BLOCCO 9 (Cap 9 - Integrali Indefiniti e Definiti) - flashcard | Quizlet

Primitiva di una funzione (Definizione)

Una funzione F: I → R si dice primitiva di f su I se F è derivabile e F'(x) = f(x) per ogni x ∈ I.

Integrale Indefinito (Definizione)

L'insieme di tutte le primitive di f(x) su un intervallo. Si indica con ∫ f(x) dx. Se F(x) è una primitiva, allora ∫ f(x) dx = F(x) + c, con c ∈ R costante arbitraria.

Linearità dell'Integrale

∫ [α f(x) + β g(x)] dx = α ∫ f(x) dx + β ∫ g(x) dx. L'integrale della somma è la somma degli integrali (vale anche per le costanti).

Integrale Fondamentale Potenza x^α

∫ x^α dx = x^(α+1) / (α+1) + c. CONDIZIONE: α ≠ -1. (Vale per reali qualsiasi).

Integrale Fondamentale 1/x (Caso α = -1)

∫ (1/x) dx = ln|x| + c. ATTENZIONE: Il valore assoluto è fondamentale perché l'argomento del logaritmo deve essere positivo.

Integrale Esponenziale

∫ e^x dx = e^x + c. Generalizzato: ∫ a^x dx = a^x / ln(a) + c.

Integrali Trigonometrici Base

∫ cos x dx = sin x + c. ∫ sin x dx = -cos x + c. ∫ 1/cos²x dx = tan x + c.

Integrali che portano alle Inverse Trigonometriche

∫ 1/√(1-x²) dx = arcsin x + c. ∫ 1/(1+x²) dx = arctan x + c. (Fondamentali da riconoscere a vista).

Integrazione per Parti (Formula)

∫ f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫ f'(x)g(x) dx. IDEA: Deriva da d(fg) = f'g + fg'. Si usa per prodotti tipo x·e^x, x·sin x, ln x (visto come 1·ln x).

Integrazione per Sostituzione (Formula)

∫ f(g(t)) g'(t) dt = F(g(t)) + c. Si pone x = g(t), quindi dx = g'(t) dt. Serve per ricondurre l'integrale a uno noto.

Integrazione Funzioni Razionali Fratte (Grado Num ≥ Den)

Se N(x)/D(x) ha grado N ≥ grado D, si fa la DIVISIONE tra polinomi: N(x) = Q(x)D(x) + R(x). L'integrale diventa ∫ Q(x) dx + ∫ R(x)/D(x) dx.

Integrazione Razionali Fratte (Denominatore II grado, Δ > 0)

Se D(x) = (x-x₁)(x-x₂), si usa la scomposizione in fratti semplici: A/(x-x₁) + B/(x-x₂). Il risultato sarà somma di logaritmi.

Integrazione Razionali Fratte (Denominatore II grado, Δ < 0)

Si completa il quadrato al denominatore per ricondursi alla forma k / (1 + t²), che dà un'arcotangente. Esempio: 1/(x²+1).

Integrale di Riemann (Concetto Geometrico)

Rappresenta l'area con segno sottesa al grafico di f(x) nell'intervallo [a, b]. (Area sopra l'asse x è positiva, sotto è negativa).

Somme Inferiori e Superiori (Definizione)

Data una partizione dell'intervallo, s(P) è la somma delle aree dei rettangoli inscritti (minimi). S(P) è la somma dei rettangoli circoscritti (massimi).

Funzione Integrabile secondo Riemann (Definizione)

f è integrabile in [a, b] se l'estremo superiore delle somme inferiori coincide con l'estremo inferiore delle somme superiori. Tale valore comune è ∫(a,b) f(x) dx.

Classi di Funzioni Integrabili (Teorema)

1) Se f è CONTINUA in [a, b], è integrabile. 2) Se f è MONOTONA (anche discontinua) in [a, b], è integrabile. 3) Se f è limitata e ha un numero finito di discontinuità, è integrabile.

Proprietà dell'Integrale Definito

Linearità (somma e costanti). Additività rispetto all'intervallo: ∫(a,b) = ∫(a,c) + ∫(c,b). Monotonia: se f ≤ g, allora ∫ f ≤ ∫ g.

Teorema della Media Integrale

Se f è continua in [a, b], esiste un punto c ∈ [a, b] tale che (1/(b-a)) ∫(a,b) f(x) dx = f(c).

Media Integrale (Significato)

È l'altezza del rettangolo che ha la stessa base e la stessa area del sottografico della funzione. Valore medio = Area / Base.

Funzione Integrale (Definizione)

F(x) = ∫(x₀, x) f(t) dt. Rappresenta l'area accumulata da un punto fisso x₀ fino al punto variabile x.

Primo Teorema Fondamentale del Calcolo (Torricelli-Barrow)

Se f è continua in [a, b], allora la funzione integrale F(x) = ∫(a, x) f(t) dt è derivabile e F'(x) = f(x). (L'integrale è l'inverso della derivata).

Secondo Teorema Fondamentale (Formula di Newton-Leibniz)

Se f è continua e G(x) è una qualunque primitiva di f, allora ∫(a, b) f(x) dx = G(b) - G(a). (Serve per CALCOLARE l'integrale definito).

Integrazione Funzioni Pari e Dispari su [-a, a]

Se f è DISPARI, ∫(-a, a) f(x) dx = 0 (le aree si cancellano). Se f è PARI, ∫(-a, a) f(x) dx = 2 ∫(0, a) f(x) dx.

Esempio Svolto: Integrale per parti x·e^x

f=x, g'=e^x ⇒ f'=1, g=e^x. ∫ x·e^x dx = x·e^x - ∫ 1·e^x dx = x·e^x - e^x + c = e^x(x-1) + c.

Esempio Svolto: Integrale per sostituzione 2x·e^(x²)

Pongo t = x² ⇒ dt = 2x dx. L'integrale diventa ∫ e^t dt = e^t + c = e^(x²) + c.

Esempio Svolto: Integrale definito ∫(0, 1) x² dx

Primitiva G(x) = x³/3. Calcolo G(1) - G(0) = 1/3 - 0 = 1/3.

Esempio Svolto: Integrale logaritmo ∫ ln x dx

Per parti: f=ln x, g'=1 ⇒ f'=1/x, g=x. x·ln x - ∫ (1/x)·x dx = x·ln x - ∫ 1 dx = x·ln x - x + c.

Errore Tipico: Primitiva di 1/x

Scrivere ln(x) invece di ln|x|. Senza modulo la funzione non è definita per x negativi (mentre 1/x lo è).

Errore Tipico: Estremi di integrazione nella sostituzione

Quando si calcola un integrale DEFINITO per sostituzione, bisogna cambiare anche gli estremi [a, b] in [g(a), g(b)], oppure tornare alla variabile x prima di calcolare.