x)=e^x ?

Car exp(x) = exp(1*x) = (exp(1))^x = e^x

Que permet la notation exp(x)=e^x ?

On peut calculer les exponentielles comme des puissances

Quel est l’ensemble de dérivabilité de la fonction exponentielle?

R

Appliquer la formule de tangente à la tangente de 0

f’(a)*(x-a)+f(a)

exp’(0)*(x-0)+exp(0)

=1*x+1

=x+1

Une conséquence de la stricte croissance de la fonction exp lors de la résolution d’(in)équations ?

e^x =>< e^y <=> x =>< y

Quelle méthode pour résoudre des (in)équations comportant une ou plusieurs images de exp ?

Se ramener à une (in)équation de la forme e^x =/</> e^y

Tout rabaisser

Résoudre

Si a>0

Quelle puissance de a équivaut à $\sqrt{a}$ ?

$$a^{\frac12}$$

En effet, tout comme :

$$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$$

On a aussi :

$$\left(a^{\frac12}\right)^2=a^{\frac12+\frac12}=a^{\frac22}=a$$

Que sait on sur les exponentielles qui peut nous éviter certaines équations impossibles ?

Une exponentielle est toujours strictement positive

Donc une équation E telle que $e^{a}=n$ avec n<0 n’admet pas de solution.

Ne pas confondre $e^{2x}$ avec…

$e^{x^2}$ !!!!! ⚠ ⚠ ⚠

Que ne peut on pas faire avec des exponentielles différentes (par exemple $e^{x}$ et $e^{-x}$ ) ?

Ni les additionner ni les soustraire

Comment donner le signe/tableau de signe d’une somme de deux termes exponentiels ?

On factorise et on regarde le signe de chaque facteur