Définition notation exemple

Quel est le but d’un système automatique ?

Le but est d’analyser et de faire une synthèse pour un système physique.

Par quelle(s) grandeur(s) un système est-il caractérisé ?

Un système est caractérisé par deux grandeurs : les entrées qu’on applique au système (les entrées sur lesquelles on peut agir et les entrées sur lesquelles on ne peut pas agir, appelées perturbations) et les sorties, ou réponses, élaborées par le système sous l’action des entrées appliquées.

Quelles seront les méthodes utilisées ?

La fonction de transfert et la représentation d’état.

Qu’est-ce qu’une fonction de transfert ?

Les fonctions de transfert utilisent les entrées et les sorties sans se préoccuper de l’état interne. Il s’agit d’une étude externe limitée aux cas linéaires invariants.

Qu’est-ce qu’une représentation d’état ?

C’est une étude interne permettant notamment d’étudier la sensibilité, la stabilité et la contrôlabilité du système.

Qu’est-ce que la classification des systèmes ?

Les systèmes peuvent être classés selon qu’ils sont linéaires ou non linéaires, et invariants ou variants.

Dans le cas général, par quoi l’état d’un système est-il décrit ?

L’état d’un système est décrit par une équation différentielle d’ordre 1 : ẋ(t) = f(x(t), u(t)), avec x(t) ∈ ℝⁿ, une condition initiale x(t₀), et u(t) ∈ ℝᵐ.

Que notons pour la suite concernant la fonction f ?

On note f : ℝⁿ × ℝᵐ → ℝⁿ, que l’on suppose de classe C¹.

Comment est définie une commande admissible u ?

On note u : ℝ⁺ → ℝᵐ une fonction mesurable bornée, dite admissible, telle que u ∈ L∞(ℝ⁺, ℝᵐ).

Comment note-t-on la solution du système pour une condition initiale fixée et une commande admissible u ?

On note Xᵘ(t, X(t₀)) la solution à l’instant t, pour t ≥ t₀ ≥ 0.

Quelle est l’équation d’état vérifiée par Xᵘ(t, X(t₀)) ?

Ẋ(t) = f(X(t), u(t)), avec X(t₀) comme condition initiale.

Comment peut-on simplifier les notations de Xᵘ(t, X(t₀)) ?

On peut oublier X(t₀) et noter Xᵘ(t, X(t₀)) = Xᵘ(t).

Pour un u donné fixe, comment note-t-on Xᵘ(t, X(t₀)) ?

Pour un u donné fixe, on note Xᵘ(t, X(t₀)) = X(t).

Quelle est l’équation de sortie du système ?

y(t) = h(Xᵘ(t, X(t₀))), avec h : ℝᵐ → ℝᵖ de classe C¹.

Quand un état z₂ est-il dit admissible ?

Un état z₂ ∈ ℝⁿ est dit admissible à partir d’un état z₁ ∈ ℝⁿ s’il existe une entrée u : [T₀, T] → ℝᵐ telle que z₂ = Xᵘ(T₁, z₁), avec T₀ ≤ T₁ ≤ T, ce qui permet de transférer le système de l’état z₁ à l’état z₂.

Comment note-t-on l’ensemble des points accessibles à partir d’un état z₁ sous l’action de u ?

On note ACC(z₁, u) = {Xᵘ(t, z₁) | t ≥ t₀}.

Quand est-ce qu’un système est-il contrôlable sur E ⊂ ℝⁿ ?

Un système est contrôlable sur E ⊂ ℝⁿ, espace d’état ou de phase, à partir de z₁ ∈ E si et seulement si ⋃_{u admissible} ACC(z₁, u) = E.

Quand un système S est-il contrôlable sur un ensemble E ⊂ ℝⁿ ?

S est contrôlable sur l’ensemble E si et seulement si, pour tout z₁ ∈ E, S est contrôlable à partir de z₁.

Quelle est l’équivalence de la contrôlabilité de S sur E ?

Pour tout z₁ ∈ E, pour tout z₂ ∈ E, il existe u : [t₀, T] → ℝᵐ, admissible, tel que z₂ = Xᵘ(T, z₁).

Quand est-ce qu’un système S est dit observable ?

S, un système, est dit observable à l’instant t₀ si, connaissant toutes les entrées et toutes les sorties u(t), y(t) pour tout t appartenant à [t₀, T], on peut déterminer de façon unique x(t₀). Si ceci est vrai pour tout t₀, on dit que S est observable.

Quand, en pratique, détermine-t-on x(t₀), x(t₁), …, x(tₙ) ?

On détermine x(t₀), x(t₁), …, x(tₙ) quand on peut, car en pratique, on n’arrive pas à calculer l’état x(t) pour tout système observable.

Comment estime-t-on donc l’état d’un système observable ?

Avec un observateur.

Qu’est-ce qu’un observateur pour un système S ?

Un observateur pour un système S est un système auxiliaire qui a pour entrée l’entrée et la sortie de S et pour sortie une estimation de l’état.

Que veut-on pour l’erreur e(t) entre l’état estimé et l’état réel ?

On veut que l’erreur e(t) = x̂(t) − x(t) tende vers zéro lorsque t tend vers +∞.

REGARDER EXEMPLE ET CE QU4ON VEUT PAGE 6

Quand est-ce qu’un système est dit linéaire ?

Un système est dit linéaire si l’application entrée-sortie φ est linéaire, c’est-à-dire si y(t) est la réponse à u(t), et z(t) est la réponse à v(t), alors pour tout α, β ∈ ℝ, αy(t) + βz(t) est la réponse à αu(t) + βv(t).

REGARDER EXEMPLE BAS PAGE 6

Quand est-ce qu’un système S est dit invariant ?

Un système S est dit invariant si y(t) est la réponse à u(t), c’est-à-dire que pour tout τ ≥ 0, yτ(t) = y(t − τ) et uτ(t) = u(t − τ).

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