Unidad 1

Flashcards for reviewing key concepts from the lecture notes on Matrices and Systems of Linear Equations.

Matriz

Un cuadro ordenado de números (reales o complejos), dispuestos en filas y columnas.

Elementos de la matriz

Los números que componen la matriz.

Orden m x n

El orden de una matriz con m filas y n columnas.

a i j

El elemento genérico perteneciente a la fila i y a la columna j.

Matriz rectangular

Una matriz donde el número de filas es distinto al número de columnas.

Matriz cuadrada

Una matriz donde el número de filas es igual al número de columnas.

M m, n (R)

El conjunto de todas las matrices rectangulares de orden m×n, de elementos reales.

M n (R)

El conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n, de elementos reales.

Diagonal principal

Los elementos a i i (es decir, los a i j tales que i = j ) que forman la diagonal principal de la matriz.

Traza de una matriz cuadrada (trA)

La suma de los elementos de su diagonal principal.

Igualdad de matrices

Dos matrices A y B son iguales si y sólo si son del mismo orden y los elementos correspondientes en ambas matrices son iguales.

Matriz fila

Una matriz formada por una sola fila.

Matriz columna

Una matriz formada por una sola columna.

Matriz triangular superior

Una matriz cuadrada cuyos elementos ubicados por debajo de la diagonal principal son todos nulos.

Matriz triangular inferior

Una matriz cuadrada cuyos elementos ubicados por encima de la diagonal principal son todos nulos.

Matriz diagonal

Una matriz cuadrada que es triangular superior e inferior simultáneamente.

Matriz identidad

Una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos unos.

Matriz nula

Una matriz (cuadrada o rectangular) cuyos elementos son todos nulos.

Matriz opuesta de A

La matriz de igual orden que A, cuyos elementos son los opuestos de los elementos correspondientes de la matriz A.

Matriz escalonada

Una matriz (cuadrada o rectangular) que cumple que si hay filas de ceros, están abajo, y el primer elemento no nulo de una fila está a la izquierda del de la fila siguiente.

Matriz simétrica

Una matriz cuadrada donde sus elementos simétricos respecto de la diagonal principal son iguales.

Matriz antisimétrica

Una matriz cuadrada donde sus elementos simétricos respecto de la diagonal principal son opuestos.

Matriz inversible

Una matriz cuadrada An tal que existe una matriz cuadrada Bn donde An . Bn = Bn . An = I n

Matriz Ortogonal

Una matriz cuadrada inversible donde su traspuesta coincide con su inversa (AT = A−1).

Suma de matrices A+B

Dadas dos matrices A y B del mismo orden, la matriz del mismo orden que A y B, cuyos elementos se obtienen sumando los elementos correspondientes de A y B.

Producto de un escalar por una matriz k.A

Dados un escalar k  R y una matriz Am×n, la matriz k.A del mismo orden que A, cuyos elementos se obtienen multiplicando el escalar k por cada elemento de la matriz A

Producto de matrices A . B

Dadas dos matrices A = (a i j )m×n y B = ( b i j )n×p, la matriz C = A . B = (c i j ) m×p tal que un elemento arbitrario c i j es la suma de los productos de los elementos de la fila i de A por los elementos correspondientes de la columna j de B.

Matriz traspuesta de A (AT)

Dada una matriz Am×n = ( a i j ), una matriz Bn×m = ( b i j ) que se obtiene permutando las filas por las columnas de la matriz A.

Operaciones elementales entre filas de una matriz

Intercambio de dos filas, multiplicación de una fila por un escalar no nulo, o reemplazo de una fila por la suma de ella más un múltiplo de otra fila.

Matrices equivalentes

Dos matrices donde una de ellas puede obtenerse realizando un número finito de operaciones elementales entre filas de la otra.

Determinante de una matriz cuadrada

Un número real que se simboliza y que para matrices de orden 2 y 3 se calcula mediante la Regla de Sarrus.

Rango de una matriz Am×n (rg(A))

El orden del mayor determinante no nulo que se puede extraer de la matriz.

Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas

Un conjunto finito de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas.

Solución del sistema

Toda n-upla ( s1 , s2 , … , sn ) de números reales que satisface las ecuaciones del sistema.

Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones lineales con las mismas incógnitas que tienen el mismo conjunto solución.

Sistema lineal compatible

Un sistema lineal que admite alguna solución.

Sistema compatible determinado

Un sistema compatible que tiene solución única.

Sistema compatible indeterminado

Un sistema compatible que tiene infinitas soluciones.

Sistema lineal incompatible

Un sistema lineal que no admite solución.

Sistema lineal homogéneo

Un sistema lineal donde todos los términos independientes del sistema son nulos.

Método de Eliminación de Gauss

Reemplazar el sistema dado por un nuevo sistema equivalente, que sea más fácil de resolver, transformando la matriz orlada en una matriz equivalente escalonada.

Sistemas Simultáneos

Dos sistemas lineales de m ecuaciones con n incógnitas que tienen la misma matriz de coeficientes y sólo difieren en los términos independientes.