Sintesi di Geometria e Algebra Lineare - Matrici e Determinanti

Flashcard di preparazione sull'argomento di teoria delle matrici, determinanti, proprietà fondamentali e teoremi associati per l'esame orale di Geometria e Algebra Lineare.

Come viene definita una matrice di tipo $m \times n$ a coefficienti in un campo $\mathbb{K}$?

È un'applicazione $A : \mathbb{N}_m \times \mathbb{N}_n \rightarrow \mathbb{K}$, denotata con $A = (a_j^i)$, il cui insieme di appartenenza è indicato con $\mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{K})$.

Quando una matrice si definisce quadrata e a quale insieme appartiene?

Si dice quadrata di ordine $n$ se $m = n$, e appartiene all'insieme $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.

Come si definisce la matrice trasposta $^tA$ di una matrice $A = (a_j^i)$?

Si ottiene scambiando le righe con le colonne: data $A = (a_j^i)$, la sua trasposta $^tA = (b_k^h)$ presenta elementi tali per cui $b_k^h = a_h^k$.

Quando una matrice quadrata $A$ è detta simmetrica?

Una matrice quadrata $A$ si dice simmetrica se coincide con la propria trasposta, ovvero $A = ^tA$.

Qual è la definizione di matrice regolare (invertibile)?

Una matrice quadrata $A$ è regolare se ammette un'inversa $A^{-1}$ tale che $A \cdot A^{-1} = I_n = A^{-1} \cdot A$. Tali matrici formano il gruppo lineare $GL_n(\mathbb{K})$.

Quando una matrice regolare $A$ si dice ortogonale?

Una matrice regolare $A$ si dice ortogonale se la sua inversa coincide con la sua trasposta, ossia $A^{-1} = ^tA$.

Che cos'è il rango di una matrice?

Rappresenta la dimensione del sottospazio vettoriale generato dalle colonne (o righe) della matrice e corrisponde al numero di pivot in una matrice ridotta a gradini.

Come si definisce il complemento algebrico (cofattore) $A_j^i$?

È lo scalare $A_j^i = (-1)^{i+j} \cdot \det(M_j^i)$, dove $M_j^i$ è il minore complementare ottenuto cancellando la riga $i$ e la colonna $j$ dalla matrice originaria $A$.

Quale struttura algebrica conferiscono la somma e il prodotto per scalare all'insieme $\mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{K})$?

Dotano l'insieme $\mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{K})$ della struttura di gruppo abeliano.

Qual è la condizione di conformabilità per il prodotto righe per colonne di due matrici?

Il prodotto tra due matrici $(A, B)$ è definito solo se il numero di colonne di $A$ è uguale al numero di righe di $B$. È un'operazione non commutativa ($A \cdot B \neq B \cdot A$).

Quali sono le proprietà dell'anello delle matrici quadrate $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$?

L'insieme $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ è un anello con unità (la matrice identica $I_n$), non commutativo e privo della legge di annullamento del prodotto (esistono divisori dello zero).

Quali sono le tre trasformazioni elementari sulle righe o colonne di una matrice?

Le tre trasformazioni elementari sono: $T_1$ (scambio di due righe o colonne), $T_2$ (somma a una linea di un'altra linea moltiplicata per uno scalare) e $T_3$ (moltiplicazione di una linea per uno scalare non nullo).

Come si definisce il segno di una permutazione $p \in \mathfrak{S}_n$?

Il segno è $\text{sign}(p) = (-1)^{\mu(p)}$, dove $\mu(p)$ indica il numero di inversioni (coppie di elementi di cui viene invertito l'ordine).

Qual è la definizione rigorosa dell'applicazione determinante $\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \rightarrow \mathbb{K}$?

È definita rigorosamente dalla formula: $\det(A) = \sum_{p \in \mathfrak{S}_n} \text{sign}(p) \cdot a_{p(1)}^1 \cdots a_{p(n)}^n$.

In che modo si comporta il determinante rispetto alla trasposizione di una matrice?

$\det(A) = \det(^tA)$, il che implica che le proprietà valide per le righe valgono anche per le colonne.

In quali condizioni il determinante di una matrice risulta nullo?

Il determinante è nullo se una linea è nulla oppure se due linee sono uguali o proporzionali (proprietà di alternanza).

Cosa significa che il determinante è un'applicazione multilineare?

Significa che è lineare rispetto a ogni singola riga o colonna (rispetto ad additività e omogeneità).

Come varia il determinante applicando le trasformazioni elementari $T_1$ e $T_2$?

Applicando la trasformazione $T_1$ (scambio di linee) il determinante cambia segno, mentre applicando la trasformazione $T_2$ (combinazione lineare) il determinante rimane inalterato.

Qual è il determinante di una matrice triangolare (alta o bassa)?

Il determinante di una matrice triangolare è pari al prodotto degli elementi posti sulla sua diagonale principale.

Cosa stabilisce il Teorema di Binet per due matrici $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$?

Stabilisce che il determinante del prodotto è pari al prodotto dei determinanti: $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$.

Qual è la formula espressa dal Primo Teorema di Laplace (Sviluppo) per un fissato indice di riga $h \in \mathbb{N}_n$?

$\det(A) = \sum_{j=1}^n a_j^h \cdot A_j^h$.

Cosa afferma il Secondo Teorema di Laplace (Ortogonalità)?

Afferma che la somma dei prodotti degli elementi di una riga $h$ per i complementi algebrici di una diversa riga $k$ (con $h \neq k$) è sempre nulla: $\sum_{j=1}^n a_j^h \cdot A_j^k = 0$.

Come unifica i teoremi di Laplace il Teorema di Laplace Generalizzato mediante il simbolo di Kronecker $\delta_k^h$?

Li unifica mediante l'uguaglianza: $\sum_{j=1}^n a_j^h \cdot A_j^k = (\det(A)) \cdot \delta_k^h$.

Qual è il Teorema di Invertibilità di una Matrice e qual è la formula dell'inversa?

Una matrice quadrata $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ è regolare (ammette inversa) se e solo se $\det(A) \neq 0$. In tal caso l'inversa è $A^{-1} = (\det(A))^{-1} \cdot ^t(A^\})$, dove $A^\}$ è la matrice dei complementi algebrici.