Mathe Abi

Ableitung (Analysis)

Die Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate einer Funktion an einer Stelle. Sie ist die Steigung der Tangente im Punkt und wird oft mit f′(x)f'(x)f′(x) bezeichnet.

Extrempunkte (Analysis)

Extrempunkte sind Hoch- oder Tiefpunkte eines Funktionsgraphen. Sie treten dort auf, wo die erste Ableitung 0 ist und das Vorzeichen der Ableitung wechselt.

Wendepunkt (Analysis)

Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten einer Funktion ändert. Die zweite Ableitung ist dort gleich 0, und die dritte Ableitung ist ungleich 0.

Integral (Analysis)

Das Integral beschreibt die Fläche unter dem Graphen einer Funktion. Es ist die Umkehrung der Ableitung (Stammfunktion) und steht für die bestimmte Fläche im Intervall [a,b].

Monotonie (Analysis)

Eine Funktion ist monoton steigend, wenn f′(x)>0, und monoton fallend, wenn f′(x)<0. Sie beschreibt, ob die Funktion wächst oder fällt.

Krümmung (Analysis)

Die Krümmung einer Funktion hängt von der zweiten Ableitung ab. Ist f′′(x)>0, ist die Funktion linksgekrümmt (konvex); bei f′′(x)<0 ist sie rechtsgekrümmt (konkav).

Vektor (lineare Algebra)

Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke mit Richtung und Länge. Er wird z. B. in Spaltenform geschrieben.

Skalarprodukt (lineare Algebra)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt eine Zahl. Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

Gerade in Parameterform (lineare Algebra)

Eine Gerade in 3D hat die Form:
g⃗(t)=p⃗+t⋅r⃗
wobei p⃗ ein Punkt ist und r⃗ ein Richtungsvektor.

Lagebeziehungen: Punkt und Gerade (lineare Algebra)

Ein Punkt liegt auf einer Geraden, wenn er sich durch Einsetzen in die Geradengleichung ergibt (d.h. Gleichung ist erfüllbar).

Lagebeziehungen: Gerade und Gerade (lineare Algebra)

• identisch, wenn sie dieselbe Gleichung haben

• schneidend, wenn sie einen Punkt gemeinsam haben

• windschief, wenn sie sich nicht schneiden und nicht parallel sind

• parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind

Abstand Punkt–Gerade(lineare Algebra)

Man bestimmt den Abstand mit dem Lotfußpunktverfahren oder über die Formel mit Kreuzprodukt.

Zufallsvariable (Stochastik)

Eine Zufallsvariable ordnet jedem möglichen Ergebnis einer Zufallssituation eine Zahl zu.

Erwartungswert E(X)

Der Erwartungswert ist der durchschnittlich zu erwartende Wert einer Zufallsvariablen. Wird auch Mittelwert gennant

Binomialverteilung (Stochastik)

Modelliert die Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit p.

Standardabweichung (Stochastik)

Gibt die durchschnittliche Abweichung vom Erwartungswert an. Bei Binomialverteilung:
σ= Omega

Unabhängigkeit (Stochastik)

Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn gilt:
P(A∩B)=P(A)⋅P(B)

Bedingte Wahrscheinlichkeit(Stochastik)

Die Wahrscheinlichkeit von A, gegeben dass B eingetreten ist:

Produktregel (Analysis)

Wird eine Funktion aus zwei Funktionen u(x) und v(x) gebildet, gilt:

(f⋅g)′=f′⋅g+f⋅g′

Beispiel: (x2⋅sin⁡x)′=2x⋅sin⁡x+x^2⋅cos⁡x

Kettenregel (Analysis)

Wird eine Funktion in eine andere eingesetzt (verkettete Funktion), gilt:

(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)

Beispiel: (sin⁡(x^2))′=cos⁡(x^2)⋅2x

Quotientenregel (Analysis)

1. Als Erstes leitet ihr den Zähler ab und nehmt es mal den Nenner.

2. dazu subtrahiert ihr die Ableitung vom Nenner mal den Zähler.

3. Das teilt ihr dann durch den Nenner hoch 2.

Stammfunktion (Analysis)

Eine Funktion F(x) ist eine Stammfunktion von f(x), wenn F′(x)=f(x)

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Analysis)

er bestimmte Integralwert zwischen a und b ist:

wobei F eine Stammfunktion von f ist.

Nullstellen (Analysis)

Nullstellen sind die x-Werte, bei denen f(x)=0. Der Funktionsgraph schneidet hier die x-Achse.

Symmetrie einer Funktion (Analysis)

• Achsensymmetrisch (gerade Funktion): f(−x)=f(x)

• Punktsymmetrisch (ungerade Funktion): f(-x) = -f(x)

Bedeutung der ersten Ableitung im Sachzusammenhang (Analysis)

Gibt an, wie schnell sich etwas ändert – z. B. Geschwindigkeit als Ableitung der Wegfunktion.

Bedeutung der zweiten Ableitung im Sachzusammenhang (Analysis)

Gibt die Änderung der Änderungsrate an – z. B. Beschleunigung als zweite Ableitung der Wegfunktion.

Kreuzprodukt (lineare Vektoren)

Nur im 3D-Raum definiert. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a⃗×b⃗ ergibt einen Vektor senkrecht zu beiden.
Anwendung: Flächeninhalte, Normalenvektoren.

Normalenvektor (lineare Algebra)

Ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht. Wird z. B. durch das Kreuzprodukt zweier Spannvektoren gefunden.

Ebene in Parameterform (lineare Algebra)

E:x=p​+r⋅u+s⋅v

p⃗: Stützvektor, u⃗,v⃗: Spannvektoren

Lage: Gerade – Ebene (lineare Algebra)

• Schneidet, wenn ein Schnittpunkt existiert

• Parallel, wenn Richtungsvektor orthogonal zum Normalenvektor

  • Liegt in der Ebene, wenn alle Gleichungen erfüllt sind

Bernoulli-Experiment (Stochastik)

Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ausgängen (z. B. „Treffer“ oder „kein Treffer“)

Signifikanztest (einseitig, zweiseitig)

• Einseitig: Testet nur gegen Abweichung in eine Richtung

  • Zweiseitig: Testet gegen Abweichung in beide Richtungen
    → Relevanz bei Hypothesentests

Konfidenzintervall

Bereich, in dem der wahre Wert (z. B. einer Wahrscheinlichkeit) mit hoher Wahrscheinlichkeit liegt – oft 95 %-Intervall.