EDP

Qu’est-ce qu’une équation aux dérivées partielles (EDP) ?

Une EDP est une équation fonctionnelle qui met en relation des dérivées partielles. Classiquement, c’est une fonction à valeurs scalaires des variables x et y, où (x,y) ∈ Ω et Ω désigne un ouvert de R². Une EDP est la relation de la forme F(x,y,u,∂u/∂x,∂u/∂y) = 0 pour (x,y) ∈ Ω.

Qu’est-ce que l’ordre d’une équation aux dérivées partielles ?

L’ordre d’une équation aux dérivées partielles est le plus haut degré de dérivation présent dans l’équation.

Comment définit-on la dimension d’une équation aux dérivées partielles ?

La dimension d’une équation aux dérivées partielles est le nombre de variables indépendantes dont dépend la fonction inconnue.

En quoi consiste le problème de Cauchy pour une EDP ?

Résoudre l’EDP consiste à déterminer toutes les fonctions u dont la restriction à Ω satisfait l’équation. Dans le problème de Cauchy, une EDP est posée avec des conditions sur le bord du domaine ou sur une surface initiale.

Sous quelle forme générale une EDP peut-elle être posée avec des conditions sur le bord du domaine ?

Une EDP peut être posée sous la forme G(x,y,u,∂u/∂x,∂u/∂y) = 0 pour (x,y) ∈ Ω, avec des conditions sur le bord ∂Ω.

Quelles sont les deux grandes familles de problèmes d’EDP distinguées selon les conditions imposées ?

On distingue les problèmes aux frontières et les problèmes aux conditions initiales.

Qu’est-ce qu’un problème aux frontières ?

Un problème aux frontières est un problème dans lequel les conditions sont posées sur le bord du domaine.

Qu’est-ce qu’un problème aux conditions initiales ?

Un problème aux conditions initiales est un problème dans lequel les conditions sont posées sur une surface initiale et où l’on cherche à propager la solution à partir de cette surface.

Pourquoi les équations aux dérivées partielles sont-elles souvent posées sur des domaines spatio-temporels ?

Les équations aux dérivées partielles sont fréquemment posées sur des domaines spatio-temporels du type Ω = ω × [t₀,+∞[, où ω est un espace ouvert de l’espace Rᵈ et [t₀,+∞[ représente l’intervalle du temps.

Quel est le rôle de l’instant initial t₀ dans un problème aux conditions initiales ?

L’instant initial t₀ est l’instant initial auquel est donnée la condition initiale. Le temps joue alors un rôle particulier dans la mesure où il est porté par le principe de causalité.

Pourquoi le temps ne peut-il pas précéder la cause dans un problème aux conditions initiales ?

Le temps ne peut pas précéder la cause car le principe de causalité impose que l’on ne puisse pas connaître la cause après les effets.

Quels sont les deux types de problèmes aux conditions initiales évoqués dans le cours ?

On distingue les problèmes aux frontières et les problèmes aux conditions initiales. Ces derniers sont souvent liés à des problèmes de propagation.

Qu’est-ce qu’un problème de propagation ?

Un problème de propagation consiste à déterminer la solution d’une EDP à partir d’une condition initiale et à la propager dans le temps à partir de cette condition.

Quel problème se pose lorsque l’on connaît seulement l’état initial d’un problème aux conditions initiales ?

Si l’état initial est connu sur une surface initiale, il faut déterminer la solution sur l’ensemble du domaine et la propager à partir de l’instant initial.

Pourquoi n’existe-t-il pas de résultats généraux sur l’existence des solutions des équations aux dérivées partielles ?

Il n’existe pas de résultats généraux sur l’existence de solutions d’EDP car les EDP et leurs conditions aux limites peuvent être très différentes et certaines situations sont particulièrement complexes.

Qu’est-ce qu’une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre ?

Une EDP du second ordre est dite linéaire si sa dépendance par rapport à la fonction inconnue et ses dérivées partielles est linéaire. Elle est de la forme a(x,y)∂²u/∂x² + 2b(x,y)∂²u/∂x∂y + c(x,y)∂²u/∂y² + d(x,y)∂u/∂x + e(x,y)∂u/∂y + f(x,y)u + g(x,y) = 0.

Quand une EDP linéaire est-elle dite homogène ?

Une EDP linéaire est dite homogène si la fonction g est identiquement nulle sur Ω.

Quand une EDP est-elle dite semi-linéaire ?

Une EDP est dite semi-linéaire si sa dépendance par rapport aux dérivées partielles d’ordre le plus élevé est linéaire. Elle est de la forme a(x,y)∂²u/∂x² + 2b(x,y)∂²u/∂x∂y + c(x,y)∂²u/∂y² + F(u,x,y,∂u/∂x,∂u/∂y) = 0.

Dans une EDP semi-linéaire, de quoi dépendent les coefficients a, b et c ?

Les coefficients a, b et c sont des fonctions des variables x et y.

Quand une EDP est-elle dite quasi-linéaire ?

Une EDP est dite quasi-linéaire si elle est de la forme a(u,∂u/∂x,∂u/∂y,x,y)∂²u/∂x² + 2b(u,∂u/∂x,∂u/∂y,x,y)∂²u/∂x∂y + c(u,∂u/∂x,∂u/∂y,x,y)∂²u/∂y² + F(u,x,y,∂u/∂x,∂u/∂y) = 0.

Quelle est la différence entre une EDP semi-linéaire et une EDP quasi-linéaire ?

Dans une EDP semi-linéaire, les coefficients des dérivées d’ordre le plus élevé dépendent uniquement de x et y, tandis que dans une EDP quasi-linéaire, ils peuvent dépendre de u et de ses dérivées premières.

Quand une EDP est-elle dite complètement non linéaire ?

Une EDP est dite complètement non linéaire si elle dépend non linéairement de ses termes de dérivées d’ordre le plus élevé.

Quels sont les quatre types d’EDP distingués dans cette classification ?

Les quatre types sont les EDP linéaires, semi-linéaires, quasi-linéaires et complètement non linéaires.

Qu’est-ce qu’une condition de Dirichlet ?

Une condition de Dirichlet est une condition où l’on impose la valeur de la fonction recherchée sur le bord ∂ω.

Qu’est-ce qu’un problème du premier type ?

Un problème du premier type est un problème où tout le bord est soumis à des conditions de Dirichlet.

Qu’est-ce qu’une condition de Neumann ?

Une condition de Neumann est une condition où l’on impose la valeur de la dérivée normale de la fonction recherchée sur le bord ∂ω.

Qu’est-ce qu’un problème du deuxième type ?

Un problème du deuxième type est un problème où tout le bord est soumis à des conditions de Neumann.

Qu’est-ce qu’une condition de Fourier-Robin ?

Une condition de Fourier-Robin est une condition où l’on impose une relation entre la valeur de la fonction recherchée et sa dérivée normale sur le bord ∂ω.

Qu’est-ce qu’un problème du troisième type ?

Un problème du troisième type est un problème où les conditions sont de types différents sur des portions du bord.

Quel est le concept important lorsqu’on recherche les solutions d’une EDP ?

Le concept important est la notion de problème bien posé.

Pourquoi la recherche de solutions d’une EDP n’est-elle pas forcément très claire ?

Elle nécessite d’être précisée pour chaque problème, notamment en déterminant les conditions aux limites et en considérant la notion de problème bien posé.

Qu’est-ce qu’un problème bien posé au sens de Hadamard ?

Un problème est bien posé au sens de Hadamard s’il existe une unique solution qui dépend de façon continue des données.

Quelles sont les trois conditions d’un problème bien posé au sens de Hadamard ?

Il faut que le problème admette une solution, que cette solution soit unique et qu’elle dépende de façon continue des données.

Pourquoi la dépendance continue de la solution par rapport aux données est-elle particulièrement importante en physique ?

Parce qu’une EDP traduit en général des principes physiques et des modèles dans lesquels on peut avoir une confiance raisonnable, tandis que les données proviennent souvent de mesures et sont donc peu fiables. Il est souhaitable que la solution soit stable lorsque les données sont légèrement perturbées.

Pourquoi cherche-t-on généralement des solutions régulières pour une EDP ?

Lorsqu’une EDP possède des dérivées partielles d’ordre k, on cherche naturellement une solution au moins k fois dérivable. C’est ce qu’on appelle le cadre classique.

Pourquoi le cadre classique peut-il être trop restrictif ?

Les discontinuités sont fréquentes en physique, notamment pour les ondes de choc et les hétérogénéités. Il peut donc être nécessaire d’autoriser des solutions présentant des irrégularités.

Qu’appelle-t-on une solution faible ou solution généralisée d’une EDP ?

C’est une solution qui peut présenter des irrégularités et qui est recherchée lorsque le cadre classique, exigeant une solution suffisamment régulière, est trop restrictif.

Pourquoi cherche-t-on des solutions faibles ou généralisées ?

Parce que les solutions classiques peuvent ne pas exister lorsque des discontinuités ou des irrégularités sont présentes dans le problème physique.

Quel est le rapport entre les solutions faibles et les solutions classiques ?

Une fois qu’une solution faible a été obtenue, on peut chercher à prouver qu’elle possède en fait des propriétés de régularité au sens classique et qu’elle est donc une solution classique.