SECOND DEGRÉ

Trouver la formule des racines d'une équation du second degré

Quand je vois un polynôme de facteur commun (ex : 6x² + 3x)

Je repère le facteur commun et factorise.

Si le trinôme est de la forme x² + bx + c

Utiliser l’identité

Si le trinôme est de la forme ax² + bx + c

Décomposer le terme en x

Si je remarque que la constante est un potentiel carré

Je vérifie si on peut utiliser l’identité remarquable

Si je vois une différence de deux carrés

J’utilise l’identité

Passer une équation du second degré sous forme canonique

Trouver une solution à partir de la forme canonique

Formule des racines d'une équation du second degré

Cela nous donne les solutions de l’équation

Trouver le discriminant

Que faire avec le résultat du discriminant

Savoir si une parabole est positive ou négative

Savoir si on cherche le minimum ou le maximum

Quand a < 0 => On cherche le maximum car f(x) infini vers le négatif
Quand a > 0 => On cherche le minimum car f(x) infini vers le positif

Trouver le sommet d’une parabole

Dans la forme canonique : a(x - b) + c.
- “a” nous dit si le sommet est le max ou le min.
- “b” c’est notre écart par rapport à l’axe des ordonnées donc x.
- “c” c’est la hauteur de notre sommet donc f(x).

Trouver l’abscisse et l’ordonnée du sommet

Pour déterminer l’abscisse et l’ordonnée à partir d’un trinôme il est nécessaire de connaître cette formule.
Le symbole alpha représente x et beta f(x), on a juste à remplacer les termes par les vraies valeurs.
Ex : 2𝑥 − 12𝑥 + 1 => b = -12 et a = 2, on les utilise dans la formule et on obtient les points de coordonnées ( x ; f(x) )

Qu’est-ce que la racine d’une fonction trinôme

La racine d'une fonction trinôme est un réel x tel que f(x) = 0.

Trouver la 2e racine

On utilise la formule de la Somme S et Produit P des racines d’un trinôme.
Si nous avons 2 racines, S c’est x_1 + x_2 donc il nous reste à soustraire une racine pour trouver l’autre.
P c’est x_1 * x_2 donc il nous reste à diviser le résultat par une des racines pour trouver l’autre.

Déterminer une expression factorisée d’une fonction du 2nd degré avec deux racines

On remplace x_1 et x_2 par les termes de l’énoncé si le discriminant > 0 sinon on utilise l’autre formule.

Trouver “a” qui est l’inclinaison de la courbe avec 2 points quand f(x) = 0 et un point de la courbe

On réutilise ces formules apprises au préalable puis on remplace les termes x_1, x_2 et x par les nombres donnés dans l’énoncé. On résous ensuite l’équation et nous avons “a”.

Factoriser un trinôme étape par étape

On cherche le discriminant => ensuite on a 0, 1 ou 2 racines.
On applique la formule de résolution de trinôme pour trouver la valeur des racines.
Avec les racines on applique la formule de factorisation d’un trinôme.

Déterminer le signe d’un trinôme

Cela dépend du discriminant.
Si celui-ci est inférieur à 0 → pas de racine → la fonction ne s’annule pas.
S’il est égal à 0 on a une racine donc il s’annule sur la racine x_0
S’il est supérieur à zéro il s’annule sur les deux racines.

Que signifie “s’annule”

Quand sur la fonction c’est égal à zéro.

Résoudre équation du 2nd degré

• On rassemble tous les termes d’un côté

• On cherche le discriminant, on calcule les racines avec la formule quadratique (celle avec les b² et les racines)

• Si “a” est positif, alors c’est négatif entre les deux racines et inversement.

• En solution on a donc S = ]x_1 ; x_2[

Étudier la position relative de deux courbes (savoir quand est-ce qu’une courbe est au dessus de l’autre)

On étudie le signe de la différence f(x) - g(x) (En effet si f(x) est inférieur alors le résultat sera négatif)
On rassemble les termes, on calcule le discriminant, on trouve les racines, il ne reste plus qu’à dresser le tableau des signes et si l’un des signes du trinôme est inférieur alors g(x) est supérieur à f(x).