công thức toán 12

Lượng giác cơ bản: sin²x + cos²x

$1$

Lượng giác cơ bản: 1 + tan²x

$$\frac{1}{\cos^2 x} \quad (x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi)$$

Lượng giác cơ bản: 1 + cot²x

$$\frac{1}{\sin^2 x} \quad (x \neq k\pi)$$

Lượng giác cơ bản: tan(x) . cot(x)

$1$

Cung đối: cos(-x)

$\cos x$ (các hàm $\sin, \tan, \cot$ đối nhau thì mang dấu âm)

Cung bù: sin(π - x)

$\sin x$ (các hàm $\cos, \tan, \cot$ bù nhau thì mang dấu âm)

Cung phụ: sin(π/2 - x) và cos(π/2 - x)

$$\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x; \quad \cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$$

Cung phụ: tan(π/2 - x) và cot(π/2 - x)

$$\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot x; \quad \cot(\frac{\pi}{2} - x) = \tan x$$

Cung hơn kém π: tan(x + π) và cot(x + π)

$$\tan(x+\pi) = \tan x; \quad \cot(x+\pi) = \cot x$$

Công thức cộng: sin(a + b)

$$\sin a \cos b + \cos a \sin b$$

Công thức cộng: sin(a - b)

$$\sin a \cos b - \cos a \sin b$$

Công thức cộng: cos(a + b)

$$\cos a \cos b - \sin a \sin b$$

Công thức cộng: cos(a - b)

$$\cos a \cos b + \sin a \sin b$$

Công thức cộng: tan(a + b)

$$\frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$$

Công thức cộng: tan(a - b)

$$\frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}$$

Nhân đôi: sin(2x)

$$2\sin x \cos x$$

Nhân đôi: cos(2x) (3 dạng)

$$\cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$$

Nhân đôi: tan(2x)

$$\frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$$

Hạ bậc: sin²x

$$\frac{1 - \cos 2x}{2}$$

Hạ bậc: cos²x

$$\frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Hạ bậc: tan²x

$$\frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}$$

Nhân ba: sin(3x)

$$3\sin x - 4\sin^3 x$$

Nhân ba: cos(3x)

$$4\cos^3 x - 3\cos x$$

Tích thành tổng: cos(a) . cos(b)

$$\frac{1}{2}[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$$

Tích thành tổng: sin(a) . sin(b)

$$\frac{1}{2}[\cos(a - b) - \cos(a + b)]$$

Tích thành tổng: sin(a) . cos(b)

$$\frac{1}{2}[\sin(a + b) + \sin(a - b)]$$

Tổng thành tích: cos(u) + cos(v)

$$2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}$$

Tổng thành tích: cos(u) - cos(v)

$$-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$$

Tổng thành tích: sin(u) + sin(v)

$$2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}$$

Tổng thành tích: sin(u) - sin(v)

$$2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$$

Dạng đặc biệt: sin(x) + cos(x)

$$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4})$$

Dạng đặc biệt: sin(x) - cos(x)

$$\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4})$$

Quy tắc tích: (u . v)'

$u'v + uv'$

Quy tắc thương: (u / v)'

$$\frac{u'v - uv'}{v^2}$$

Quy tắc nghịch đảo: (1 / u)'

$$-\frac{u'}{u^2}$$

Đạo hàm hàm hợp: y = f(u(x))

$$y'_x = y'_u \cdot u'_x$$

Đạo hàm luỹ thừa: (x^α)' và (u^α)'

$$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}; \quad (u^\alpha)' = \alpha u^{\alpha-1} \cdot u'$$

Đạo hàm căn: (√x)' và (√u)'

$$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}; \quad (\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$$

Đạo hàm lượng giác: (sin x)' và (sin u)'

$$(\sin x)' = \cos x; \quad (\sin u)' = u' \cos u$$

Đạo hàm lượng giác: (cos x)' và (cos u)'

$$(\cos x)' = -\sin x; \quad (\cos u)' = -u' \sin u$$

Đạo hàm lượng giác: (tan x)' và (tan u)'

$$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x; \quad (\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$$

Đạo hàm lượng giác: (cot x)' và (cot u)'

$$(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x); \quad (\cot u)' = -\frac{u'}{\sin^2 u}$$

Đạo hàm mũ: (e^x)' và (e^u)'

$$(e^x)' = e^x; \quad (e^u)' = u' e^u$$

Đạo hàm mũ: (a^x)' và (a^u)'

$$(a^x)' = a^x \ln a; \quad (a^u)' = u' a^u \ln a$$

Đạo hàm logarit tự nhiên: (ln|x|)' và (ln|u|)'

$$(\ln|x|)' = \frac{1}{x}; \quad (\ln|u|)' = \frac{u'}{u}$$

Đạo hàm logarit cơ số a: (log_a|x|)' và (log_a|u|)'

$$(\log_a|x|)' = \frac{1}{x \ln a}; \quad (\log_a|u|)' = \frac{u'}{u \ln a}$$

Đạo hàm nhanh bậc 1 / bậc 1: y = (ax + b) / (cx + d)

$$y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$$

Đạo hàm nhanh bậc 2 / bậc 1: y = (ax² + bx + c) / (dx + e)

$$y' = \frac{ad \cdot x^2 + 2ae \cdot x + (be - cd)}{(dx + e)^2}$$