MWG I/II Yann/Naomi/Yorik

Skizzieren Sie das Phasendiagramm eines einfachen Stoffes (Ein-Komponenten-System). Beschriften Sie die Achsen, die Phasengrenzen, die Phasengebiete und die verschiedenen Punkte. In welchem Zustand befindet sich das System an den Phasengrenzen? Geben Sie mindestens ein Beispiel an.

Phasengrenzen: Koexistenz mehrerer Zustände (Bsp. fest & flüssig) im Gleichgewicht

Tripelpunkt: Koexistenz aller drei Phasen im Gleichgewicht

Kritischer Punkt: Wasser und Dampf gleichzeitig, oberhalb dieses Punktes sind die Dichten identisch, wodurch die Phasengrenzen verschwinden und die flüssige/gasförmige Phase nicht mehr von einander zu unterscheiden sind. (Zustand: Überkritisches Fluid)

Skizzieren Sie das Phasendiagramm eines isomorphen binären Gemisches und beschriften Sie die verschiedenen Regionen des Diagramms sowie die Phasengrenzen.

Binäres Phasendiagram: Besteht aus zwei Komponenten

Beschreibt Zusammenhang zwischen Temperatur und Zusammensetzung (Druck bleibt konstant)

Schmelze (L): ist eine homogene flüssige Lösung

Phase α: Austauschmischkristallphase, Feststoff

Zweiphasengebiet α+L: Isomorph (beide Komponente sind im festen sowie im flüssigen Zustand vollständig mischbar) → haben die selbe Kristallstruktur

Liquiduslinie: Oberhalb eine rein flüssige Phase

Soliduslinie: Unterhalb nur eine feste α-Phase

Schnittpunkt am Extrema sind die einzelnen Schmelzpunkte

Skizzieren Sie das Phasendiagramm eines eutektischen binären Gemisches und beschriften Sie die verschiedenen Regionen des Diagramms sowie die Phasengrenzen.

Einphasengebiete: α-Phase: B in A gelöst (beide fest), besteht hauptsächlich aus A; β-Phase: A in B gelöst (beide fest), besteht hauptsächlich aus B; Schmelze (L): Flüssige Phase, bei der A und B in einer flüssigen Phase sind.

Zweiphasengebiete: α + β; α + L; β + L

Soliduslinie: fest/flüssig + fest

Liquiduslinie: flüssig/flüssig + fest

Eutektisch → leicht zu schmelzen

Eutektiktischer Punkt: Punkt an dem sich die Solidus und die Liquiduslinie treffen. Dort ist der Schmelzpunkt der tiefste aller Mischverhältnisse und der Stoff geht direkt von fest zu flüssig (oder umgekehrt) ohne eine gemischte Zwischenphase. Die dortige Zusammensetzung ist die eutektische Zusammensetzung (auch Eutektikum genannt).

Die Temperatur im Eutektischen Punkt (Eutektische Temperatur) ist die gleiche wie auf der horizontalen Linie wo L in zwei feste Phasen (α + β) umgewandelt wird.

Die eutektische Temperatur ist tiefer als die Schmelzpunkte der einzelnen Stoffe.

Was ist ein Azeotrop? (Verwenden Sie ein schematisches Phasendiagramm zur Veranschaulichung Ihrer Antwort.) Was passiert, wenn man eine Flüssigkeit mit einer Zusammensetzung links (besser unterhalb?) der azeotropen Zusammensetzung erhitzt? Wie ist die Zusammensetzung des Dampfes?

Azeotrop ist ein flüssiges Stoffgemisch, welches man nicht durch gewöhnliche Destillation trennen kann, weil die Zusammensetzung der Flüssigkeit und der Gasphase gleich sind.

Punkt A: Das ist das Azeotrop. Bei dieser spezifischen Flüssigkeitszusammensetzung verhält sich das Gemisch wie ein Reinstoff. Der Dampf hat die gleiche Zusammensetzung wie die Flüssigkeit. Man kann die Komponenten an diesem Punkt nicht mit einer einfachen Destillation trennen.

Wenn man die Flüssigkeit unten links der azeotropen Zusammensetzung erhitzt fängt nach Erreichen der Siedelinie an zu verdampfen.

Zusammensetzung des Dampfes: Bei der Siedetemperatur der Flüssigkeit zieht man eine waagrechte Linie (Konode) zur Taukurve. Beim Schnittpunkt der Taukurve mit der Konode kann man die Zusammensetzung des Dampfes ablesen. Beim Schnittpunkt der Siedelinie mit der Konode kann man die Zusammensetzung der Flüssigkeit ablesen.

Warum unterscheidet sich ein eutektisches Gemisch von jeder anderen Zusammensetzung? Was passiert zum Beispiel, wenn man eine Schmelze mit einer Zusammensetzung abkühlt, welche nicht der eutektischen entspricht? Welcher Punkt in einem eutektischen Phasendiagramm hat die niedrigste Schmelztemperatur?

1. Am eutektischen Punkt existiert ein Schmelzpunkt, keine Schmelzbereich wie bei allen anderen Zusammensetzungen.

2. Bei einer nicht eutekischen Zusammensetzung kommt es ab der Liquiduslinie zu einer Primärkristallisation. (Zweiphasengebiet)

3. Die niedrigste Schmelztemperatur herrscht am eutekitischen Punkt.

Eine Voraussetzung für ein eutektisches Gemisch braucht es mind. zwei im flüssigen Zustand vollständig mischbare Stoffe.

Skizzieren Sie ein schematisches Phasendiagramm für ein isomorphes binäres Gemisch. Markieren Sie einen Punkt in der Region, wo beide Phasen koexistieren und verwenden Sie das Hebelgesetz, um den Massenanteil von Flüssigkeit und Feststoff im System abzuschätzen. Was ist die Zusammensetzung der Flüssigkeit? Was ist die Zusammensetzung des Feststoffs?

Zeichnen Sie ein schematisches Phasendiagramm für Flüssigkeitsgemischen. Markieren Sie einen Punkt in der Dampf-Flüssigkeits-Koexistenzregion und verwenden Sie das Hebelgesetz, um den Massenanteil von Flüssigkeit und Dampf im System abzuschätzen. Was ist die Zusammensetzung des Dampfes? In welcher Komponente wird der Dampf angereichert sein?

Skizzieren Sie das Fe-Fe₃C-Phasendiagramm und benennen Sie die verschiedenen Phasen.Warum ist die Löslichkeit von C im Ferrit geringer als im Austenit? Wo befinden sich die C-Atome in einer Fe-C-Legierung? Was passiert, wenn die C-Löslichkeitsgrenze in α-Ferrit erreicht wird?

Zeichnen Sie ein schematisches Phasendiagramm für ein binäres eutektisches System und beschreiben Sie die Mikrostruktur einer Legierung mit hypereutektischer Zusammensetzung bei Gleichgewichtsabkühlung (nehmen Sie an, dass der Anteil von A größer als die Löslichkeitsgrenze in der β-Phase ist).

hypereutektische Zusammensetzung = oberhalb des eutektischen Punktes

Eutektikum = Es ist das Phasengemisch, das entsteht, wenn die Restschmelze die eutektische Temperatur unterschreitet.

Die Mikrostruktur besteht aus primärer β-Phase, eutektischem α+β-Gefüge (sowie sekundären α-Ausscheidungen in der β-Phase aufgrund der überschrittenen Löslichkeitsgrenze von A in β).

Zeichnen Sie ein schematisches Phasendiagramm für ein binäres eutektisches System und beschreiben Sie die Mikrostruktur einer Legierung mit hypoeutektischer Zusammensetzung bei Gleichgewichtsabkühlung (nehmen Sie an, dass der Anteil von B größer als die Löslichkeitsgrenze in der α-Phase ist).

hypoeutektischer = links vom eutekischen Punkt

Eutektikum = Es ist das Phasengemisch, das entsteht, wenn die Restschmelze die eutektische Temperatur unterschreitet.

Die Mikrostruktur besteht aus primärer α-Phase, eutektischem α+β-Gefüge (sowie sekundären β-Ausscheidungen in der α-Phase aufgrund der überschrittenen Löslichkeitsgrenze von B in α).

Zeichnen Sie ein schematisches Phasendiagramm für ein Flüssigkeitsgemisch mit einem oberen kritischen Punkt. Beschriften Sie die Achsen, Phasengrenzen und Regionen im Diagramm. Beschreiben Sie, was während des Abkühlens passiert, wenn ein Gemisch mit einer Zusammensetzung links vom kritischen Punkt vorliegt.

• Binodalkurve (Phasengrenzlinie): Die glockenförmige Kurve trennt den homogenen Bereich vom heterogenen Bereich.

• Kritischer Punkt: Das Maximum der Kurve. Oberhalb dieser Temperatur sind die Komponenten in jedem Verhältnis vollkommen mischbar.

• Einphasengebiet: Der Bereich oberhalb/außerhalb der Glocke (homogene Lösung).

• Zweiphasengebiet (Mischungslücke): Der Bereich unterhalb der Kurve. Hier ist das System energetisch stabiler, wenn es sich in zwei flüssige Phasen mit unterschiedlicher Zusammensetzung trennt.

1. Startpunkt: Das System befindet sich oberhalb des kritischen Punktes. Es liegt eine einzige, homogene flüssige Phase vor (vollständige Mischbarkeit).

2. Abkühlung: Die Abkühlung erfolgt entlang einer senkrechten Linie (fixe Gesamtzusammensetzung). Beim Erreichen der Binodalkurve beginnt der Übergang in das Zweiphasengebiet.

3. Übergang & Trübung: Genau am Schnittpunkt mit der Phasengrenze setzt die Entmischung ein. (In der Praxis wird das Gemisch dort oft schlagartig trüb (Opaleszenz), da sich winzige Tröpfchen einer zweiten Phase bilden, die das Licht streuen.)

4. Zweiphasengebiet: Unterhalb der Kurve entmischt sich die Flüssigkeit in zwei koexistierende Phasen (L1 und L2) mit unterschiedlichen Zusammensetzungen.

5. Phasencharakterisierung:

• Die Zusammensetzung (Konzentration) der beiden Phasen wird direkt an den Schnittpunkten der Konode (horizontale Verbindungslinie) mit der Binodalkurve abgelesen.

• Die mengenmäßigen Anteile (wie viel Volumen/Masse jede Phase einnimmt) werden über das Hebelgesetz berechnet.

Zeichnen Sie ein schematisches Phasendiagramm für ein Flüssigkeitsgemisch mit einem oberen kritischen Punkt. Beschriften Sie die Achsen, Phasengrenzen und Regionen im Diagramm. Identifizieren Sie einen Punkt in der Zwei-Phasen-Region und verwenden Sie das Hebelgesetz, um den Massenanteil der beiden Flüssigkeiten im System abzuschätzen. Wie ist die Zusammensetzung der ersten Flüssigkeit? Wie ist die Zusammensetzung der zweiten Flüssigkeit?

Betrachten Sie den Fall eines sphärischen festen Keims, welcher sich bei Gleichgewichtsabkühlung in einer Flüssigkeit bildet. Bitte schreiben Sie die freie Energie des Zwei-Phasen-Systems und erklären Sie die Funktion jedes Terms. Wann wird der Keim weiter wachsen?

Totale freie Energie: $\Delta G(r)=\frac{4}{3}\pi r^3\cdot\Delta G_{v}+4\pi r^2\cdot\gamma$

$\frac43\pi r^3$ : Volumen des Keims

$\Delta G_{v}$ : freie Energie pro Volumen (<0 wegen Volumenänderung, da Volumen grösser wird → Bindungen im Keim sind günstiger wodurch Energie frei wird)

$4\pi r^2$: Oberfläche des Keims

$\gamma$ : freie Energie pro Oberfläche (>0, da um die Grenzfläche zwischen dem festen Keim und der umgebenden Flüssigkeit zu erzeugen, muss Energie aufgewendet werden.)

$\Delta G_{}$ < ist der Zielzustand, Ziel des spontanen Phasenübergangs ist die Minimierung von G

$$r^*$$

• Wenn r < r^* : Der Keim ist zu klein. Der Oberflächenterm dominiert. Ein Wachstum würde die Energie $\Delta G$ erhöhen (den "Berg" hinauf). Das System will Energie minimieren, also löst sich der Keim wieder auf.

• Wenn r>r^{*} er Keim ist groß genug. Der Volumenterm (Gewinn) übernimmt die Oberhand. Jedes weitere Wachstum senkt nun die totale Energie $\Delta G$ (den "Berg" hinab). Der Keim wächst von selbst (spontan) weiter.

Der kritische Radius:$r^* = \frac{2 \gamma}{\Delta g_v}$ bestimmt ab welchem Radius es energetisch begünstigt wird zu wachsen.

Warum sind die Keime einer zweiten Phase, die aus einem homogenen Gemisch entstehen, sphärisch? Bitte begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die freie Energie-Bilanz während der homogenen Nukleation betrachten.

Die sphärische Form der Keime bei der homogenen Nukleation lässt sich direkt aus der Bilanz der freien Enthalpie (Gibbs-Energie) ableiten:

1. Die Energiebilanz

Die totale freie Energie $\Delta G(r)$ eines Keims setzt sich aus zwei konkurrierenden Termen zusammen:

$$\Delta G(r) = \frac{4}{3}\pi r^3 \cdot \Delta G_v + 4\pi r^2 \cdot \gamma$$

• Volumenterm ( $\frac{4}{3}\pi r^3 \cdot \Delta G_v$ ): Dieser beschreibt den energetischen Gewinn (da $\Delta G_{v}$ unterhalb der Transformationstemperatur negativ ist), der durch die Entstehung der stabileren neuen Phase frei wird. Er ist proportional zum Volumen.

• Oberflächenterm ($4\pi r^2\cdot\gamma$ ): Dieser beschreibt den energetischen Aufwand, der betrieben werden muss, um die Grenzfläche zwischen dem Keim und der ersten Phase zu erzeugen ($\gamma$ ist die spezifische Grenzflächenenergie). Er ist proportional zur Oberfläche.

2. Das Prinzip der Minimierung

Damit ein Keim stabil wachsen kann, muss die energetische Barriere (der kritische Keimradius) überwunden werden. Das System strebt dabei immer den Zustand der geringsten freien Energie an.

• Bei einem festgelegten Volumen (vorgegeben durch den energetischen Gewinn) ist die Kugel die geometrische Form mit der kleinsten Oberfläche.

• Da die Grenzflächenenergie $\gamma$ immer positiv ist und somit "Kosten" verursacht, minimiert die Kugelgestalt diesen "Energieverlust" im Vergleich zu jeder anderen Geometrie.

(Die sphärische Form maximiert das Verhältnis von Volumen zu Oberfläche. Dadurch wird bei gleichem energetischem Nutzen (Volumen) der Widerstand gegen die Keimbildung (Oberflächenenergie) minimiert, was die thermodynamische Triebkraft für die Entstehung der zweiten Phase optimiert.)

Skizzieren Sie die Änderung der freien Energie in Abhängigkeit des Radius eines Keimes, welcher durch homogene Keimbildung entsteht. Skizzieren Sie sowohl die Volumen- als auch die Oberflächenkomponenten der freien Energie und das gesamte ΔG. Identifizieren Sie den kritischen Radius und die kritische freie Energieänderung im Diagramm.

Wichtige Punkte im Diagramm

• Oberflächenenergie ($\Delta G_{sur} = 4 \pi r^2 \cdot \gamma$ ): Steigt quadratisch an ($r²$). Bei sehr kleinen Radien dominiert dieser Term, weshalb kleine Cluster instabil sind und wieder zerfallen.

• Volumenenergie ($\Delta G_{vol} = \frac{4}{3} \pi r^3 \cdot \Delta g_v$ ): Sinkt kubisch ab ($r^3$). Da die dritte Potenz bei größeren Radien stärker wächst als die zweite, zieht dieser Term die Gesamtkurve schließlich nach unten.

• Kritischer Radius ($r^*$): Dies ist das Maximum der Gesamtkurve. Keime, die kleiner als $r^*$ sind, minimieren ihre Energie durch Auflösen. Keime, die größer als $r³$ sind, wachsen spontan weiter, da dies die freie Enthalpie verringert.

• Keimbildungsbarriere ($\Delta G^*$): Der Wert von $\Delta G$ am Punkt $r^*$. Dies ist die energetische Hürde, die durch thermische Fluktuationen überwunden werden muss, damit eine dauerhafte Phase entstehen kann.

Mathematische Herleitung:

Um den Scheitelpunkt zu finden, bildet man die Ableitung $\frac{d\Delta G}{dr} = 0$:

$$r^{*}=-\frac{2\gamma}{\Delta g_v}$$

$$\Delta G^* = \frac{16 \pi \gamma^3}{3 (\Delta g_v)^2}$$

Skizzieren Sie ΔG als Funktion des Radius eines Keimes für zwei verschiedene Temperaturen, T1 und T2, wobei T1 > T2. In welchem Fall ist der kritische Kern grösser? In welchem Fall ist die Energiebarriere für die Keimbildung kleiner? Belegen Sie Ihre Schlussfolgerungen mit quantitativen Argumenten (z. B. Formeln).

Warum hat die heterogene Keimbildung eine niedrigere Energiebarriere als die homogene Keimbildung? Bitte beschreiben (und skizzieren) Sie alle Grenzflächen im Fall der homogenen und heterogenen Keimbildung und kommentieren Sie die damit verbundenen Energien, insbesondere welche Grenzflächen sich bei homogener und heterogener Keimbildung bilden.

1. Homogene Keimbildung

Bei der homogenen Keimbildung entsteht ein fester Keim mitten in einer völlig gleichmäßigen Schmelze (oder einer anderen Phase).

• Beteiligte Grenzflächen: Es gibt nur eine Art von Grenzfläche: Fest/Flüssig ($\gamma_{SL}$).

• Der Prozess: Um einen kugelförmigen Keim zu bilden, muss das System die komplette Oberfläche dieses Keims neu erschaffen.

• Energiebilanz: Die Oberflächenenergie wirkt der Volumenenergie entgegen. Da die gesamte Oberfläche neu erzeugt werden muss, ist die energetische Barriere ($<span>\Delta G^* </span>$ ) sehr hoch.

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2. Heterogene Keimbildung

Hier bildet sich der Keim an einer bereits vorhandenen Oberfläche, z. B. an der Tiegelwand oder an einem Fremdpartikel (Impfkeim).

• Beteiligte Grenzflächen: Hier interagieren drei Phasen miteinander. Wir betrachten die spezifischen Grenzflächenenergien ($\gamma$):

  1. $\gamma_{SL}$ : Fest/Flüssig (die neue Oberfläche des Keims zur Schmelze).

  2. $\gamma_{SI}$ : Fest/Imfpkeim(die neue Kontaktfläche zwischen Keim und Wand).

  3. $\gamma_{IL}$ : Impfkeim/Flüssig (die ursprüngliche Oberfläche der Wand, die nun vom Keim bedeckt wird).

• Wenn der Keim auf dem Substrat wächst, verschwindet ein Teil der ursprünglichen Grenzfläche zwischen Impfkeim und Flüssigkeit ($\gamma_{IL}$ ) und wird durch die Grenzfläche Fest/Impfkeim($\gamma_{SI}$ ) ersetzt.

• Wenn die Bindung zwischen dem Keim und dem Impfkeim stark ist, ist dieser Austausch energetisch sehr vorteilhaft.

Die geringere Energiebarriere der heterogenen Keimbildung ist einer der wichtigsten Konzepte in der Materialwissenschaft. Der Kernpunkt ist: Das System nutzt bereits vorhandene Oberflächen, um „Arbeit“ zu sparen.

Hier ist die Aufschlüsselung, warum das energetisch so viel günstiger ist.

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3. Warum ist die Barriere niedriger?

Der entscheidende Unterschied liegt im Benetzungswinkel ($\theta$ ). Das Verhältnis der Grenzflächenenergien wird durch die Young-Gleichung beschrieben:

$$\gamma_{ML} = \gamma_{SM} + \gamma_{SL} \cdot \cos(\theta)$$

Die Energiebarriere für die heterogene Keimbildung ($\Delta G^*_{het}$ ) ist mit der homogenen Barriere ($\Delta G^*_{hom}$ ) über einen Formfaktor $f\left(\theta\right)$ verknüpft:

$$\Delta G^*_{het} = \Delta G^*_{hom} \cdot f(\theta)$$

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Die heterogene Keimbildung hat eine niedrigere Energiebarriere ($\Delta G*$ ), weil der Keim nicht "aus dem Nichts" (mitten in der Schmelze) entstehen muss, sondern auf einer bereits vorhandenen Oberfläche (z. B. Gefäßwand oder Verunreinigung) aufwächst.

Skizzieren Sie ein Diagramm, das die Keimbildungsrate als Funktion der Temperatur für sowohl homogene als auch heterogene Nukleation zeigt. Welcher Prozess ist bei Temperaturen nahe der Schmelztemperatur schneller? Und warum?

Die Formel für die freie Energie bei der homogenen Keimbildung lautet:

$$\Delta G^* = \frac{16 \pi \gamma^3 T_m^2}{3 \Delta H_m^2 \cdot \mathbf{(T_m - T)^2}}$$

1. Das Problem bei $T \approx T_m$

Wenn die Temperatur $T$ nur sehr knapp unter $T_m$ liegt, ist die Unterkühlung $\Delta T = (T_m - T)$ eine sehr kleine Zahl. Da dieser kleine Wert in der Formel quadriert im Nenner steht, wird das Gesamtergebnis für $\Delta G^*$ extrem gross.

2. Der Benetzungsfaktor

Bei der heterogenen Keimbildung multiplizieren wir diesen riesigen Wert mit dem Benetzungsfaktor $f(\theta)$:

$$\Delta G^*_{het} = \Delta G^*_{hom} \cdot f(\theta)$$

Da $f(\theta)$ bei einer guten Benetzung (z.B. an einer Gefäßwand) winzig klein ist, drückt dieser Faktor die gigantische Energiebarriere massiv nach unten.

Somit ist es energetisch sinnvoller einen Keim an einer bereits vorhandenen Oberfläche entstehen kann, anstelle “aus dem nichts”. Dadurch ist die benötigte freie Energie tiefer bei der heterogenen Nukleation und es wird eine weniger starke Unterkühlung benötigt.

Die Oberflächenspannung γ hat die Einheit einer Kraft pro Längeneinheit. Welcher Energie entspricht diese Spannung? Verwenden Sie diese Erklärung, um zu zeigen, warum die Bildung einer Grenzfläche in einem homogenen Keimbildungsprozess mit Energiekosten verbunden ist.

Die Oberflächenspannung ($\gamma$ ) gibt an, wie viel Energie (J) aufgebracht werden muss, um einen Quadratmeter neuer Oberfläche ($m²$) zu erschaffen. Bei der Keimbildung entsteht eine neue Grenzfläche zwischen dem Partikel und der Umgebung. Da Gamma eine Energiedichte pro Fläche ist, kostet das Erschaffen dieser neuen Fläche Energie. Das System "wehrt" sich zunächst dagegen, weshalb man eine Energiebarriere (Aktivierungsenergie) überwinden muss, damit der Keim stabil bleibt.

"Mathematisch ausgedrückt bedeutet das: Die aufzubringende Oberflächenenergie ($\Delta G_{Oberfläche}$) ist das Produkt aus der neuen Fläche ($A$) und der Oberflächenspannung ($\gamma$ ).

$$\Delta G_{Oberfläche} = A \cdot \gamma$$

(Bei einem kugelförmigen Keim also $4\pi r^2 \cdot \gamma$ ). Dieser Term ist immer positiv und stellt somit die energetische Hürde dar."

Zeichnen Sie ein Diagramm des umgewandelten Anteils in Abhängigkeit der Zeit (logarithmisch) eines fest-fest Phasenüberganges und kennzeichnen Sie die verschiedenen Phasen der Umwandlung. Zeigen Sie, wie ein ZTU-Diagramm (Zeit-Temperatur-Umwandlung) aus den Umwandlungskurven bei unterschiedlichen Temperaturen als Funktion der Zeit erstellt werden kann.

Umwandlungskurve bei einer bestimmten Temperatur (oben)

Start, 50% und Ende der Umwandlung auf ZTU-Diagramm übertragen

Bei mehreren Temperaturen durchführen um ganze Kurve zu zeichnen

Zeichnen Sie ein Diagramm des umgewandelten Anteils in Abhängigkeit der Zeit (logarithmisch) eines fest-fest Phasenüberganges und kennzeichnen Sie die verschiedenen Phasen der Umwandlung bei drei verschiedenen Temperaturen T1 > T2 > T3. Schreiben Sie die Avrami-Gleichung und die Definition der Umwandlungsrate auf. Bitte ordnen Sie die Umwandlungsraten für die drei Temperaturen von der niedrigsten zur höchsten.

Mit der Avrami-Gleichung ($y=1-\exp(-k\cdot t^{n})$ ) lässt sich berechnen, wie viele Prozent des Volumens zu einem bestimmten Zeitpunkt bereits umgewandelt wurden.

Dabei steht y für den Umwandlungsgrad, t für die Zeit, k für die Reaktionsgeschwindigkeitskonstante (hängt von der Temperatur und Materialeigenschaften ab) und n steht für den Avrami-Exponent, ein dimensionsloser Parameter, der den Mechanismus der Umwandlung beschreibt (dieser hängt von der Art der Keimbildung und von der Geometrie des Wachstums ab).

Definition der Umwandlungsrate: $=\frac{1}{t_{0,5}}$ , also dem Kehrwert der Halbwertzeit (Zeit bei welcher 50% der Umwandlung stattgefunden hat).

Um nun die Umwandlungszeiten aus dem Diagrammen zu vergleichen, kann man die Halbwertszeiten ablesen. Da $T_1$ die grösste Halbwertszeit hat, hat es die kleinste Umwandlungsrate. Darauf folgt $T_2$ und schliesslich $T_3$ , da diese die kleinste Halbwertszeit und dadurch die grösste Umwandlungsrate.

Wird feiner Perlit bei einem höheren oder niedrigeren Grad an Unterkühlung als grober Perlit gebildet? Warum ist dies so? Begründen Sie Ihre Antwort anhand eines ZTU-Diagramms.

· Feiner Perlit wird bei einem höheren Grad an Unterkühlung gebildet (bei ca. 550 °C) als grober Perlit (bei ca. 723 °C).

Die Ausbildung der Perlitstruktur (abwechselnde Lamellen aus Ferrit und Zementit) wird durch zwei konkurrierende Faktoren bestimmt:

• Die Keimbildungsrate: Je größer die Unterkühlung $\Delta T$ (Differenz zwischen Gleichgewichtstemperatur $A_1$ und tatsächlicher Umwandlungstemperatur), desto größer ist die thermodynamische Triebkraft. Es entstehen mehr Keime pro Zeiteinheit. Viele Keime auf engem Raum führen zu einer feineren Struktur.

• Die Diffusionsrate: Die Bildung von Perlit erfordert, dass Kohlenstoffatome über Distanzen wandern, um Zementitlamellen zu bilden. Bei hoher Temperatur (geringe Unterkühlung) können die Atome weite Strecken zurücklegen, wodurch die Lamellen dicker und die Abstände größer werden (grober Perlit). Bei niedrigerer Temperatur (hohe Unterkühlung) ist die Diffusion träge. Der Kohlenstoff kann nur kurze Wege zurücklegen, weshalb die Lamellenabstände schrumpfen müssen, damit die Umwandlung überhaupt voranschreiten kann (feiner Perlit).

○ Folgend bilden sich also bei tieferen Temperaturen (hoher Grad an Unterkühlung) viele dünne Lamellen (feiner Perlit) und bei höheren Temperaturen (tiefer Grad an Unterkühlung) wenige dicke Lamellen (grober Perlit).

Skizzieren Sie ein schematisches Fe-C-Phasendiagramm und beschreiben Sie die Mikrostruktur einer hypoeutektoiden Legierung während der Gleichgewichtsabkühlung. Welcher Parameter beeinflusst hauptsächlich die Dicke der Zementit-Lamellen in der perlitischen Phase bei fixer Zusammensetzung?

• ca. 1490 °C: Beginn der Erstarrung von Schmelze zu Austenit & Schmelze.

• ca. 1420 °C: vollständig zu Austenit erstarrt

• ca. 730 °C: Beginn der Bildung von α-Ferrit

• 723°C: Austenit und Ferrit wandelt sich zu Perlit um

• Der entscheidende Faktor für die Feinheit der Lamellen ist die Abkühlgeschwindigkeit.

• Begründung:

  • Langsame Abkühlung (Geringe Unterkühlung): Der Kohlenstoff hat viel Zeit zu diffundieren und die Keimbildungsrate ist noch eher tief. Der Kohlenstoff kann durch die hohe Diffusionsgeschwindigkeit weite Wege zurücklegen. Es bilden sich wenige dicke Lamellen mit großem Abstand (Grobperlit).

  • Schnelle Abkühlung (Starke Unterkühlung): Die Zeit für Diffusion ist kurz und die Keimbildungsrate ist erhöht. Der Kohlenstoff kann durch die tiefe Diffusionsgeschwindigkeit nur kurze Wege in der begrenzten Zeit zurücklegen. Es entstehen viele sehr feine Lamellen (Feinperlit).

Was ist ein thermisch aktivierter Prozess? Warum nimmt die Rate eines aktivierten Prozesses exponentiell mit der Temperatur ab? Bitte geben Sie die Beziehung zwischen Temperatur und der Wahrscheinlichkeit an, dass ein Zwischengitteratom seine Gitterposition ändern kann.

Warum ist die Massendiffusion in Festkörpern thermisch aktiviert, während die Diffusion in Flüssigkeiten dies nicht ist? Bitte beschreiben Sie die Konsequenzen dieser Unterschiede, indem Sie die Definition der Diffusivitäten in Festkörpern und Flüssigkeiten angeben und auf ihre Temperaturabhängigkeit eingehen.

In einem Festkörper sind die Atome in einem starren Gitter angeordnet. Jedes Atom befindet sich in einer potenziellen Energiemulde, umgeben von Nachbaratomen.

 

• Die Barriere: Damit ein Atom seinen Platz verlassen kann (z. B. in eine Leerstelle springt), muss es seine Nachbaratome beiseite drücken. Dies erfordert eine erhebliche Menge an Energie, die sogenannte Aktivierungsenergie $Q_d$ .

• Der Mechanismus: Nur Atome, die durch thermische Schwingungen genügend kinetische Energie ansammeln, um diese Schwelle zu überwinden, können diffundieren. Da die Wahrscheinlichkeit für solche energetischen Sprünge exponentiell mit der Temperatur steigt, spricht man von einem thermisch aktivierten Prozess.

 

In einer Flüssigkeit gibt es kein starres Gitter. Die Struktur ist ungeordneter und es existiert ein freies Volumen zwischen den Molekülen.

 

• Die Barriere: Es gibt keine festen Gitterplätze, die durch eine hohe Energiebarriere getrennt sind. Atome oder Moleküle können gleiten oder kollidieren, ohne eine spezifische "Aktivierung" im Sinne eines Sprungs über eine Barriere zu benötigen.

• Der Mechanismus: Die Bewegung ist eher durch die Viskosität der Flüssigkeit und die Kollisionshäufigkeit begrenzt. Man beschreibt dies oft als Brownsche Molekularbewegung.

 

Der fundamentale Unterschied zeigt sich in der mathematischen Beschreibung des Diffusionskoeffizienten $D$.

• Bei Festkörpern definiert durch die Arrhenius-Gleichung:

 

$$D = D_0 \cdot \exp\left( -\frac{Q_d}{R \cdot T} \right)$$

• $D_0$ : Temperaturunabhängiger Präexponentfaktor.

• $Q_d$ : Aktivierungsenergie (J/mol).

• $R$: Gaskonstante.

• $T$: Absolute Temperatur (K).

Konsequenz: Eine geringe Erhöhung der Temperatur kann die Diffusionsrate in Festkörpern um mehrere Größenordnungen beschleunigen.

 

In Flüssigkeiten ist die Temperaturabhängigkeit meist linear oder weit weniger extrem, da sie primär über die Viskosität $\eta$ gekoppelt ist:

• Bei Flüssigkeiten definiert durch die Stokes-Einstein-Beziehung:

 

$$D = \frac{k_B \cdot T}{6\pi \cdot \eta \cdot r}$$

• $k_B$ : Boltzmann-Konstante.

• $\eta$ : Dynamische Viskosität (die selbst temperaturabhängig ist, aber anders skaliert).

• $r$: Radius des diffundierenden Teilchens.

Konsequenz: Während die Diffusion in Flüssigkeiten bei allen Temperaturen auftritt (bis auf T=0°K), reagiert sie weitaus "gelassener" auf Temperaturänderungen.

Bitte skizzieren Sie ein Arrhenius-Diagramm für den Diffusionskoeffizienten eines Atoms in einem Gitter (beschriften Sie die Achsen, einschliesslich der Einheiten). Stellen Sie schematisch die Temperaturabhängigkeit der Diffusivität eines Zwischengitteratoms oder eines Gitteratoms (Leerstelle) dar und vergleichen Sie diese

Was sind die Einheiten eines Diffusionskoeffizienten? Bitte erklären Sie, warum der Diffusionskoeffizient diese Einheiten hat, basierend auf den Gleichungen für den diffusen Transport (z. B. unter Verwendung des 1. Fick’schen Gesetzes oder der Zeitabhängigkeit der mittleren zurückgelegten Strecke in einem diffusen Prozess).

 

Der Diffusionskoeffizient ($D$) beschreibt, wie effizient Atome, Moleküle oder Teilchen aufgrund ihrer thermischen Energie durch ein Medium wandern.

Die Standardeinheit des Diffusionskoeffizienten im SI-System ist: m²/s (Quadratmeter pro Sekunde).

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1. Herleitung über das 1. Fick’sche Gesetz

Das 1. Fick’sche Gesetz beschreibt den stationären Teilchenstrom. Es besagt, dass der Teilchenstrom proportional zum Konzentrationsgradienten ist:

$$J = -D \cdot \frac{dc}{dx}$$

Um die Einheiten von $D$ zu finden, stellen wir die Gleichung nach $D$ um (wir ignorieren das Vorzeichen, da es nur die Richtung angibt):

$$D = \frac{J}{\frac{dc}{dx}}$$

Betrachten wir nun die Einheiten der einzelnen Komponenten:

• $J$ (Teilchenstromdichte): Menge pro Fläche und Zeit $\rightarrow \frac{\text{mol}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}}$

• $c$ (Konzentration): Menge pro Volumen $\rightarrow \frac{\text{mol}}{\text{m}^3}$

• $x$ (Distanz): Länge $\rightarrow \text{m}$

• $\frac{dc}{dx}$ (Konzentrationsgradient): $\frac{\text{mol}/\text{m}^3}{\text{m}} = \frac{\text{mol}}{\text{m}^4}$

Setzt man dies in die umgestellte Formel ein:

$$[D] = \frac{\frac{\text{mol}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}}}{\frac{\text{mol}}{\text{m}^4}} = \frac{\text{mol}}{\text{m}^2 \cdot \text{s}} \cdot \frac{\text{m}^4}{\text{mol}} = \mathbf{m^2/s}$$

Warum ist die Diffusivität von C-Atomen in α-Fe (Ferrit) geringer als die Diffusivität von C-Atomen in γ-Fe (Austenit)? Begründen Sie Ihre Antwort mit einer Formel, welche die Diffusivität direkt mit der Aktivierungsenergie verknüpft, und erklären Sie, wie sich diese Grösse zwischen Ferrit und Austenit unterscheidet.

Die Diffusivität $D$ wird durch die Arrhenius-Gleichung beschrieben. Diese zeigt den direkten Zusammenhang zwischen der Diffusionsrate und der thermischen Aktivierung:

$$D = D_0 \cdot \exp\left(-\frac{Q}{R \cdot T}\right)$$

Dabei stehen die Variablen für:

• $D$: Diffusionskoeffizient ($m^2/s$)

• $D_0$: Frequenzfaktor (temperaturunabhängiger Vorkoeffizient)

• $Q$: Aktivierungsenergie ($J/mol$ oder $eV/Atom$)

• $R$: Allgemeine Gaskonstante

• $T$: Absolute Temperatur ($K$)

 

Warum die Diffusivität im Ferrit höher ist

Wie man in der Arrhenius-Gleichung erkennen kann, ist die Aktivierungsenergie $Q$ der entscheidende Faktor.

1. Gitterstruktur und Packungsdichte

• $\alpha$-Fe (Ferrit): Liegt in einer krz-Struktur (kubisch-raumzentriert) vor. Diese ist weniger dicht gepackt (Packungsdichte ca. 68%).

• $\gamma$-Fe (Austenit): Liegt in einer kfz-Struktur (kubisch-flächenzentriert) vor. Diese ist dichtest gepackt (Packungsdichte ca. 74%).

2. Die Rolle der Aktivierungsenergie ($Q$)

Die Aktivierungsenergie $Q$ beschreibt die energetische Hürde, die ein C-Atom überwinden muss, um von einem Zwischengitterplatz zum nächsten zu "springen".

• Im Austenit ($\gamma$ -Fe) sind die oktaedrischen Lücken zwar größer (weshalb mehr Kohlenstoff gelöst werden kann), aber die Atome sind so eng gepackt, dass die Wanderung eines C-Atoms eine starke Verzerrung des Gitters erfordert. Das führt zu einer hohen Aktivierungsenergie.

• Im Ferrit ($\alpha$-Fe) sind die Lücken zwar kleiner und ungünstiger geformt, aber aufgrund der geringeren Packungsdichte des krz-Gitters ist der Weg zwischen den Plätzen "offener". Die Atome müssen weniger weit zur Seite geschoben werden. Daher ist die Aktivierungsenergie $Q$ im Ferrit deutlich niedriger.

Da die Diffusität invers von der Aktivierungsenergie abhängt, ist die Diffusität also in Ferrit höher als in Austenit.

Wie skaliert die mittlere quadratische zurückgelegte Strecke in einem diffusen Prozess mit der Zeit t? Wenn ich diese Strecke gegen die Zeit auftrage, wie kann ich den Diffusionskoeffizienten extrahieren?

Auf diese Formel kommt man dadurch, dass die zurückgelegte Strecke einer Glockenkurve entspricht und man durch einen Koeffizientenvergleich die Standardabweichung ermitteln kann; da die Varianz $\sigma^2$ dieser Verteilung physikalisch der mittleren quadratischen Verschiebung $\langle x^2 \rangle$ entspricht, ergibt sich nach dem Auflösen direkt der lineare Zusammenhang $\langle x^2 \rangle = 2Dt$

Nehmen Sie an, dass Salz in einem Spaghetto während des Kochens diffundiert. Wenn der Durchmesser des Spaghetti sich verdoppelt, wie viel länger müsste ich warten, bis das Salz vollständig bis zum Zentrum diffundiert ist? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die Zeitabhängigkeit der mittleren zurückgelegten Strecke im diffusen Transport angeben.

Beim diffusen Transport (Brownsche Molekularbewegung) ist die mittlere quadratische Verschiebung eines Teilchens proportional zur Zeit. Die fundamentale Gleichung für die mittlere zurückgelegte Strecke $x$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ lautet:

$$x \approx \sqrt{2Dt}$$

Dabei ist $D$ der Diffusionskoeffizient. Wenn wir diese Gleichung nach der Zeit $t$ auflösen, erhalten wir:

$$t \propto x^2$$

Das bedeutet: Die benötigte Zeit für die Diffusion wächst quadratisch mit der Entfernung, die überbrückt werden muss.

 

Anwendung auf das Spaghetto

Nehmen wir an, der ursprüngliche Radius des Spaghetto ist $r$. Das Salz muss von der Oberfläche bis zum Zentrum diffundieren, also die Strecke $x_1 = r$ zurücklegen.

1. Verdoppelung des Durchmessers: Wenn sich der Durchmesser verdoppelt, verdoppelt sich auch der Radius. Die neue Strecke ist also $x_2 = 2r$.

2. Berechnung des Zeitfaktors: Da $t$ proportional zu $x^2$ ist, setzen wir die neue Distanz in das Verhältnis ein:

$$\frac{t_2}{t_1} = \frac{(x_2)^2}{(x_1)^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = \frac{4r^2}{r^2} = 4$$

Fazit

Wenn sich der Durchmesser des Spaghetto verdoppelt, müssten Sie viermal so lange warten, bis das Salz das Zentrum erreicht.

Bitte erklären Sie den Unterschied zwischen den beiden Mechanismen der Diffusion in Festkörpern: Leerstellen- und Zwischengitterdiffusion. Welche der beiden ist bei gleicher Temperatur schneller? Begründen Sie Ihre Antwort mit einer Formel.

Leerstellendiffusion:

• Tritt in einer normalen Gitterpsition mit einer benachbarten Leerstelle (Defekt) auf.

• Kann Selbst-Diffusion oder Inter-Diffusion sein

• Selbst-Diffusion: Gleiches Element wie das Wirtsmaterial

• Inter-Diffusion: Anderes Element oder Verunreinigung

Zwischengitter-Diffusion:

• Tritt in einer Zwischengitterposition auf, die an eine leere Zwischengitterposition angrenzt.

• Ermöglicht die Inter-Diffusion von Verunreinigungen, meist kleinere Atome (z.B. B, H, C, N, O).

• Bei ID ist die Sprungwahrscheinlichkeit höher als LD, da es fast immer eine leere Zwischengitterpositionen gibt, bei LD hingegen oft lange “warten” muss bis es eine Leerstellen gibt.

• ID ist schneller als LD bei gleicher Temperatur, da die Aktivierungsenergie Q_d für ID geringer ist (da die Atome kleiner sind und keine Bindungen des Hauptgitters aufgebrochen werden müssen um eine Leerstelle zu erzeugen), weshalb auch D grösser ist (und folglich die Diffusion schneller sein muss) wie man an folgender Formel erkennen kann:

  $$D = D_0 \cdot \exp\left(-\frac{Q}{R \cdot T}\right)$$

  Dabei stehen die Variablen für:

  • $D$: Diffusionskoeffizient ($m^2/s$)

  • $D_0$: Frequenzfaktor (temperaturunabhängiger Vorkoeffizient)

  • $Q_{d}$ : Aktivierungsenergie ($J/mol$ oder $eV/Atom$)

  • $R$: Allgemeine Gaskonstante

  • $T$: Absolute Temperatur ($K$)

Denn mit einer tieferen Aktivierungsenergie und mit den gleichen anderen Umständen muss der Diffusionskoeffizient kleiner sein.

Bitte schreiben Sie das erste Fick'sche Gesetz auf und erklären Sie die Bedeutung aller Grössen (einschliesslich der Einheiten).

$\frac{dC}{dx}=\frac{\Delta C}{\Delta x}=\frac{C_{A}-C_{B}}{x_{A}-x_{B}}$ → Änderung der Konzentration auf einer Strecke

Das erste Fick’sche Gesetz beschreibt den stationären Zustand der Diffusion. Es besagt, dass der Teilchenstrom (oder Massenstrom) proportional zum Konzentrationsgefälle ist. Einfach ausgedrückt: Stoffe wandern immer von Bereichen hoher Konzentration zu Bereichen niedriger Konzentration.

Bitte schreiben Sie das zweite Fick'sche Gesetz auf und erklären Sie die Bedeutung aller Grössen (einschliesslich der Einheiten).

$\frac{dC}{dt}=\frac{\Delta C}{\Delta t}=\frac{C_{A}-C_{B}}{t_{A}-t_{B}}$ → Änderung der Konzentration pro Zeit

Das zweite Ficksche Gesetz beschreibt die instationäre Diffusion, also wie sich eine Stoffkonzentration über die Zeit hinweg im Raum ausgleicht.

Was treibt den diffusen Transport an? Beziehen Sie sich in Ihrer Antwort auf das erste Fick’sche Gesetz. In welche Richtung verläuft der diffusive Transport? Begründen Sie die Antwort ebenfalls mithilfe des ersten Fick’schen Gesetzes.

Die eigentliche Triebkraft der Diffusion ist der Konzentrationsgradient (das Konzentrationsgefälle).

Das erste Fick’sche Gesetz beschreibt diesen Zusammenhang mathematisch wie folgt:

$$J = -D \cdot \frac{dc}{dx}$$

Dabei stehen die Variablen für:

• $J$: Der Diffusionsstrom (Stoffmenge, die pro Zeit- und Flächeneinheit transportiert wird).

• $D$: Der Diffusionskoeffizient (spezifisch für den Stoff und das Medium).

• $\frac{dc}{dx}$: Der Konzentrationsgradient (die Änderung der Konzentration $c$ über die Strecke $x$).

Ohne einen Unterschied in der Konzentration ($\frac{dc}{dx} = 0$ ) findet netto kein Transport statt.

Der diffusive Transport verläuft immer vom Ort der höheren Konzentration zum Ort der niedrigeren Konzentration. Man spricht auch davon, dass der Stoff "entlang des Konzentrationsgefälles" diffundiert.

Begründung durch das erste Fick’sche Gesetz:

Die Richtung wird im Gesetz durch das negative Vorzeichen ($-$) vor dem Diffusionskoeffizienten festgelegt:

1. Der Gradient $\frac{dc}{dx}$ ist mathematisch positiv, wenn die Konzentration in Richtung $x$ zunimmt.

2. Da Teilchen jedoch dorthin wandern, wo weniger von ihnen vorhanden sind, muss der Fluss $J$ in die entgegengesetzte Richtung des Anstiegs verlaufen.

3. Das Minuszeichen stellt sicher, dass der Diffusionsstrom $J$ physikalisch korrekt vom "Viel" zum "Wenig" gerichtet ist, um den Konzentrationsunterschied auszugleichen.

Zusammenfassend: Die Diffusion wird durch den Konzentrationsunterschied angetrieben und strebt durch das im Fick’schen Gesetz verankerte negative Vorzeichen immer einen Konzentrationsausgleich an.

Bitte beschreiben Sie den Unterschied zwischen stationärer. Diffusion und nicht-stationärer Diffusion. Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Anwendung, bei dem der entsprechende Diffusionsmechanismus eine wichtige Rolle spielt.

Der Unterschied dazwischen ist, dass sich das System bei der stationären Diffusion in einem Gleichgewichtszustand befindet und sich bei einer nicht stationären Diffusion noch verändert.

1. Stationäre Diffusion

Bei der stationären Diffusion ändern sich die Bedingungen an einem bestimmten Ort über die Zeit hinweg nicht mehr.

• Diffusionsstromdichte (J): Sie ist konstant und unabhängig von der Zeit (J=konstant).

• Konzentrationsprofil: Es bildet sich eine gerade Linie (linearer Gradient) zwischen der Hoch- und Niedrigkonzentrationsseite aus.

• Mathematik: Anwendung des 1. Fick’schen Gesetzes:

  $J = -D \cdot \frac{dc}{dx}$​

• Beispiel: Die Permeation von Gas durch eine Metallplatte, bei der auf beiden Seiten ein konstanter, aber unterschiedlicher Druck herrscht.

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2. Nicht-stationäre Diffusion

Dies ist der weitaus häufigere Fall, bei dem die Konzentration an jedem Punkt im Material von der Zeit abhängt.

• Zeitabhängigkeit: Sowohl die Stromdichte als auch der Konzentrationsgradient ändern sich kontinuierlich (J=f(t)).

• Konzentrationsprofil: Das Profil ist gekrümmt und muss für jeden Zeitpunkt individuell betrachtet werden.

• Mathematik: Anwendung des 2. Fick’schen Gesetzes:

  $\frac{\partial c}{\partial t} = D \cdot \frac{\partial^2 c}{\partial x^2}$​

• Beispiel: Das Dotieren von Halbleitern, bei dem Fremdatome von der Oberfläche aus mit zunehmender Zeit immer tiefer in das Siliziumgitter eindringen.

Ordnen Sie die folgenden Materialien in aufsteigender Reihenfolge ihrer Schmelztemperatur. Begründen Sie Ihre Reihenfolge basierend auf der atomaren Struktur der Materialien und dem relevanten Mechanismus der Wärmeleitung für jedes Material. Aluminium (Metall), amorphes SiO2 (Glas), kristallines SiO2 (Quarz), Polyethylenterephthalat (PET, ein Kunststoff).

Die Reihenfolge (aufsteigend)

1. Polyethylenterephthalat (PET) (~$250-260\,^\circ\text{C}$ )

2. Aluminium (~$660\,^\circ\text{C}$ )

3. Amorphes $SiO_2$ (Glas) (Schmelzbereich ab ca. $1300-1600\,^{\circ}\text{C}$ )

4. Kristallines $SiO_2$ (Quarz) (~$1713\,^\circ\text{C}$ )

Der Schmelzpunkt hängt von der Art der Chemischen Bindung (kovalent/metall oder zwischenmolekular) und dem Ordnungsgrad (amorph/kristallin) sowie der Reinheit ab.

Ordnen Sie die folgenden Materialien nach ihrem Elastizitätsmodul. Bitte begründen Sie Ihre Reihenfolge und beziehen Sie sich auf die atomare Struktur der Materialien. Aluminium (Metall), amorphes SiO2 (Glas), amorphes Polyethylen (PE, Kunststoff) und orientiertes Polyethylen (Kunststoff mit gedehnten und uniaxial ausgerichteten Polymermolekülen in Zugrichtung).

1. Amorphes Polyethylen (PE) ($\approx 0,2 - 0,8$ GPa)

2. Orientiertes Polyethylen ($\approx 2 - 10$ GPa)

3. Aluminium ($\approx 70$ GPa)

4. Amorphes $SiO_2$ (Glas) ($\approx 72$ GPa)

Das Elastizitätsmodul (kurz $E$-Modul) ist eine Materialkonstante, die den Widerstand eines Werkstoffs gegen seine elastische Verformung beschreibt; vereinfacht gesagt gibt es an, wie steif ein Material ist. Je höher der Wert, desto mehr Kraft muss man aufwenden, um das Material um ein bestimmtes Maß zu dehnen oder zusammenzudrücken.

Machen Sie eine qualitative Skizze einer Bindungsenergiekurve für Aluminium (Al) und Aluminiumoxid (Al2O3). Erklären Sie den Einfluss jeder Kurve auf den Wärmeausdehnungskoeffizienten, das Elastizitätsmodul und den Schmelzpunkt der beiden Materialien.

Der Vergleich:

1. Aluminiumoxid ($Al_2O_3$ - Keramik):

   • Die Bindung ist primär ionisch/kovalent und sehr stark.

   • Kurve: Sie hat einen sehr tiefen "Potentialtopf" (tiefes Minimum).

   • Form: Die Parabel um das Minimum herum ist sehr eng und steil.

2. Aluminium ($Al$ - Metall):

   • Die Bindung ist metallisch und im Vergleich schwächer.

   • Kurve: Der Potentialtopf ist flacher (weniger tiefes Minimum).

   • Form: Die Kurve um das Minimum herum ist breiter und offener.

 

2. Einfluss der Kurvenform auf die Materialeigenschaften

Die Form dieses "Potentialtopfes" bestimmt direkt die thermischen und mechanischen Eigenschaften auf atomarer Ebene.

A. Schmelzpunkt ($T_m$)

Der Schmelzpunkt hängt direkt mit der Tiefe des Potentialtopfes ($E_0$) zusammen (Bindungsenergie).

• Physikalisches Prinzip: Um ein Material zu schmelzen, muss thermische Energie zugeführt werden, um die Bindungen aufzubrechen oder die Atome so stark schwingen zu lassen, dass sie ihren Gitterplatz verlassen können. Je tiefer der Topf, desto mehr Energie (Wärme) wird benötigt, um die Atome aus dem Minimum "herauszuheben".

• Vergleich:

  • $Al_2O_3$: Sehr tiefer Topf $\rightarrow$ Sehr hoher Schmelzpunkt (~2072 °C).

  • $Al$: Flacherer Topf $\rightarrow$ Niedrigerer Schmelzpunkt (~660 °C).

B. Elastizitätsmodul (E-Modul / Steifigkeit)

Das E-Modul korreliert mit der Krümmung der Kurve am Minimum (die zweite Ableitung der Energie nach dem Abstand, $d^2U/dr^2$).

• Physikalisches Prinzip: Das E-Modul ist ein Maß für den Widerstand gegen elastische Verformung. Wenn Sie versuchen, die Atome auseinanderzuziehen (Zugbelastung), bewegen Sie sich im Diagramm vom Minimum nach rechts.

  • Eine steile Kurve bedeutet, dass eine kleine Abstandsänderung eine gewaltige Kraft erfordert (hohe Steifigkeit).

  • Eine flache Kurve bedeutet, dass sich der Abstand mit wenig Kraft ändern lässt (geringe Steifigkeit).

• Vergleich:

  • $Al_2O_3$: Sehr steile Krümmung $\rightarrow$ Sehr hohes E-Modul (~380 GPa). Es ist sehr steif.

  • $Al$: Flachere Krümmung $\rightarrow$ Niedrigeres E-Modul (~70 GPa). Es ist weicher und elastischer.

C. Wärmeausdehnungskoeffizient ($\alpha$)

Die Wärmeausdehnung hängt von der Asymmetrie (Anharmonizität) der Kurve ab.

• Physikalisches Prinzip: Die Kurve ist nicht perfekt symmetrisch (wie eine Parabel), sondern nach rechts hin flacher als nach links (Abstoßung ist "härter" als Anziehung).

  • Wenn Temperatur zugeführt wird, schwingen die Atome im Potentialtopf hin und her.

  • Aufgrund der Asymmetrie schwingen sie weiter nach "rechts" (größerer Abstand) als nach "links" (kleinerer Abstand).

  • Dadurch verschiebt sich der mittlere Atomabstand mit steigender Temperatur zu größeren Werten $\rightarrow$ Das Material dehnt sich aus.

  • Ein flacher, breiter Topf ist meist asymmetrischer und erlaubt bei gleicher Energiezufuhr (Temperatur) größere Schwingungsamplituden als ein tiefer, enger Topf.

• Vergleich:

  • Al: Flacher Topf, starke Asymmetrie bei niedrigeren Energien $\rightarrow$ Hoher Ausdehnungskoeffizient ($\approx 23 \cdot 10^{-6} K^{-1}$).

  • $Al_2O_3$: Tiefer, enger Topf, Atome sind "fester eingespannt" $\rightarrow$ Geringerer Ausdehnungskoeffizient ($\approx 8 \cdot 10^{-6} K^{-1}$).

Zeichnen Sie eine schematische Bindungsenergiekurve für zwei Atome in einem metallischen Kristallgitter. Beschriften Sie die Achsen. Markieren Sie auf der Kurve die den Abstand zwischen den zwei Atomen under den folgenden Bedingungen:
a. Es wird keine äussere Spannung angewendet.

b. Es wird eine Druckspannung (unterhalb der Grenze für plastische Verformung) angewendet.

c. Es wird eine Zugspannung (unterhalb der Streckgrenze) angewendet.

d. Nachdem die äussere Spannung aus c) entfernt wurde.

a. Hier heben sich die Anziehungskräfte und Abstoßungskräfte genau auf. Die Energie ist am niedrigsten, das Gitter ist stabil.

b. Die Atome werden zusammengedrückt. Man bewegt sich gegen die starken Abstoßungskräfte der Atomkerne/Elektronenhüllen ("Pauli-Prinzip"). Die Energie steigt stark an. Da es elastisch ist, "will" das Atom zurück in die Mulde rollen.

c. Die Atome werden auseinandergezogen. Man arbeitet gegen die Bindungskräfte. Solange man nahe am Minimum bleibt (im annähernd linearen Bereich der Kraft), gilt das Hookesche Gesetz.

d. Da die Bedingung in (c) spezifizierte, dass die Spannung unterhalb der Streckgrenze lag, war die Verformung rein elastisch. Das Metallgitter kehrt in seine ursprüngliche Form und den ursprünglichen Atomabstand zurück. Es ist keine bleibende (plastische) Verformung aufgetreten.

Zeichnen Sie qualitativ die Spannungs-Dehnungs-Kurve für ein typisches Metall, eine Keramik und einen amorphen Kunststoff in dasselbe Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Beschriften Sie die Achsen. Bitte listen Sie auf, welche mechanischen Eigenschaften Sie aus einer Spannungs-Dehnungs-Kurve ablesen können und zeigen Sie, wo Sie jede Grösse aus einer der gezeichneten Kurven ablesen.

• Streckgrenze: Übergang von elastischer zu plastischer Verformung.

• Zugfestigkeit: maximale Spannung, höchster Punkt ≙ Einschnürungspunkt: keine eigentliche Dehnung mehr.

• Bruchpunkt: Versagen des Materials ≙ Duktilität

• E-Modul: Steigung im linearen Anstieg des Graphen

• Zähigkeit: Fläche unter der Kurve ≙ Energie pro Volumen

1. Keramik: undehnbar, spröde, hält viel Dehnung aus

2. Metall: Dehnbar, hält viel Spannung aus

3. Amorphes Polymer: Dehnbar, hält wenig Spannung aus

• Keramiken haben fast keine plastische Verformung. Die Kurve ist fast nur eine gerade Linie bis zum Bruch.

• Bruchdehnung existiert bei amorphen Polymeren genau gleich wie bei Metallen.

Skizzieren Sie die Form eines metallischen Prüfkörpers in den verschiedenen Phasen eines Zugversuchs bis zum Bruch. Zeichnen Sie einen Vergleich mit einem keramischen Probenkörper. Erklären Sie den Unterschied zwischen den beiden Proben.

Definieren Sie, was eine Versetzung ist, und zeichnen Sie ein zweidimensionales Kristallgitter mit einer Versetzung im Zentrum. Erklären Sie, warum Versetzungen für die plastische Verformung von metallischen Materialien wichtig sind.

• Plastische Verformung: Jedes Mal, wenn eine Versetzung durch den gesamten Kristall wandert, verschiebt sich ein Teil des Gitters um genau einen Atomabstand (den Burgersvektor).

• Duktilität: Ein Material ist dann duktil, wenn es viele solcher Versetzungen besitzt und diese sich ungehindert über weite Strecken bewegen können.

Was ist die Zähigkeit und warum ist diese Eigenschaft für die Anwendung von Materialien wichtig? Wie wird sie gemessen?

Was ist der Kompressionsmodul und wie wird er gemessen?

Bitte diskutieren Sie den Zusammenhang zwischen der kristallinen Struktur eines Metalls und der Bewegung von Versetzungen. In diesem Zusammenhang: Warum haben unterschiedliche Kristallstrukturen unterschiedliche Zähigkeiten?

Beschreiben Sie den Unterschied zwischen den atomaren Bewegungen während einer elastischen und einer plastischen Verformung.

Bitte zeichnen Sie eine Spannungs-Dehnungs-Kurve für ein Material während zweier Lade- und Entladezyklen, einmal mit einer maximalen Spannung unterhalb und einmal oberhalb der Streckgrenze. Kommentieren Sie die Unterschiede zwischen den beiden Fällen und kennzeichnen Sie in der Grafik sowohl die elastische Rückstellung als auch die bleibende Verformung.

Bitte zeichnen Sie das Fe-C Phasendiagramm und geben Sie an, in welchem Bereich der Zusammensetzungen (C-Gewichtsanteil in %) Gusseisen zu finden ist. Welche verschiedenen Umwandlungen durchläuft eine 1 % C- und eine 3% C-Legierung, wenn sie von 1500 °C (Schmelze) bis Raumtemperatur abkühlen?

• Gusseisen im Bereich zwischen 2,14 % und 4,5 % C

• 1 % C:

– 1500 °C: flüssig (reine Schmelze)

– ca. 1475 °C: Beginn der Erstarrung, Bildung von Austenit (Schmelze und Austenit vorhanden)

– ca. 1350 °C: vollständige Erstarrung zu Austenit (nur Austenit vorhanden)

– ca. 760 °C: Überschreiten der Löslichkeitsgrenze, Bildung von Sekundärzementit aus dem Austenit (Austenit und Zementit vorhanden)

– 723 °C: Eutektoide Umwandlung des restlichen Austenits zu Perlit (Endgefüge: Perlit und Sekundärzementit)

• 3 % C:

– 1500 °C: flüssig (reine Schmelze)

– ca. 1325 °C: Beginn der Erstarrung, Bildung von primärem Austenit (Schmelze und Austenit vorhanden)

– 1147 °C: vollständige Erstarrung der Restschmelze zum Eutektikum. Gefüge aus Austenit und Zementit vorhanden.

– 723 °C: Eutektoide Umwandlung des Austenits zu Perlit (Endgefüge bei Raumtemperatur: Perlit und Zementit)

Bitte definieren Sie den Giessprozess. Basierend auf dem Fe-C Phasendiagramm (bitte schematisch zeichnen), welche Zusammensetzung (% C) wäre am günstigsten für eine einfache Giessbarkeit einer Legierung?

• Flüssiges Metall wird in eine Form gegossen, die die Geometrie des Endprodukts besitzt.

• Schwindung tritt bei der Erstarrung und dem Abkühlen der Schmelze auf.

• Das Verfahren wird angewendet, wenn:

– die Form so groß oder kompliziert ist, dass sie anders nicht hergestellt werden kann.

– die zu gießende Legierung eine geringe Duktilität aufweist, sodass Kalt- oder Warmumformung schwierig wäre.

– das Verfahren im Vergleich am kostengünstigsten ist.

• Die Gießbarkeit wird durch die Schmelztemperatur, das Erstarrungsverhalten und die Viskosität der Schmelze beeinflusst.

• Während theoretisch eine Zusammensetzung von ca. 4,3 % C am eutektischen Punkt optimal wäre, gilt in der Praxis ein Bereich von 3,5–4,5 % C als am günstigsten für eine optimale Gefügebildung.

• Im Eutektikum tritt eine niedrige Erstarrungstemperatur von etwa 1147 °C auf.

• Das Material erstarrt direkt in eine Mischung aus Austenit und Zementit, was Schrumpfungsprobleme minimiert.

Warum sind Gusseisen spröde? Um diese Frage zu beantworten, betrachten Sie die Zusammensetzung der Legierung im entsprechenden % C und besprechen Sie, welche Phasen vorhanden sind. Kommentieren Sie die Unterschiede der mechanischen Eigenschaften dieser Phasen basierend auf ihrer kristallinen Struktur

Zeichnen Sie bitte ein schematisches Phasendiagramm für eine Legierung, die ausscheidungsgehärtet werden kann. Welche Merkmale muss das Phasendiagramm aufweisen, damit eine Ausscheidungshärtung stattfinden kann? Warum sind diese notwendig?

Stellen Sie bitte einen Zusammenhang zwischen der mikrostrukturellen Entwicklung einer Legierung und ihrer Wärmebehandlung während der Ausscheidungshärtung her. Bei welchen Bedingungen wird die maximale Festigkeit erreicht? (Zeichnen Sie ein schematisches Bild der mikrostrukturellen Evolution zur Unterstützung Ihrer Antwort)

Zeichnen Sie bitte ein schematisches Phasendiagramm für eine ausscheidungshärtende Legierung mit entsprechender Wärmebehandlung. Beschreiben Sie die Wärmebehandlung in Bezug auf das Phasendiagramm und geben Sie an, welche Phasen während der verschiedenen Stadien vorhanden sind.

Was ist Übersättigung und warum tritt sie auf (kommentieren Sie die thermodynamischen Gründe für das Auftreten einer Phasenübergangs)?

Zeichnen Sie ein schematisches Phasendiagramm eines Zwei-Komponenten-Systems mit teilweiser Mischbarkeit bei Raumtemperatur. Markieren Sie für eine gegebene Zusammensetzung zwei Punkte, an denen Übersättigung bei zwei verschiedenen Temperaturen auftreten kann. Bei welchem dieser beiden Punkte wird der Phasenübergang schneller stattfinden, sobald er einsetzt?

Betrachten Sie ein ternäres Phasendiagramm. Zeichnen Sie das Diagramm auf und beschriften Sie die Achsen und Eckpunkte mit den entsprechenden Massenanteilen der einzelnen Komponenten, z. B. (%A, %B, %C). Bestimmen Sie den Mittelpunkt jeder Seite und geben Sie die entsprechende Zusammensetzung an.

Betrachten Sie ein ternäres Phasendiagramm. Was lässt sich über Temperatur und Druck sagen? Wie würden Sie das Diagramm darstellen, wenn der Druck konstant ist, die Temperatur jedoch variiert?

Zeichnen Sie bitte ein schematisches ZTU-Diagramm für die Umwandlung von Austenit in Perlit und beschriften Sie die Achsen. Markieren Sie den Beginn der Phasenumwandlung bei zwei verschiedenen Temperaturen (eine nahe der eutektoiden Temperatur und eine fern der eutektoiden Temperatur) und diskutieren Sie die Unterschiede zwischen den perlitischen Gefügen in beiden Fällen. Kommentieren Sie dabei den Ursprung des Unterschieds.

Zeichnen Sie ein schematisches ZTU-Diagramm für die Umwandlung von Austenit in Perlit und Bainit mit Beschriftung der Achsen. Warum weist die für die Umwandlung benötigte Zeit ein Minimum auf? Erläutern Sie bitte die Faktoren, die einen Phasenübergang bewirken und deren Abhängigkeit von der Temperatur.

Die die Umwandlungsrate ist am Minimum (der Nase) am höchsten, da dort das Optimum der homogenen Keimbildung ist. Das Optimum wird beeinflussed von den Anlagerunsrate und der Keimbildung.

• Keimbildungsrate: je tiefer die Temperatur, deste mehr Keimbildung

• Anlagerungrate: je tiefer die Temperatur, desto kleiner die Anlagerunsrate

• Am Minimum ist die Umwandlungsgeschwindigkeit am kleinsten

Die Umwandlung von Austenit ist stark temp. Abhängig

• temp hoch: Perlit

• temp. Niedrig: Bainit

• Das Minimum ist gleichzeitig auch die Grenze zwischen Perlit und Bainit

Was ist der Unterschied zwischen Perlit und Bainit? Welcher bildet sich bei einem grösseren Grad der Unterkühlung? Bitte kommentieren Sie die Kinetik der Umwandlungen zwischen Austenit und Perlit und Austenit und Bainit.

Was ist die martensitische Umwandlung? Warum erscheint sie als horizontale Linie in einem ZTU-Diagramm? Ist die Kinetik der martensitischen Umwandlung abhängig von der Endtemperatur?

Die Martenstische Umwandlung ist ein diffusionsloser unmittelbarar Prozesse, welcher die Umwandlung von Austenit zu Martensit beschreibt.

• Martensit, als nicht Nichtgleichgewichtsstruktur besteht aus einer einzelnen Phase

Die Horizontale Linie im ZTU-Diagramm entsteht da, die Umwandlung nicht von der Zeit, sondern nur von der Temperatur abhängig.

Die Kinetik ist unabhängig von der Endtemperatur, sie hängt von der Temperatur beim abschrecken des Stahls ab. Sobald eine kritische Temperatur erreicht ist, geschieht die Umwandlung mit annähernder Lichtgeschwindigkeit resp. Unmittelbar.

• Beim Abschrecken wird das System wird auf eine Temperatur unter dem kritischen Punkt abgekühlt.

• Die Martensitbildung ist zeitunabhängig.

Was steuert den Anteil des Martensits während der martensitischen Umwandlung? Wenn die Wärmebehandlung aus einer schnellen Abkühlung auf eine bestimmte Temperatur T besteht und diese Temperatur konstant gehalten wird, ändert sich dann die Menge des Martensits mit der Zeit? Bitte begründen Sie Ihre Antwort.

Der Anteil von Martensit wird von der Temperatur gesteuert.

• Je tiefer die Abschrecktemperatur, desto höher der Martensitanteil.

Bei konstanter Temp ändert sich der Martensit Anteil nicht, die martensitische Umwandlung ist Zeitunabhängig.

• Da die die Abkühlung schnell geschieht, bildet sich Martensit mit annähernd Lichtgeschwindigkeit.

• Dadurch kann keine Langstrecken-Diffusion von Kohlenstoff zu Eisen stattfinden.

• Deswegen kann die Martensitbildung als diffusionslos betrachtet werden.

• Weil sie Diffusionslos ist, ist sie zeitunabhängig.

Was ist die Hall-Petch-Beziehung (bitte schreiben Sie sie auf und kommentieren Sie ihre Bedeutung)? Warum verändert die Rekristallisation auf Grundlage dieser Bedeutung die mechanische Festigkeit metallischer Werkstoffe?

Die Hall-Petch-Beziehung besagt, dass die Streckgrenze umgekehrt abhängig von der Wurzle der Korngrösse ist:

• σ(y) = σ(0) + k(y) d^(-1/2)

  • σ(y) = Streckgrenze

  • σ(0) & k(y) = Werkstoffkonstanten

  • d = mittlerer Korndurchmesser

• Die Korngrösse beeinflusst die Festigkeit des Materials → kleine Körner sind härter und fester als grössere Körner

  • Feinere Körner haben eine grosse Korngrenzfläche → Versetzungsbewegungen werden erschwert → Erhöhung der Festigkeit

Die mechanische Festigkeit der metallischen Werkstoffe ist abhängig von der Korngrösse.

• klein/ fein: fester, jedoch weniger Plastisch verformbar

  • Plastizität ist abhängig von der Versetzungsbewegung, ist diese tief, gibt es mehr defekte

  • tiefere Duktilität

  • Höhere Zugfestigkeit

Bei einer Rekristallisation werden die Materialeingenschaften eines Material nachträglich so verändert, dass die Körner üblicherweise feiner und kleiner werden.

• Somit verbessert dich die oben genannten Eigenschaften des Materials.

Ordnen Sie bitte die folgenden metallischen Systeme ihrer abnehmender Festigkeit nach: Bainit, Sphäroidit, Martensit und angelassener Martensit. Bitte begründen Sie Ihre Reihenfolge mit dem Zusammenhang zwischen Mikrostruktur und mechanischen Eigenschaften.

(Abnehmende Festigkeit)

1) Martensit

• grösste Festigkeit in den möglichen Stahl Gefügearten

• Hat wenige Gleitebenen → TRZ Gitter (tetragonal raumzentriert)

2) Angelassener Martensit

• Das Anlassen ist ein Vorgang damit der Martensit besser zu verarbeiten ist

• Zementitpartirtikel werden vergrössert, dadurch werden Grenzflächen verringert

• weicher und weniger fest wie Martensit

3) Bainit

• feineres Gefüge als die oben genannten

• härter als Stähle mit Perlitstruktur

4) Sphäroidit (kugliger Zementit)

• kleine Grenzfläche pro Volumem

• Läst sich leicht plastische verformen

• Geringe Festigkeit

Was ist Zähigkeit (zeigen Sie, was Zähigkeit in einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm darstellt, und geben Sie an, welche Kombination zweier Werkstoffeigenschaften erforderlich ist, um eine hohe Zähigkeit zu erreichen)? Wie beeinflusst Rekristallisation bzw. Anlassen die Zähigkeit eines Metalls?

Was passiert mit der Mikrostruktur eines Metalls während der Kaltumformung? Warum und wie beeinflussen diese Veränderungen die mechanischen Eigenschaften?

Wie beeinflusst die Kristallinität die mechanischen Eigenschaften eines Polymers? Kann man ein Polymer einer Wärmebehandlung unterziehen, um den Grad der Kristallinität zu ändern? Wie sieht die Kinetik einer solchen Umwandlung aus? (Zeichnen Sie ein Diagramm, das den Anteil an kristallisierten Polymer gegen den Logarithmus der Zeit für 3 verschiedene Temperaturen zeigt)

Die Kristallität eines Polymeres ist die Packung von Polymerketten zu einem geordneten atomaren Bereich.

• Polymere sind häufig teilkristallin, weil die Polymereketten gross und komplex sind. Das führt zu Fehlordnung oder Fehlausrichtung, welche einen amorphen Bereich verursachen.

Kristalline Polymere sind:

• fest und wiederstandfähig gegen Lösungsmittel und erweichen durch hitze

• Grosse Anzahl an sekundären Bindungen (kristallinen Bereich)

• Zugfestigkeit und Festigkeit, steigt mit dem Kristallinitätsgrad

Der Kristallinitätsgrad hängt von der Abkühlrate während der Erstarrung und von der Konfiguration der Polymerkette ab.

• Der Grad wird verändert wenn das Polymer einer Wärmebehandlung unterzogen wird und dann die Abkühlungsrate verändert

Die Kinetik der Umwandlung wird langsamer wenn die konstante Temperatur höher ist.

• temp hoch → spätere und langsamere Kristallisation

Was ist der Unterschied zwischen einer isothermen Umwandlung und einer kontinuierlichen Abkühlung? Zeichnen Sie zwei schematische Diagramme für die isotherme und die kontinuierliche Abkühlung der Umwandlung zwischen Austenit und Perlit und erläutern Sie die Unterschiede zwischen den Diagrammen.

Isotherme Umwandlung:

• bei einer festen Temperatur

Kontinuierliche Abkühlung:

• beginnt und endet später als die isotherme Umwandlung (Verschiebung nach rechts, unten)

• einfacher praktisch durchzuführen

Zeichnen Sie bitte ein schematisches ZTU-Diagramm für die Umwandlung von Austenit zu Perlit, Bainit und Martensit. Zeichnen Sie eine Kurve, die die kritische Abkühlgeschwindigkeit darstellt, bei der sich nur noch Martensit bildet. Beschreiben Sie darauf aufbauend, welche Phasen sich bei unterschiedlichen Abkühlraten bilden (z.B. schnelles Abschrecken vs. langsames Abkühlen).

Es werden verschieden Phasen gebildet werden, diese sind abhängig von der Abkühlungsrate.

• schnelles Abschrecken → 100% Martensit, die Anfangskurve für die Bildung von Perlit oder Bainit wird nicht erreicht

• Langsames Abkühlen: 100% Perlit → wie in der Abbildung zu erkennen

Bei der kritischen Abkühlungsgeschwindigkeit kann gerade noch Martensit gebildet werdne (pink in der Abb.)

Beschreiben Sie bitte die drei verschiedenen Wege der Diffusion in einem kristallinen Festkörper. Zeichnen Sie ein Arrehnius-Diagramm, das die drei Fälle zeigt und erläutern Sie die Unterschiede in der Temperaturabhängigkeit des Diffusionskoeffizienten.

• Oberflächendiffusion: Diffusion an der Oberfläche. Da es an der Oberfläche viele Leerstelle gibt und der Konzentrationsunterschied der Atome im Festkörper und der Umgebung sehr gross ist, ist die Aktivierungsenergie sehr gering.
• Korngrenzendiffusion: Atome wandern über Korngrenzen in ein benachbartes Korn. Da Korngrenzen viele Gitterfehler haben, sind Bindungsenergien zwischen Gitteratomen geringer, deshalb ist die Aktivierungsenergie kleiner.
• Volumendiffusion: Diffusion direkt innerhalb des Kristalls. Wegen der starken Bindungskräfte zwischen den Atomen im Gitter und den wenigen Leerstellen ist die Aktivierungsenergie sehr hoch.
• Die Unterschiede der Temperaturabhängigkeit des Diffusionskoeffizienten kommen durch die unterschiedlichen Aktivierungsenergien Qd zustande.
• Da D0, Qd und R Konstanten sind, ist die Formel: log D = log D0 − (Qd /2.3R ) eine Geradengleichung ( y = b + mx), wobei −Qd die Steigung ist.
• Bei der Volumendiffusion haben kleine Temperaturänderungen grosse Auswirkungen auf den Diffusionskoeffizienten, da die Aktivierungsenergie Qd grösser ist als bei der Oberflächen- oder Korngrenzendiffusion. (QVolumen > QKorngrenze > QOberfläche)
• Die Unterschiede der Stärken liegen auch in unterschiedlichen D0.

Was ist der Zusammenhang zwischen Diffusionskoeffizient und Aktivierungsenergie? Wenn Sie Volumen- und Oberflächendiffusion vergleichen, in welchem Fall denken Sie, dass D0 kleiner ist? Kommentieren Sie die Unterschiede in den Aktivierungsenergien zwischen diesen beiden Fällen

• Diffusionskoeffizient D: D = D0 exp − (Qd /RT)

– D0: temperaturabhängiger präexponentieller Faktor ( m²/s )

– Qd: Aktivierungsenergie (J/mol oder eV/Atom)

– R: universelle Gaskonstante (8.314 J/(mol·K))

– T: Temperatur (K)

• Der Zusammenhang zwischen D und Qd ist durch die Arrheniusgleichung gegeben.

• Da die Aktivierungsenergie fur die Volumendiffusion (starke Bindungen, wenig Leerstellen) grösser ist als bei der Oberflächendiffusion (viel Leerstellen, Konzentrationsunterschiede), ist D0 bei der Oberflächendiffusion grösser.

• D0 ist abhängig vom Material und vom Atom, welches durchdiffundiert.

• D der Oberfl¨achendiffusion ist grösser.

• Es gilt: QVolumen > QOberfläche, DOberfläche > DVolumen.

• Die Aktivierungsenergie ist bei der Volumendiffusion grässer als bei der Oberflächendiffusion (stärkere Bindung), deshalb ist D0 der Oberflächendiffusion grösser.

• Bei der Volumendiffusion gibt es starke Bindungskräfte zwischen den Atomen und wenig Leerstellen, bei der Oberflächendiffusion gibt es viele Leerstellen.

• D0 ist kleiner fur die Oberflächendiffusion, da Atome an der Oberfläche weniger thermisch angeregt werden als im Volumen.

• Oberflächendiffusion dominiert bei niedrigen Temperaturen, da die Aktivierungsenergie geringer ist und D0 eine untergeordnete Rolle spielt. Volumendiffusion wird bei hohen Temperaturen relevanter.

Wie können Sie im Fall der Flussigmetallverspröodung einen Test entwerfen, um zu uberprüufen, ob sie durch Diffusion dominiert wird? Wo erwarten Sie, dass die Diffusion hauptsächlich stattfindet?

• Flussigmetallverspr ödung findet hauptsächlich an den Korngrenzen statt

• Test: Einen Tropfen flüssiges Gallium auf die Oberfläche einer Folie bringen. Wenn man eine Zeit wartet, sieht man, wie der Radius des spröden Metalls zunimmt.

– Radius in Abhängigkeit der Zeit plotten

→ Typisch fur die Diffusion ist, dass sie temperaturabhängig ist und die Diffusionsgeschwindigkeit mit der Wurzel der Zeit abnimmt.

– Zudem muss bei der Diffusion gelten: je höher die Temperatur, desto schneller die Diffusion, also die Versprödung.

– Unter dem Mikroskop betrachtet, muss die Diffusion hauptsächlich an der Oberfläche und Korngrenze stattfinden

• Wenn diese drei Punkte (Radius nimmt mit √ t zu, wenn heiss dann schneller, Diffusion an Korngrenze) erfüllt sind, ist dies ein Indiz dafur, dass es sich um einen diffusionsdominierten Prozess handelt.

Wo erwarten Sie beim Anlassen, dass die Diffusion schneller stattfindet? Welche Auswirkung hat das auf die Mikrostrukturen? Beschreiben Sie bitte ein Beispiel fur die Gefügeentwicklung beim Anlassen, z.B. bei Martensit oder bei einem Dualphasenstahl, und geben Sie an, was während der Wärmebehandlung passiert.

• Die Diffusion ist an den Korngrenzen am schnellsten

• Martensitischer Stahl: durch Anlassen wird die Martensitstruktur (tetragonal raumzentriert) in ein Anlassgefuge aus Ferrit und Zementitphasen (angelassener Stahl) umgewandelt

• Durch Diffusionsvorgänge wird angelassener Stahl an den Korngrenzen gebildet und die Phasen werden akkumuliert → Korngrösse nimmt zu

• Beim Abschrecken kommt es zu Versetzungen und Verzerrungen der Elementarzelle durch Einlagerung von zusätzlichen Kohlenstoffatomen

• Durch Anlassen können diese Spannungen abgebaut werden → Material wird zäher und duktiler, aufgrund der Akkumulierung der sehr feinen Zementitpartikel mit grosser Grenzfläche (verhindern Versetzungen bei einer plastischen Verformung) → Grenzfläche verringert → je grösser die Zementitpartikel, desto weicher und zäher und duktiler der Werkstoff

• Anlasstemperatur liegt unterhalb des Schmelzpunktes, unterhalb der Eutektoiden (so hoch, dass Diffusion ermöglicht)

Erklären Sie, was Sintern ist und warum es sich um einen diffusionsgetriebenen Prozess handelt

• Sintern: Prozess bei dem keramische Partikel aufgrund der Oberflächendiffusion zusammenwachsen

• Treibende Kraft: Reduktion der Energie (Oberflächenenergie grösser als Korngrenzenergie)

• Pulver wird unter Druck erhitzt und die Körner verbinden sich miteinander zu einer dichteren Masse

• Wenn zwei Körner in Kontakt kommen, bilden sich Sinterhälse durch Oberflächendiffusion und die Körner verbinden sich → weniger Oberflächenenergie → treibende Kraft des Sinterns

• Die Zwischenräume werden zu Poren und die Poren werden immer kleiner → Erhöhung der Festigkeit und ein Volumenverlust nach dem Sintern, Abbau der Porosität und damit Erhöhung der Dichte

• Sintertemperatur genug hoch um ausreichende atomare Beweglichkeit durch Diffusion zu ermöglichen, liegt aber unterhalb vom Schmelzpunkt

• Durch das Sintern können Poren entfernt werden

Beschreiben Sie mindestens zwei verschiedene Prozesse, bei denen gesintert wird, und erkl¨aren Sie die Bedeutung der Diffusion bei diesen Prozessen

• Pulvermetallurgie: Beim Sintern wird das Pulver unter Druck erhitzt, Die Körner kommen sich immer näher und verbinden sich dann durch Oberflächendiffusion miteinander. Dies wird zum Beispiel bei der Herstellung von Autobremsscheiben gemacht. Das Pulver wird in eine Form gepresst und anschliessend durch Sintern verfestigt.

• Porenentfernung: Keramik kann durch die Porenentfernung dank der Korngrenzendiffusion beim Sintern durchsichtig gemacht werden. Aufgrund der Poren wird das Licht gestreut und die Keramik ist nicht durchsichtig. Durchsichtige Keramik wird oft für Strassenbeleuchtung verwendend.

Kommentieren Sie die Rolle der Substrattemperatur in einem epitaktischen Wachstumsprozess. Begunstigt eine höhere Temperatur die Bildung von mehr oder weniger gleichmässigen Schichten? Bitte begründen Sie Ihre Antwort quantitativ.

• Epitaxie wird durch die Oberflächendiffusion begunstigt → schöne kristalline Dunnfilme können aufeinander aufgebaut werden

•Der Wachstumsprozess hängt von 2 Faktoren ab:

– Je höher die Substrattemperatur, desto mehr Oberflächendiffusion (auch schneller) gibt es, die Rate der Diffusion wird erhöht.

– Je höher die Temperatur, desto höher die Re-Verdunstungsrate.

• Es gilt also: eine höhere Substrattemperatur ermöglicht Diffusionsprozesse und somit die Umordnung der Atome. Dies begunstigt die Bildung von gleichmässigen Schichten.

• Wenn die Temperatur jedoch zu hoch ist, ist die Re-Verdunstungsrate zu hoch, was wiederum zu unregelmässigen Schichten führen kann. Eine höhere Temperatur begünstigt die Bildung von gleichmässigen Schichten, da dann die Diffusionsrate erhöht wird und so die Atome schneller diffundieren können.

Bitte definieren Sie die P´eclet-Zahl für den Fall eines sedimentierenden Partikels und zeichnen Sie die erwarteten Trajektorien fur ein Partikel mit Pe = 100, 1 und 0.001. Kommentieren Sie die Unterschiede basierend auf einem Vergleich der verschiedenen Zeitskalen.

• Die PÖclet-Zahl gibt an, ob die Diffusion bei Sedimentation dominiert oder umgekehrt

• Die Sedimentationszeitskala wird mit der Diffusionszeitskala verglichen. Ist die Diffusionszeitskala kürzer, so dominiert die Diffusion den Prozess.

• PÖclet-Zahl: P e = τ0/τs = Rvs/D

– τ0: Diffusion

– τs: Sedimentation

– R: Radius

• Wenn Pe grösser ist als 1 dominiert Sedimentation, wenn Pe kleiner als 1 dominiert die Diffusion

– Pe=100: Sedimentation dominiert

– Pe=1: Diffusion und Sedimentation gleichermassen: sinkt sehr langsam mit Schwankungen

– Pe=0.001: Diffusion dominiert, das Teilchen diffundiert, ohne herunter zu fallen.

Bitte beschreiben und definieren Sie sowohl den translatorischen als auch den rotatorischen Diffusionskoeffizienten einer Kugel in einer Flussigkeit. ¨ Beschreiben Sie den molekularen Ursprung dieser Diffusivit¨aten und kommentieren Sie die Abh¨angigkeit von der Viskosit¨at des Mediums. Ist es fur ¨ einen Mikroroboter einfacher, sich gerade zu bewegen, wenn die Viskosit¨at hoch oder niedrig ist? Begrunden Sie Ihre Antwort auf der Grundlage der ¨ Definition der P´eclet-Zahl fur ein solches System.

• Translationaler Diffusionskoeffizient: DT = kBT / 6πηR ⇒ τD = R´2 / D

Ein Teilchen kann sich auf alle Seiten bewegen und legt dadurch eine Strecke zurück.

zufällige Zusammenstösse mit anderen Flussigkeitsmolekülen, führt zu Brownschen Bewegungen

• Rotatorischer Diffusionskoeffizient: DR = kBT / 8πηR3 ⇒ τR = ∆ /DR

Ein Teilchen kann sich drehen, wodurch die Orientierung verändert wird.

Zusammenstösse mit Flussigkeitsmolekülen führen zu einer Torsion, Teilchen richten sich im Laufe der Zeit zufällig neu aus

• bei hoher Viskosität ist der Diffusionskoeffizient niedrig, das fuhrt zu langsamer Diffusion und Rotation

• bei tiefer Viskosität ist der Diffusionskoeffizient höher, was zu einer schnelleren Diffusion führt

• P e = vp / √(D·DR) (vp: Geschwindigkeit des Roboters)

• ist die Viskosität hoch (somit D und DR tief) ist Pe gross und der Roboter bewegt sich gerade aus

• ist die Viskosität tief (somit D und DR hoch) ist Pe klein und der Roboter ändert während der Bewegung seine Richtung

Was ist der kritische Wert der Péclet-Zahl, bei dem die Sedimentation die Diffusion überwiegt? Erklären Sie Ihre Antwort anhand eines Vergleichs der Zeitskalen.

i like big butts and i cannot lie yall other brothers cant deny when a girl walks in with an itty bitty waist and a round thing in your face you get sprung.(Dr Ace wöuä öppis drzuä sägä…)

• Zeitmassstäbe:

– τD = R´2/ D : Diffusionszeit

– τS = R/vS : Sedimentationszeit

• Peclet-Zahl: Pe = τD / τS

• Fur die Peclet-Zahl gelten folgende Fälle:

– Pe ≫ 1: τD ≫ τS ⇒ Sedimentation dominiert

– Pe ≪ 1: τD ≪ τS ⇒ Diffusion dominiert

– Pe ≈ 1: τD ≈ τS ⇒ Beide Mechanismen sind gleichermassen wichtig

• Kritischer Wert, bei dem Sedimentation die Diffusion uberwiegt, ist: Pekrit ≈ 1

• Mit wachsender Pe dominiert Sedimentation zunehmend