Chapitre 4 : Intervalle de confiance

Qu’est-ce qu’un intervalle de confiance de niveau 1 − α ?

Un intervalle de confiance de niveau 1 − α est un intervalle C_m = [a_m, b_m] où a_m = a(X₁, …, X_m) et b_m = b(X₁, …, X_m) tels que ℙ_θ(θ ∈ C_m) ≥ 1 − α, ∀θ

Quelle est la remarque sur les intervalles de confiance ?

C_m est un intervalle aléatoire (car dépend de l’échantillon) tandis que θ est inconnu mais déterministe

Si α = 0,05 alors C_m contient la vraie valeur de θ avec une probabilité 95 % (sur les échantillons)

Quelle est l’hypothèse de base pour un intervalle de confiance gaussien ?

On suppose que √m (θ̂_m − θ) ⇒ 𝒩(0, U(θ)) avec U(.) continue

Quelle convergence en déduit-on pour θ̂_m et U(θ̂_m) ?

θ̂_m → θ et U(θ̂_m) → U(θ)

Quelle normalisation permet d’obtenir une loi normale centrée réduite ?

√m (θ̂_m − θ) / √(U(θ̂_m)) ⇒ 𝒩(0,1)

Quelle propriété de la loi normale utilise-t-on ?

Si Z ∼ 𝒩(0,1) alors ℙ(|Z| ≤ t_α) = 1 − α avec t_α = Φ^{-1}(1 − α/2)

Quel est l’intervalle de confiance gaussien asymptotique ?

C_m = [ θ̂m − tα √(U(θ̂m)/m) , θ̂_m + tα √(U(θ̂_m)/m) ]

Quelles sont les remarques sur l’intervalle de confiance gaussien ?

La marge d’erreur Φ^{-1}(1 − α/2) √(U(θ̂_m)/m) décroît à la vitesse 1/√m

Il faut 100 fois plus d’observations pour obtenir un intervalle 10 fois plus précis

La marge d’erreur tend vers +∞ lorsque α → 0

Φ^{-1}(1 − α/2) n’a pas de forme analytique simple mais est bien approchée numériquement

Quelle est l’inégalité de Hoeffding ?

Soient (X₁,…,X_m) i.i.d. avec X_i ∈ [a,b] p.s., et X̄m = (1/m) ∑{i=1}^m X_i

Alors ∀ t > 0 :
ℙ(|X̄_m − 𝔼[X₁]| ≥ t) ≤ 2 exp(− 2 m t² / (b − a)²)

Si F est une fonction de répartition inversible d’une loi P, qu’appelle-t-on le quantile d’ordre q ∈ ]0,1[ ?

On appelle quantile d’ordre q ∈ ]0,1[ la quantité F⁻¹(q)

Si X₁,...,Xₙ i.i.d U(0,1) et si Wₙ = X₁² + ... + Xₙ², comment appelle-t-on la loi de Wₙ ?

On appelle loi du khi-deux à n degrés de liberté la loi de Wₙ
On note Wₙ ~ χ²(n)

Si X₀ ~ N(0,1) et X₀ est indépendante de Wₙ, comment appelle-t-on la loi de Tₙ = X₀ / √(Wₙ/n) ?

On appelle loi Student à n degrés de liberté la loi de Tₙ = X₀ / √(Wₙ/n)
On note Tₙ ~ Student(n)

Quelle propriété existe-t-il concernant les fonctions quantiles de Wₙ et Tₙ ?

Il existe de très bonnes approximations numériques des fonctions quantiles de Wₙ et Tₙ. On peut supposer que F_{Wₙ}^{-1}(q) et F_{Tₙ}^{-1}(q) sont calculables

Quel est le support de la loi du khi-deux ?

La loi du khi-deux a pour support ℝ₊

Si F est une fonction de répartition inversible d’une loi P, qu’appelle-t-on le quantile d’ordre q ∈ ]0,1[ ?

On appelle quantile d’ordre q ∈ ]0,1[ la quantité F⁻¹(q)

Quelle est la propriété de symétrie de la loi de Student et quelle convergence en découle ?

La loi de Student est symétrique autour de 0, de plus : Wₙ/n →ₚ E[X₁²] = 1 et X₀ →𝓛 X₀ donc par Slutsky Tₙ →𝓛 X₀ / √1 ~ 𝓝(0,1)

Dans le modèle gaussien, quelles sont les hypothèses et résultats du théorème de Fisher (cochran) ?

Si X₁,...,Xₙ i.i.d ~ 𝓝(μ,σ²) avec μ ∈ ℝ et σ² > 0 inconnus, si X̄ₙ = (1/n)∑_{i=1}^n Xᵢ et Vₙ' = (1/(n−1))∑_{i=1}^n (Xᵢ − X̄ₙ)² alors X̄ₙ et Vₙ' sont indépendantes

De plus X̄ₙ ~ 𝓝(μ, σ²/n) et ((n−1)Vₙ')/σ² ~ χ²(n−1)

Donc √n (X̄ₙ − μ)/σ ~ 𝓝(0,1)

Par conséquent (√n (X̄ₙ − μ))/√Vₙ' ~ Student(n−1)

Quel est l’intervalle de confiance non asymptotique pour μ et σ² dans le modèle gaussien ?

Pour t_α > 0 avec α ∈ ]0,1[, on a ℙ(−t_α ≤ (√n (X̄ₙ − μ))/√Vₙ' ≤ t_α) = 1 − α avec t_α = F^{-1}_{Student(n−1)}(1 − α/2)

Donc ℙ(μ ∈ Cₙ) = 1 − α avec Cₙ = [X̄ₙ ± F^{-1}_{Student(n−1)}(1 − α/2) √(Vₙ'/n)]

De plus pour t_{α/2} = F^{-1}_{χ²(n−1)}(α/2) et t_{1−α/2} = F^{-1}_{χ²(n−1)}(1 − α/2), on a ℙ(t_{α/2} ≤ ((n−1)Vₙ')/σ² ≤ t_{1−α/2}) = 1 − α

Donc ℙ(σ² ∈ Cₙ') = 1 − α avec Cₙ' = [((n−1)Vₙ') / F^{-1}_{χ²(n−1)}(1 − α/2)

((n−1)Vₙ') / F^{-1}_{χ²(n−1)}(α/2)]