Analisi 1 - Concetti Fondamentali di Logica, Insiemistica e Strutture Algebriche

Flashcard di vocabolario sui concetti introduttivi di Analisi 1, inclusi insiemi numerici, logica elementare, dimostrazioni matematiche, teoria degli insiemi, assiomi di campo, relazioni d'ordine e completezza.

Formula ben formata (fbf)

Successione di simboli o parole che rispettano una determinata sintassi.

Predicato

Una formula ben formata (fbf) che contiene variabili libere, la cui verità dipende dal valore attribuito a tali variabili.

Proposizione

Una formula ben formata (fbf) che non contiene variabili libere e a cui si può attribuire un valore di verità (vero o falso).

Principio di non contraddizione

Principio logico che richiede che una proposizione non possa essere contemporaneamente sia vera sia falsa.

Principio del terzo escluso

Principio logico secondo cui una proposizione è vera se e solo se la sua negazione è falsa.

Condizione sufficiente (CS)

Nell'implicazione $p \Rightarrow q$, la proposizione $p$ rappresenta la condizione sufficiente al verificarsi di $q$.

Condizione necessaria (CN)

Nell'implicazione $p \Rightarrow q$, la proposizione $q$ rappresenta la condizione necessaria al verificarsi di $p$.

Quantificatore universale

Simbolo logico $\forall$, che significa "per ogni".

Quantificatore esistenziale

Simbolo logico $\exists$, che significa "esiste" (oppure $\exists!$, "esiste ed è unico").

Teorema

Proposizione della struttura $p \Rightarrow q$ di cui si vuole dimostrare la verità attraverso una catena di passaggi logicamente equivalenti dal punto di partenza $p$ al punto di arrivo $q$.

Dimostrazione per induzione

Metodo di dimostrazione per affermazioni del tipo $\forall n \in \mathbb{N}, n \ge n_0$, basato sulla verifica del passo base $p(n_0)$ e della certezza che $p(n) \Rightarrow p(n+1)$.

Disuguaglianza di Bernoulli

Teorema che stabilisce che $\forall n \in \mathbb{N}$ e $\forall x \in \mathbb{R}$ con $x > -1$, vale $(1+x)^n \ge 1 + nx$.

Assioma

Definizione o affermazione assunta come vera senza necessità di dimostrazione.

Insieme vuoto

L'insieme, indicato con $\emptyset$, che non contiene alcun elemento.

Sottoinsieme stretto

L'insieme $B$ è un sottoinsieme stretto di $A$ (indicato con $B \subset A$) se $B \subseteq A$ ed $\exists x \in A : x \notin B$.

Intersezione tra insiemi

Operazione tra insiemi definita come $A \cap B = \{x : x \in A \land x \in B\}$.

Unione tra insiemi

Operazione tra insiemi definita come $A \cup B = \{x : x \in A \lor x \in B\}$.

Differenza tra insiemi

Operazione tra insiemi definita come $A \setminus B = \{x : x \in A \land x \notin B\}$.

Prodotto cartesiano

Dati due insiemi $A$ e $B$, è l'insieme $A \times B$ formato da tutte le coppie ordinate $(a, b)$ con $a \in A$ e $b \in B$.

Campo (algebra)

Una terna $(\mathbb{K}, +, \cdot)$ in cui le operazioni di somma e prodotto soddisfano le proprietà commutativa, associativa, l'esistenza degli elementi neutri e inversi, e la proprietà distributiva.

Relazione d'ordine

Relazione $\mathcal{R}$ su un insieme $A$ che soddisfa la riflessività ($a \mathcal{R} a$), l'antisimmetria ($a \mathcal{R} b \land b \mathcal{R} a \Rightarrow a = b$) e la transitività ($a \mathcal{R} b \land b \mathcal{R} c \Rightarrow a \mathcal{R} c$).

Relazione d'ordine totale

Relazione d'ordine $\mathcal{R}$ su un insieme $A$ che soddisfa anche la proprietà di dicotomia: $\forall a, b \in A, a \mathcal{R} b \lor b \mathcal{R} a$.

Maggiorante

Un elemento $M \in \mathbb{K}$ tale che $a \le M$ per ogni $a \in A$, con $A \subseteq \mathbb{K}$.

Minorante

Un elemento $m \in \mathbb{K}$ tale che $a \ge m$ per ogni $a \in A$, con $A \subseteq \mathbb{K}$.

Massimo di un insieme

Un maggiorante dell'insieme $A$ che appartiene ad $A$ stesso, indicato con $\max A$.

Minimo di un insieme

Un minorante dell'insieme $A$ che appartiene ad $A$ stesso, indicato con $\min A$.

Estremo superiore

Il minimo dei maggioranti di un insieme $A$, indicato con $\sup A$.

Estremo inferiore

Il massimo dei minoranti di un insieme $A$, indicato con $\inf A$.

Campo ordinato completo

Campo ordinato in cui ogni suo sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore.

Retta reale estesa

L'insieme $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$, totalmente ordinato rispetto alla relazione $\le$ ponendo $-\infty \le x \le +\infty$.