FLC_MATH11-S2

Notions de base, preuves et topologie

Qu'est-ce qu'un majorant d'un ensemble A ⊆ ℝ ?

Un élément a ∈ ℝ est un majorant de l'ensemble A si a ≥ x pour tout x ∈ A.
Exemple :
1 est un majorant de $[0,1]$

Qu'est-ce qu'un maximum d'un ensemble A ⊆ ℝ ?

Un élément a ∈ ℝ est le maximum de l'ensemble A si a est un majorant de A et a ∈ A.

Définition mathématique :
$a = \max(A) \text{ si } a \geq x \text{ pour tout } x \in A \text{ et } a \in A.$

Exemple : $\max([0,1]) = 1$, mais $\max([0,1[)$ n'existe pas.

Quelle est la particularité du maximum s'il existe ?

Le maximum est unique s'il existe.
Théorème mathématique :
$\text{Tout sous-ensemble } A \subseteq \mathbb{R} \text{ a 0 ou 1 maximum.}$

Qu'est-ce qu'un minorant d'un ensemble A ⊆ ℝ ?

Un élément a ∈ ℝ est un minorant de l'ensemble $A si a ≤ x$ pour tout $x ∈ A.$

Qu'est-ce qu'un minimum d'un ensemble A ⊆ ℝ ?

Un élément a ∈ ℝ est le minimum de l'ensemble A si a est un minorant de A et a ∈ A.

Définition mathématique :
$a = \min(A) \text{ si } a \leq x \text{ pour tout } x \in A \text{ et } a \in A.$

Exemple : $\min([0,1]) = 0$.

Qu'est-ce qu'un ensemble borné ?

Un ensemble A ⊆ ℝ est borné s'il a à la fois un majorant et un minorant.

Définition mathématique :
$A \subseteq \mathbb{R} \text{ est borné s'il existe } m, M \in \mathbb{R} \text{ tels que } m \leq x \leq M \text{ pour tout } x \in A.$

Exemple : $]0,10[$ est borné, mais $]-\infty,2[$ ne l'est pas.

Qu'est-ce que le supremum d'un ensemble A ⊆ ℝ ?

Le supremum de A, noté sup(A), est le plus petit des majorants de A.

Définition mathématique :
$a = \sup(A) \text{ si } a \text{ est le plus petit des majorants de } A.$

Exemple : $\sup([0,1[) = 1$, même si $1 \notin [0,1[$.

Qu'est-ce que l'infimum d'un ensemble A ⊆ ℝ ?

L'infimum de A, noté inf(A), est le plus grand des minorants de A.
Définition mathématique :
$a = \inf(A) \text{ si } a \text{ est le plus grand des minorants de } A.$

Exemple : $\inf([0,1]) = 0$.

Quelle relation existe-t-il entre infimum et supremum ?

Si inf(A) et sup(A) existent, alors inf(A) ≤ sup(A).
Théorème mathématique :
$\inf(A) \leq \sup(A) \text{ pour tout ensemble } A \subseteq \mathbb{R} \text{ si } \inf(A) \text{ et } \sup(A) \text{ existent.}$

Qu'est-ce qu'une proposition logique ?

Une proposition logique est une affirmation qui est soit vraie, soit fausse.

Définition mathématique :
$P \text{ est une proposition si elle est soit vraie soit fausse.}$

Exemple : $P$ : "3 est impair" est une proposition vraie.

Qu'est-ce que la négation d'une proposition P ?

La négation d'une proposition P est la proposition qui est vraie si P est fausse.
Définition mathématique :
$\sim P \text{ est vraie si } P \text{ est fausse.}$

Exemple : $\sim(3 \text{ est impair})$ est "3 est pair".

Qu'est-ce qu'une preuve directe ?

Une preuve directe prouve une proposition sans avoir recours à une technique particulière.