meccanica - moti relativi

cos’è la relatività galileiana?

La relatività galileiana afferma che le leggi della meccanica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali, ovvero sistemi che si muovono a velocità costante l'uno rispetto all'altro. Questo significa che non è possibile distinguere, attraverso esperimenti condotti all'interno del sistema, se si è in quiete o in moto rettilineo uniforme.

cos’è la trasformazione di galileo?

è un’equazione che ci permette di calcolare la posizione di un corpo per diversi sistemi di riferimento inerziali.

x(t) = x’(t) + v_O’ t

• x’(t) è la posizione del corpo rispetto l’origine del sistema O’

• v_O’ t è la velocità con la quale il sistema O’ si allontana dal sistema O moltiplicata per lo scalare t.

cos’è un sistema di riferimento inerziale?

è un sistema che si muove rispetto ad un secondo di moto rettilineo uniforme, quindi senza alcuna accelerazione.

Se un sistema si muove di moto rettilineo uniforme (ed è quindi inerziale), tutti gli altri sistemi che si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto ad esso sono inerziali.

quali sono le conseguenze della trasformazione di galileo sulle posizioni?

l’addizione delle velocità; basta derivare tutto rispetto a t

x(t)/dt = x’(t)/dt + v_O’ t/dt

v = v’ + v_O’

l’addizione delle accelerazioni; basta derivare una seconda volta rispetto a t

a = a’

l’accelerazione vista da due sistemi di riferimento è la stessa

ricava la formula della velocità relativa tramite la generalizzazione della trasformazione di galileo

pochi passaggi ma importanti:

• deriva l’equazione generate x = x’ + x_O’ rispetto a t

  v = dx’/dt + v_O’

• vedo x’ = x’u_x + y’u_y + z’u_z

• per cui la derivata dx’/dt = (dx’/dt u_x + dy’/dt u_y + dz’/dt u_z) + (x’ du_x/dt + y’ du_y/dt + z’ du_z/dt)

• ricordo la FORMULA DI POISSON, per cui du_x/dt = w x u_x:

  quindi v = v’ + v_O’ + w x x’

dove v’ è la velocità del corpo rispetto O’, v_O’ è la velocità del sistema O’ rispetto al sistema O e v è la velocità del corpo rispetto al sistema O.

w è la velocità angolare

• v’ = velocità relativa

• v_O’ + w x x’ = velocità di trascinamento

ricava la formula dell’accelerazione relativa tramite la generalizzazione della trasformazione di galileo

• derivo due volte x = x’ + x_O’ rispetto a t:

  dv/dt = d/dt(v’ + v_O’ + w x x’) =

  → a = a’ + w x v’ + a_O’ + d(w x x’)/dt

  → a = a’ + w x v’ + a_O’ + dw/dt x x’ + w x dx’/dt

  → a = a’ + w x v’ + a_O’ + α x x’ + w x (v’ + w x x’)

  → a = a’ + a_O’ + w x (w x x’) + α x x’ + 2 w x v’

• tengo conto che

  d²x’/dt² = a’ = d²x’/dt² u_x + d²y’/dt² u_y+ d²z’/dt² u_z

  e che la derivata di un vettore si svolge con la formula di poisson du_x/dt = w x u_x

• accelerazione relativa

• accelerazione di trascinamento

  dove w x (w x x’) è dovuto alla rotazione di O’x’y’z’ rispetto a Oxyz, α x x’ è dovuto alla variazione del tempo di w

• accelerazione di Coriolis

  unico termine che dipende da v’, ed è sempre ortogonale ad essa.

parla dell’accelerazione di coriolis nel dettaglio

la forza di coriolis è una forza fittizia che avviene quando un oggetto si muove in un sistema di riferimento NON INERZIALE che ruota attorno ad un suo punto. Un osservatore solidale a quel sistema osserverà gli oggetti che dovrebbero muoversi di moto rettilineo uniforme muoversi invece lunto una traiettoria deviata.

EFFETTI SULLA TERRA:

• caduta libera: gli oggetti in caduta libera risentono sia della forza centrifuga che della forza di Coriolis, che ne disturbano il moto. In particolare, gli oggetti non cadono esattamente perpendicolarmente al suolo sottostante, ma la traiettoria viene leggermente spostata verso EST.

• aerei: un aereo che viaggia dall’equatore al polo nord deve tener conto che se compie una traiettoria rettilinea si troverà più a est di quanto immagina. Dall’equatore al polo sud si troverà pù a ovest.

parla del pendolo di Foucault

Foucault allestì un esperimento che si basa sull’accelerazione di Coriolis per dimostrare la rotazione terrestre. Costruì un pendolo lungo quasi 70 metri con all’estremità una sfera di ottone di 28kg appeso al pantheon.

Con il passare del tempo, la traiettoria di oscillazione del pendolo (che in sistemi inerziali sarebbe rimasta identica) è ruotata verso destra, il che coincide con l’effetto di Coriolis nell’emisfero boreale.

dimostra la periodicità di rotazione del pendollo di foucault

in un sistema inerziale avrei:

• L d²θ/dt² + ω² L θ = 0

• d²r/dt² + ω² r = 0

ma dato che la terra non lo è, correggo la seconda equazione:

• d²r/dt² + ω² r’ -2(Ω x v’) = 0 (*)

e introduco la velocità angolare della terra Ω, l’altitudine a (angolo equatore-centro terra-pendolo), l’asse z lungo la congiungente centro-pendolo:

• Ω = Ω sina u_z' - Ω cosa u_y’

• v’ = dx’/dt u_x’ + dy’/dt u_y’ + dz’/dt u_z’

ma non siamo interessati alla componente verticale (perpendicolare al suolo), per cui elimino il termine dz’/dt.

Proietto (Ω x v’) nel piano perpendicolare a z’:

• (Ω x v’) = ((Ω sina u_z’ - Ω cosa u_y’) x (dx’/dt u_x’ + dy’/dt u_y’))

  = dx’/dt Ω sina u_y’ - dy’/dt Ω sina u_x’

Proietto (*) lungo gli assi x’ e y’:

• d₂x’/dt² + ω² x’ + 2 dy’/dt Ω sina = 0

• d₂y’/dt² + ω² ’ - 2 dx’/dt Ω sina = 0

Definisco una variabile complessa ξ data da x’ + iy’ per risolvere le due equazioni sopra:

• d²ξ/dt² + ω² ξ - 2 i dξ/dt Ω sina = 0

Ho ottenuto un’equazione di 2° grado a coefficienti costanti, le cui soluzioni sono:

• ξ(t) = e^λt

λ soddisfa l’eq. caratteristica λ² - λ 2i Ω sina + ω² = 0

• λ = i Ω sina ± sqrt(- Ω² sin²a - ω²)

  = i [Ω sina ± sqrt(Ω² sin²a + ω²) ] trascurabile

  = i Ω sina

quindi la soluzione precedente sarebbe:

• ξ(t) = e^{iΩ sina t²} (c₁ e^iwt + c₂ e^-iwt)

Oltre all’oscillazione c’è quindi una rotazione nel piano x’ y’ con periodicità

T = 2 pi / Ω sina

e so che Ω = 2pi/24h

T = 24h / sina