Mecánica del Medio Continuo - Vocabulario y Notación Indicial

Fichas de vocabulario y términos clave para repasar conceptos teóricos de Mecánica del Medio Continuo, basándose en la notación indicial, tensores y operadores diferenciales.

Escalar

Cantidad de orden cero que se representa mediante un solo valor y no tiene índices libres. En tres dimensiones posee $3^0 = 1$ componente.

Vector

Cantidad de primer orden que tiene 1 índice libre y $3$ componentes en un espacio tridimensional. Se representa como $v = v_i e_i$.

Tensor de segundo orden

Cantidad que en tres dimensiones posee $3^2 = 9$ componentes y 2 índices libres. Puede representarse mediante una matriz de $3 \times 3$ con componentes $T_{ij}$ y base tensorial $e_i \otimes e_j$.

Componentes $v_i$ de un vector

Representan las componentes del vector respecto a la base elegida, donde el índice $i$ identifica la dirección correspondiente.

Vectores de la base $e_i$

Vectores de la base vectorial que en tres dimensiones está formada por tres vectores asociados con las tres direcciones del espacio.

Base tensorial

Base para un tensor de segundo orden formada mediante los productos tensoriales de vectores base $e_i \otimes e_j$.

Índice libre

Índice que aparece una sola vez en cada término de una ecuación indicial y permanece en el resultado, indicando el orden del resultado.

Índice mudo o repetido

Índice que aparece dos veces en un mismo término e indica una sumatoria implícita sobre todos sus valores de acuerdo con la convención de Einstein.

Convención de sumatoria de Einstein

Regla que establece una sumatoria implícita cuando un índice aparece repetido dos veces en un término (por ejemplo, $A_{ij} v_j$ representa la suma sobre $j$).

Delta de Kronecker ($\delta_{ij}$)

Símbolo que vale $1$ cuando $i = j$ y $0$ cuando $i \neq j$. En tres dimensiones se representa como la matriz identidad y actúa como selector o sustituidor de índices.

Símbolo de permutación ($e_{ijk}$)

Símbolo que vale $+1$ para permutaciones pares de 1,2,3; $-1$ para permutaciones impares; y $0$ cuando se repite cualquiera de los índices.

Producto interno / contracción simple ($A \cdot B$)

Operación con notación indicial $A_{ik} B_{kj}$ en la que existe contracción de índices repetidos y disminuye el orden del resultado.

Producto externo o tensorial ($a \otimes b$)

Operación con notación indicial $a_i b_j$ donde no se contraen índices, conservando los índices libres $i$ y $j$ para producir un tensor de segundo orden.

Doble producto contraído ($A : B$)

Operación que contrae dos pares de índices ($A_{ij} B_{ij}$), multiplicando componente por componente en la misma posición y sumando los productos para obtener un escalar.

Doble producto con índices cruzados ($A \cdot\cdot B$)

Variante del doble producto equivalente a $A : B^T$ con expresión indicial $A_{ij} B_{ji}$, produciendo un escalar al cruzar los índices del segundo tensor.

Norma de un vector

Representación de la magnitud o longitud de un vector, que en tres dimensiones se calcula como $||v|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$.

Gradiente

Operador diferencial que aplicado a un campo escalar \phi produce un campo vectorial formado por sus derivadas parciales: $\text{grad}(\phi) = \left[\frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z}\right]$.

Divergencia

Operación diferencial aplicada a un campo vectorial que produce una cantidad escalar al sumar las derivadas parciales de cada componente respecto de su coordenada.

Teorema de la divergencia de Gauss

Teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de la divergencia en el volumen encerrado.