FLC_MATH11-S2
Flashcard 1
Question : Qu'est-ce qu'un majorant d'un ensemble \( A \subseteq \mathbb{R} \) ?
Réponse :
Un élément \( a \in \mathbb{R} \) est un majorant de l'ensemble \( A \subseteq \mathbb{R} \) si \( a \geq x \) pour tout \( x \in A \).
Définition mathématique : \( a \in \mathbb{R} \) est un majorant de \( A \subseteq \mathbb{R} \) si \( a \geq x \), pour tout \( x \in A \).
Exemple :
1 est un majorant de \( [0,1] \).
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Flashcard 2
Question : Qu'est-ce qu'un maximum d'un ensemble \( A \subseteq \mathbb{R} \) ?
Réponse :
Un élément \( a \in \mathbb{R} \) est le maximum de l'ensemble \( A \subseteq \mathbb{R} \) (notation : \( a = \max(A) \)) si \( a \) est un majorant de \( A \) et \( a \in A \).
Définition mathématique : \( a = \max(A) \) si \( a \geq x \) pour tout \( x \in A \) et \( a \in A \).
Exemple :
\( \max([0,1]) = 1 \), mais \( \max([0,1[) \) n'existe pas.
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Flashcard 3
Question : Quelle est la particularité du maximum s'il existe ?
Réponse :
Le maximum est unique s'il existe.
Théorème mathématique : Tout sous-ensemble \( A \subseteq \mathbb{R} \) a 0 ou 1 maximum.
Démonstration : Si \( A \) avait deux maximums distincts, ils violeraient la définition même du maximum. Ainsi, le maximum est toujours unique.
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Flashcard 4
Question : Qu'est-ce qu'un minorant d'un ensemble \( A \subseteq \mathbb{R} \) ?
Réponse :
Un élément \( a \in \mathbb{R} \) est un minorant de l'ensemble \( A \subseteq \mathbb{R} \) si \( a \leq x \) pour tout \( x \in A \).
Définition mathématique : \( a \in \mathbb{R} \) est un minorant de \( A \subseteq \mathbb{R} \) si \( a \leq x \), pour tout \( x \in A \).
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Flashcard 5
Question : Qu'est-ce qu'un minimum d'un ensemble \( A \subseteq \mathbb{R} \) ?
Réponse :
Un élément \( a \in \mathbb{R} \) est le minimum de l'ensemble \( A \subseteq \mathbb{R} \) (notation : \( a = \min(A) \)) si \( a \) est un minorant de \( A \) et \( a \in A \).
Définition mathématique : \( a = \min(A) \) si \( a \leq x \) pour tout \( x \in A \) et \( a \in A \).
Exemple :
\( \min([0,1]) = 0 \).
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Flashcard 6
Question : Qu'est-ce qu'un ensemble borné ?
Réponse :
Un ensemble \( A \subseteq \mathbb{R} \) est borné s'il a à la fois un majorant et un minorant.
Définition mathématique : \( A \subseteq \mathbb{R} \) est borné s'il existe \( m, M \in \mathbb{R} \) tels que \( m \leq x \leq M \) pour tout \( x \in A \).
Exemple :
\( ]0,10[ \) est borné, mais \( ]-\infty,2[ \) ne l'est pas.
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Flashcard 7
Question : Qu'est-ce que le supremum d'un ensemble \( A \subseteq \mathbb{R} \) ?
Réponse :
Le supremum de \( A \), noté \( \sup(A) \), est le plus petit des majorants de \( A \).
Définition mathématique : \( a = \sup(A) \) si \( a \) est le plus petit des majorants de \( A \).
Exemple :
\( \sup([0,1[) = 1 \), même si \( 1 \notin [0,1[ \).
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Flashcard 8
Question : Qu'est-ce que l'infimum d'un ensemble \( A \subseteq \mathbb{R} \) ?
Réponse :
L'infimum de \( A \), noté \( \inf(A) \), est le plus grand des minorants de \( A \).
Définition mathématique : \( a = \inf(A) \) si \( a \) est le plus grand des minorants de \( A \).
Exemple :
\( \inf([0,1]) = 0 \).
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Flashcard 9
Question : Quelle relation existe-t-il entre infimum et supremum ?
Réponse :
Pour tout ensemble \( A \subseteq \mathbb{R} \), si \( \inf(A) \) et \( \sup(A) \) existent, alors \( \inf(A) \leq \sup(A) \).
Théorème mathématique : \( \inf(A) \leq \sup(A) \) pour tout ensemble \( A \subseteq \mathbb{R} \) si \( \inf(A) \) et \( \sup(A) \) existent.
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Flashcard 10
Question : Qu'est-ce qu'une proposition logique ?
Réponse :
Une proposition logique est une affirmation qui est soit vraie, soit fausse.
Définition mathématique : Une proposition \( P \) est une phrase qui est vraie ou fausse, mais pas les deux.
Exemple :
\( P : \) "3 est impair" est une proposition vraie.
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Flashcard 11
Question : Qu'est-ce que la négation d'une proposition \( P \) ?
Réponse :
La négation d'une proposition \( P \) est la proposition qui est vraie si \( P \) est fausse.
Définition mathématique : \( \sim P \) est vraie si \( P \) est fausse.
Exemple :
\( \sim(3 \text{ est impair}) \) est "3 est pair".
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Flashcard 12
Question : Qu'est-ce qu'une preuve directe ?
Réponse :
Une preuve directe prouve une proposition sans avoir recours à une technique particulière.
Exemple :
Si \( n \) est impair, alors \( n^2 \) est impair.