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Definition (kommutativer) Ring

(R,+,*) R nichtleere Menge, +: R × R → R, *: R × R → R mit

• (R,+) ist abelsche Gruppe mit neutralem Element 0

• (R,*) ist Monoid mit neutralem Element 1

• Es gelten die DG: ∀a,b,c ∈ R: a(b + c) = (ab) + (ac) und (a + b)c = (ac) + (bc)

Kommutativer Ring: (R,*) ist kommutativer Monoid

Rechenregeln in Ringen (6)

∀x,y ∈ R:

• 0 * x = x * 0 = 0

• (-x) * y = -(x * y) = x * (-y)

• (-x) * (-y) = x * y

• (-1)x = -x

• (-1)² = 1

• (-x)² = x²

Definition Polynomring

Vor.: (R,+,*) Ring, neut. Elem + ist 0, neut. Elem * ist 1

R[X] ≔ {(a_n)_n∈ℕ0 | (∀n ∈ ℕ₀: a_n ∈ R) ∧ (nur endlich viele a_n ≠ 0)}

• (a + b)_k := a_k + b_k

• (a * b)_k := (c_k) = ∑^k_i=0 a_ib_k-i

Vor. => (R[X],+,*) ist Ring mit neut. Elem (0,0,0,…) für +, (1,0,0,…) für * und additiver Inverse (-a_k)_k∈ℕ0 von (a_k)_k∈ℕ0

Definition Grad eines Polynoms

Vor.: Polynom p = (a_k)_k∈ℕ0 ∈ R[X], p ≠ 0

deg p = min_n∈ℕ0 {∀k > n: a_k = 0}

• Nullpolynom: deg 0 = -∞

Definition Vektorraum

Vor.: (V, +) abelsche Gruppe, 𝕂 Körper mit skalarer Mult. *: 𝕂 × V → V

V ist Vektorraum über 𝕂, wenn:

• ∀v ∈ V: 1 * v = v

• ∀v ∈ V, ∀µ,λ ∈ 𝕂: (λ * µ) * v = λ * (µ * v) (vgl. AG)

• DG: ∀v,w ∈ V, ∀μ,λ ∈ 𝕂: (λ + μ) * v = λ * v + μ * v und λ * (v + w) = λ * v + λ * w

Elems in V: Vektoren, Elems in 𝕂: Skalare

Kanonische Vektorräume

Vor.: 𝕂 Körper, n ∈ ℕ

𝕂ⁿ ist mit +: 𝕂ⁿ × 𝕂ⁿ → 𝕂ⁿ und *: 𝕂 × 𝕂ⁿ → 𝕂ⁿ ein 𝕂-Vektorraum

• Gruppeneigenschaft von (𝕂,+) überträgt sich auf (𝕂ⁿ,+)

Rechenregeln Vektorräume

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum

∀v ∈ V, λ ∈ 𝕂:

• 0 * v = 0 (Vektor)

• (-1) * v = -v

• λ * 0 = 0 (beides Vektoren)

Definition Untervektorräume

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum

(U,+) ist UG von (V,+) und * muss in U abgeschlossen sein: *: 𝕂 × U → U

• V und {0} sind immer UVR von V

• Jeder (Unter-) Vektorraum muss durch 0 gehen (0 neutr. Elem von +)

Untervektorraumkriterium

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum, U ⊆ V nichtleer

U ist UVR von V, wenn ∀v,w ∈ U, ∀λ,µ ∈ 𝕂: λv + µw ∈ U

• Separat: v,w ∈ U ⇒ v + w ∈ U und λ ∈ 𝕂, v ∈ U ⇒ λv ∈ U

Schnitte von UVR

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum, I beliebige nichtleere Indexmenge, U_i ⊆ V ∀i ∈ I

U := ∩_i∈I U_i ist UVR von V

• Es gilt nicht für die Vereinigung (+ nicht abgeschlossen)

Definition Linearkombination

Vor.: v₁, …, v_n ∈ V (𝕂-Vektorraum), λ₁, …, λ_n ∈ 𝕂

v = ∑ⁿ_i=1 λ_iv_i → Linearkombination der v_i mit Koeffizienten λ_i

• Linearkombinationen sind Element des Vektorraums (+, * abgeschlossen auf V)

• Sind alle v_i ∈ U (UVR), ist auch jede Linearkombination von v_i in U

Erzeugendensysteme

Vor.: v₁, …, v_n ∈ V

• Menge aller Linearkombinationen: span{v₁, …, v_n} = {v ∈ V | ∃λ₁, …, λ_m ∈ 𝕂: v = ∑^m_i=1 λ_iv_i}

U := span{v₁, …, v_m} UVR von V → Menge {v₁, …, v_m} ist Erzeugendensystem von U

Erzeugter Untervektorraum

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum, M ⊆ V

Durch M erzeugter Untervektorraum: span(M) = {∑^m_i=1 λ_iv_i | m ∈ ℕ, ∀i ∈ {1,…,m}: λ_i ∈ 𝕂, v_i ∈ M}

• M kann unendlich sein, aber LK sind immer aus endlich vielen Elementen

• M ⊆ span(M)

• M ist UVR <==> M = span(M)

Defintion Familien von Vektoren

Vor.: Indexmenge I, Vektorraum V

Abbildung I → V, i ↦ v_i

Bezeichnung: (v_i)_i∈I, oder (v₁, …, v_n) bei I = {1, …, n}

• Vektoren sind nach I geordnet, haben feste Plätze

• Doppelte Vektoren erlaubt

• Jede Menge M ⊆ V kann als Familie aufgefasst werden mit geeigneter Indexmenge

Definition Lineare Unabhängigkeit

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum

Endliche Familie von Vektoren (v₁, …, v_n) ⊆ V ist linear unabhängig, wenn ∑^m_i=1 = 0 ==> ∀i ∈ {1, …, m}: λ_i = 0

• Nullvektor mit l.u. Vektoren nur trivial darstellbar (all λ = 0)

• Familie mit Dopplungen ist immer linear abhängig → kein Vektor darf durch andere darstellbar sein

Definition Lineare Unabhängigkeit beliebiger Familien

Familie M ⊆ V (Vektorraum) ist linear unabhängig, wenn jede ihrer endlichen Teilmengen linear unabhängig ist

Kriterium lineare Unabhängigkeit

Vor.: Vektorraum V, Familie M ⊆ V

M ist l.u., <==> jedes v ∈ span(M) hat nur eine Darstellung als L.K von Elementen aus M (eindeutig)

Definition Affine Untervektorräume

Vor.: Vektorraum V, U ⊆ V UVR, v ∈ V

v + U := {v + u | u ∈ U} ist affiner UVR von V

• Jeder UVR ist auch ein affiner UVR, da 0 + U = U

Definition und Nutzen von Basen

Familie B ist Basis von Vektorraum V, wenn es ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V ist

• B ist Basis von V <==> alle v ∈ V lassen sich eindeutig als L.K. aus Vektoren in B darstellen

• Beweis B ist Basis: Es gilt span(B) = V und B ist l.u. (Kriterium L.U.)

Basisauswahlsatz

Aus jedem endlichen Erzeugendensystem eines Vektorraums lässt sich eine Basis auswählen

Austauschlemma von Steinitz

Vor.: Vektorraum V, Basis B = (w₁, …, w_n), n ∈ ℕ, v ∈ V als L.K. in B als v = ∑ⁿ_i=1 λ_iv_i, k so, dass λ_k ≠ 0

B’ := B ∪ {v} \ {w_k}

Austauschsatz von Steinitz

Vor.: Vektorraum V, Basis B = (w₁, …, w_n), |B| = n, M = (v₁, …, v_r) ⊆ V l.u. Familie

Es gilt: r ≤ n, ∃n-r Elemente j_r+1, …, j_n ∈ {1, …, n} ∈ B, dass B’ := M ∪ (w_j(r+1), …, w_j(n)) Basis von V

• Sense: Tausche r Elems aus B mit Elementen in M aus (Austauschlemma r-mal)

Länge einer Basis

Vor.: Vektorraum V mit Basis endlicher Länge |B|

Jede weitere Basis ist endlich und hat gleiche Länge

Definition Dimension

Vor.: V ist 𝕂-Vektorraum mit endlicher Basis B

dim V = |B|

• Für B unendlich: dim V = ∞

• Genauere Schreibweise: dim_𝕂 V = |B|

• dim 𝕂ⁿ = n

• Polynome vom Grad ≤ n: dim P_n = n + 1, mögliche Basis B = (1, x, x², …, xⁿ)

Basisergänzungssatz

Zu jeder l.u. Familie M eines Vektorraums existiert eine Basis B mit M ⊆ B

• Jeder Vektorraum besitzt eine Basis

Linear unabhängige Mengen und Basen

Vor.: Vektorraum V, dim V = n ∈ N

Jede l.u. Familie M ⊆ V mit n Elementen ist eine Basis

Dimension von Unterräumen

Vor.: V endlich-dimensionaler Vektorraum, W ⊆ V UVR

Es gilt: dim W ≤ dim V und dim W = dim V <=> V = W

Definition Summe von Unterräumen

Vor.: V endlich-dimensionaler Vektorraum, U₁, U₂ ⊆ V UVR

U₁ + U₂ := span(U₁ ∪ U₂)

• Gilt auch für U₁ + … + U_m

• U₁ + U₂ ist der kleinste UVR von V, der U₁ und U₂ enthält

• Alle v ∈ U₁ + U₂ kann als v = v₁ + v₂ mit v_i ∈ U_i dargestellt werden → nur eindeutig, wenn U₁ ∩ U₂ = {0}, sonst nicht (0)

Definition Direkte Summe von Unterräumen

Vor.: V endlich-dimensionaler Vektorraum, U₁, U₂ ⊆ V UVR, U₁ ∩ U₂ = {0}

Dann ist U₁ + U₂ die direkte Summe U₁ ⊕ U₂

Eigenschaften von direkten Summen

Vor.: V endlich-dimensionaler Vektorraum, U₁, U₂ ⊆ V UVR

Für U := U₁ + U₂ sind äquivalent:

• U = U₁ ⊕ U₂

• ∀v ∈ U ex. eindeutige Darstellung v = v₁ + v₂ mit v_i ∈ U_i, i ∈ {1,2}

• ∀v_i ∈ U_i, i ∈ {1,2} gilt v₁ + v₂ = 0 => v₁ = v₂ = 0

Dimensionen von Summen von Unterräumen

Vor.: V endlich-dimensionaler Vektorraum, U₁, U₂ ⊆ V UVR

dim(U₁ + U₂) = dim U₁ + dim U₂ - dim(U₁ ∩ U₂)

Definition Direkte Summen von mehr als zwei Unterräumen

Vor.: V endlich-dimensionaler Vektorraum, U₁, …, U_m ⊆ V UVR mit ∀k ∈ {1, …, m}: U_k ∩ (U₁ + … + U_k-1 + U_k+1 + … U_m) = {0}

Dann ist die direkte Summe der Vektorraum U₁ ⊕ … ⊕ U_m := span(U₁ ∪ … ∪ U_m)

• Bedingung stärker als ∀i ≠ j; U_i ∩ U_j = {0} (z.B. x-Gerade darf nicht in y-z Ebene liegen)

• Schnitt von UVR ist wieder UVR

Definition Komplement von Unterräumen

Vor.: U, W ⊆ V UVR von Vektorraum

W ist Komplement von U in V, wenn V = U ⊕ W

• Jeder Unterraum U eines endlich-dimensionalen Vektorraums V besitzt (mind.) ein Komplement

• Das Komplement ist i.A. nicht eindeutig

Definition Körper

Kommutativer Ring (R,+,*) mit abelscher Gruppe (R\{0},*) mit neutralem Element 1 ≠ 0 (jedes Element der Gruppe hat multiplikatives Inverses)

Charakterisierung Körper

Vor.: 𝕂 ist Körper mit +,* Verknüpfungen, wenn gilt

• (𝕂,+) ist abelsche Gruppe mit e = 0

• (𝕂\{0},*) ist abelsche Gruppe mit e = 1 ≠ 0

• DG

Nullteilerfreiheit und Rechnen im Körper

∀x,y ∈ 𝕂: x * y = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ y = 0

• In Körpern können wir rechnen wie gewohnt (+,-,*,/)

Kleiner Fermat’scher Satz

Vor.: p Primzahl, a ∈ ℤ, a ≠ 0, kein Vielfaches von p.

• a^p-1 ≡ 1 (mod p)

• Korollar: Vor. => a^-1 ≡ a^p-2 (mod p)

Definition Menge der komplexen Zahlen

ℂ := {a + bi | a,b ∈ ℝ} mit i² = -1 (also i = √-1)

• Schreibweise z = a + bi, Realteil Re(z) := a, Imaginärteil Im(z) := b

• ℝ ⊂ ℂ: ℂ als Erweiterung der reellen Zahlen, bei reellen Zahlen ist Im(z) = 0

Addition und Multiplikation komplexer Zahlen

Vor.: z₁ = a + bi, z₂ = c + di ∈ ℂ.

• +: ℂ × ℂ → ℂ, z₁ + z₂ := (a + c) + (b + d)i

• *: ℂ × ℂ → ℂ, z₁ * z₂ := (ac - bd) + (ad + bc)i => hier einfach normal multiplizieren

Neutrale und inverse Elemente der komplexen Zahlen

• +: 0 = 0 + 0i

• *: 1 = 1 + 0i

• Inverse +: -z = -a - bi

• Inverse *: z^-1 = 1/z = (a - bi) / (a² + b²)

ℂ als Körper

Menge ℂ bildet mit + und * einen (kommutativen) Körper

• ℂ ist nicht angeordnet: ≤ und ≥ sind nicht anwendbar

Geometrische Interpretation der komplexen Zahlen

• |z| = √(Re(z)² + Im(z)²) → Euklidischer Abstand zum Nullpunkt

• Winkel für a > 0: φ = arg(z) = arctan(b/a) ∈ (-π/2, π/2)

Betragseigenschaften einer komplexen Zahl

∀z,w ∈ ℂ

• |z| ≥ 0

• |z| = 0 <=> z = 0

• |z * w| = |z| * |w|

• Falls w ≠ 0, so |z/w| = |z| / |w|

Konjugation komplexer Zahlen

$\overline{z}$ := a - bi für z = a + bi ∈ ℂ

• Entspricht einer Spiegelung an der reellen Achse

Rechenregeln für Konjugation komplexer Zahlen

• $$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$$

• $$\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}$$

• $$\overline{\overline{z}}=z$$

• z ∈ ℝ ⇔ $\overline{z}=z$

• Re(z) = $\frac{z+\overline{z}}{2}$ , Im(z) = $\frac{z-\overline{z}}{2i}$

Berechnung der Norm:

$z\cdot\overline{z}$ = a² + b² = |z|² bzw. |z| = √($z\cdot\overline{z}$)

Re und Im mit Konjugiertem

∀z ∈ ℂ:

• Re(z) = 1/2($z+\overline{z}$) = $\frac{z+\overline{z}}{2}$

• Im(z) = 1/2i($z-\overline{z}$) = $\frac{z-\overline{z}}{2i}$

Division in ℂ

Für z₁ = a + bi, z₂ = c + di ist z₁/z₂ = $\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}=\frac{z_1\overline{z_2}}{\left\vert z_2\right\vert^2\overline{}}$

• Vorgehen: Bruch erweitern mit konjugierten des Nenners

Dreicksungleichung

∀z,w ∈ ℂ: |z + w| ≤ |z| + |w|

Inverses via Konjugation

∀z ∈ ℂ\{0}:

z^-1 = $\frac{\overline{z}}{\left\vert z\right\vert^2}$

Polardarstellung komplexer Zahlen

Vor.: z ∈ ℂ, z ≠ 0, r := |z| > 0, φ := arg(z) ∈ [0, 2π)

• z = r(cos φ + i sin φ)

Umrechnen der Darstellungen

Vor.: z = a + bi = r(cos φ + i sin φ)

Von Polar:

• Re(z) = r cos φ = a

• Im(z) = r sin φ = b

Nach Polar:

• r = |z| = √(a² + b²)

• φ = arccos(a/r) für b > 0 und φ = -arccos(a/r) für b < 0

Geometrische Interpretation der Addition

z₁ = a + bi, z₂ = c + di

• z₁ + z₂ = Re + Im i = (a + c) + (b + d)i

• Real- und Imaginärteile werden getrennt addiert

Multiplikation in ℂ in Polardarstellung

Vor.: z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁), z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂)

• z₁ * z₂ = r₁r₂(cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂))

• Beträge werden multipliziert, Winkel addiert: |z₁z₂| = |z₁| * |z₂|, arg(z₁z₂) = φ₁ + φ₂

Lemma Real- und Imaginärteil

Real- und Imaginärteil sind Gruppenhomomorphismen zwischen ℂ und ℝ mit +:

• Re: (ℂ, +) → (ℝ, +), Im: (ℂ, +) → (ℝ, +)

• Re(z₁ + z₂) = Re(z₁) + Re(z₂) und Im(z₁ + z₂) = Im(z₁) + Im(z₂)

Einbettung von ℝ nach ℂ

Vor.: C₀ := {z ∈ ℂ | Im(z) = 0} ist Unterkörper von ℂ bzgl. +, * (+, * abgeschlossen, und + und * Inversen: a,b ∈ U, b ≠ 0 ⇒ a−b ∈ U und ab^-1 ∈ U)

• Einbettung E: ℝ → C₀, x ↦ E(x) := x + 0 * i ist Körperisomorphismus

• Winkel sind 0 oder π (gegen Uhrzeigersinn)

Einfach gesagt: Komplexe Zahlen mit Im = 0 kann man mit den reellen Zahlen identifizieren

Eulersche Formel

Vor.: Winkel φ ∈ (-π,π], z = a + bi ∈ ℂ, a,b ∈ ℝ

• $e^{i\varphi}$ = cos φ + i sin φ => z = r $e^{i\varphi}$

• Auch: e^iπ + 1 = 0 und e^z = e^a(cos b + i sin b)

Komplexe Einheitswurzel zum Winkel φ

Für φ ∈ ℝ: $\omega_{\varphi}=e^{i\varphi}$ = cos φ + i sin φ, da $\left\vert\omega_{\varphi}\right\vert$ = 1

Drehung als Multiplikation

Vor.: z = re^iθ ∈ ℂ

• z’ := $e^{i\varphi}\cdot z=re^{i\left(\theta+\varphi\right)}$

• Betrag unverändert |z| = |z’|, Argument/Winkel um φ erhöht

Multiplikation in Polardarstellung (mit e)

Vor.: z₁ = r₁$e^{i\varphi_1}$ , z₂ = r₂$e^{i\varphi_2}$

• z₁ * z₂ = r₁$e^{i\varphi_1}$ r₂$e^{i\varphi_2}$ = r₁r₂$e^{i\left(\varphi_1+\varphi_2\right)}$

• Beträge multiplizieren, Winkel addieren

Lösen quadratischer Gleichungen in ℂ

Löse z² + pz + q = 0 mit p,q ∈ ℂ mit pq-Formel

• Falls az² + pz + q = 0: Teile zuerst alles durch a, dann pq-Formel

Polynome in ℂ

Jedes Polynom p im Polynomring ℂ[X] mit deg p > 0 hat mind. 1 Nullstelle

Abspalten von Nullstellen bei Polynomen

Vor.: Ring R, p ∈ R[X] mit Grad n ∈ ℕ, Nullstelle z₀ ∈ R

• Es ex. ein eindeutig definiertes Polynom q ∈ R[X] vom Grad deg(q) = n - 1 und p(z) = (z - z₀) * q(z) für alle z ∈ R

• Man kann für jedes p ∈ ℂ[X] Linearfaktoren an den Nullstellen abspalten: p(z) = a_n(z-z₁)(z-z₂)…(z-z_n)

Abspalten von Nullstellen durch Partialdivision

Nutze Polynomdivision: Teile p(z) durch (z - z₀), mit z₀ ist Nullstelle

• Wenn z₀ wirklich Nullstelle, ist Rest = 0, sonst ist Rest ≠ 0 mit deg(r) < deg(q)

Sukzessives Abspalten von Nullstellen bei Polynomen in ℂ[X]

Wiederhole Abspaltungsprozess → p(z) = a_n Πⁿ_k=1 (z - z_k) mit Nullstellen z₁, …, z_n ∈ ℂ

• => Jedes Polynom p ∈ ℂ mit n = deg(p) > 0 besitzt maximal n (verschiedene) Nullstellen

Definition n-te Einheitswurzel

Zu n ∈ ℕ heißt $\zeta$∈ ℂ n-te Einheitswurzel, wenn ζⁿ = 1

• Menge aller n-ten Einheitswurzeln: µ_n = {ζ ∈ ℂ | ζⁿ = 1}

• Es gilt immer 1 ∈ µ_n

• zⁿ - 1 hat genau n Nullstellen in ℂ, also |µ_n| = n

Darstellung der n-ten Einheitswurzeln via Euler-Formel

ζ_k = e^2πik/n = cos(2πk/n) + i sin (2πk/n), k = 0, 1, …, n-1

• Für n ∈ ℕ sind die n-ten Einheitswurzeln die komplexen Zahlen

• Alle Einheitswurzeln liegen auf Einheitskreis |z| = 1 und sind gleichmäßig im Winkelabstand 2π/n verteilt

  

  
  

• n-ten Einheitswurzeln bilden Ecken eines regelmäßigen n-Ecks im Einheitskreis

Einheitswurzeln und zylkische Gruppen

Menge der n-ten Einheitswurzeln µ_n bildet zyklische UG von (ℂ^*, *) der Ordnung n

• Erzeugt durch ζ₁ = e^2πi/n: μ_n = <ζ₁>

Definition Primitive Einheitswurzel

ζ ∈ μ_n ist primitiv, wenn ζ μ_n erzeugt, d.h. μ_n = <ζ> = {1,ζ,ζ²,…,ζ^n-1}

• Lemma: Für n ∈ ℕ und k ∈ {1, …, n-1} ist ζ_k = e^2πik/n primitiv, wenn ggT(k,n) = 1

Hilfsresultate

• k,n ∈ ℕ, k < n → ∀ 1 ≤ j < n ist n | kj <==> ggT(k,n) = 1

• Euklid: Wenn n | ab mit n ∈ ℕ und n | a gilt n | b

Definition und Eigenschaften Gruppe

(G,*) mit Menge G und Verknüpfung *: G x G → G

• AG

• ∃ e ∈ G: ∀a ∈ G: e * a = a * e = a

• ∃ Inversen: ∀a ∈ G: ∃a’ ∈ G: a’ * a = e

Definition Symmetrische Gruppe

S(M) := {φ: M → M | φ bijektiv}

Menge der Permutationen von M

• M nichtleer, beliebig

Definition Gruppenhomomorphismus

φ: G → G’ mit φ(x *_G y) = φ(x) *_G’ φ(y), ∀x,y ∈ G

Eigenschaften Gruppenhomomorphismus

• φ(e_G) = e_G’

• φ(x^-1) = φ(x)^-1 ∀x ∈ G

• Ist U ⊂ G eine Untergruppe, so ist das Bild φ(U) eine Untergruppe von G’

Untergruppenkriterium

U ⊆ G, U ≠ ∅, * auf U abgeschlossen (a,b ∈ U ⇒ a∗b ∈ U) und Inversen abgeschlossen (a ∈ U ⇒ a^-1 ∈ U)

Definition Gruppenisomorphismus

Bijektiver Homomorphismus φ: G → G’

G ≅ G’

• Gruppen sind strukturell gleich, nur andere Bezeichnung (gleiche Tabellen für die jeweilige Menge mit ihrer Verknüpfung)

Satz von Cayley

Gruppe G, φ: G → S(G) mit x ∈ G, φ definiert durch ∀y ∈ G: φ(x)(y) := x * y ist wohldefiniert und injektiver Gruppenhomomorphismus

• Bedeutet: Jede Gruppe kann man als Gruppe von Permutationen auffassen → jedes Element wird auf eine Funktion gemappt

Korollar zu Cayley

Jede Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe seiner symmetrischen Gruppe S(G)