Signale und Systeme

Was besagt das Abtasttheorem (nachShannon)?

Das Abtasttheorem, formuliert von Claude Shannon, besagt, dass ein kontinuierliches Signal vollständig und ohne Informationsverlust rekonstruiert werden kann, wenn es mit mindestens der doppelten Frequenz seiner höchsten Frequenzkomponente abgetastet wird.

Was ist der Aliasing-Effekt?

Der Aliasing-Effekt tritt auf, wenn ein Signal mit einer Frequenz abgetastet wird, die nicht hoch genug ist, um alle enthaltenen Frequenzen korrekt zu erfassen. Dies führt zu Verzerrungen und falschen Darstellungen des ursprünglichen Signals.

Was versteht man unter Kausalität?

Kausalität bezeichnet in der Signalverarbeitung die Eigenschaft eines Systems, bei dem die Ausgabe zu jedem Zeitpunkt nur von den aktuellen und vergangenen Eingaben abhängt, jedoch nicht von zukünftigen Eingaben.

Was versteht man unter dem Leck-Effekt?

Der Leck-Effekt bezieht sich in der Signalverarbeitung auf die unerwünschte Übertragung von Signalen oder Frequenzen in anderen Frequenzbändern, wodurch das ursprüngliche Signal verzerrt oder verfälscht wird. Dies kann zu Störungen und Verlust von Informationen im Signal führen.

Welche Aussage ist korrekt?

Die Faltung im Zeitbereich entspricht der Multiplikation im Frequenzbereich.

✅ Die Multiplikation im Zeitbereich entspricht der Faltung im Frequenzbereich.

✅ Leistungssignale haben unendliche Energie.

❌ Leistungssignale haben unendliche Leistung.
→ falsch, sie haben endliche mittlere Leistung.

✅ Die Aufnahmedauer bestimmt die Frequenzauflösung der FFT.

✅ Zero-Padding erhöht die Auflösung des diskreten Spektrums.
→ aber nur feinere Darstellung, keine echte neue Information.

Welche Aussagen bezüglich digitaler Filter sind korrekt?

❌ IIR-Filter sind immer stabil.
→ falsch, können instabil werden.

❌ Nullstellen heben den Frequenzgang.
→ falsch, Nullstellen senken den Frequenzgang.

✅ Pole heben den Frequenzgang.

✅ IIR-Filter sind rekursiv.

❌ FIR-Filter sind rekursiv.
→ falsch, normalerweise nicht rekursiv.

Wie nennt man den Effekt, der durch Missachtung des Abtasttheorems entsteht?

Der Effekt heißt Aliasing-Effekt.

Er entsteht, wenn:

fa < 2 * fmax

Also: zu langsam abgetastet.

Was versteht man unter Zeitinvarianz?

Ein System verhält sich immer gleich, egal wann das Eingangssignal kommt.

Wenn gilt: u(t) → y(t)

dann muss auch gelten u(t-t0) → y(t-t0)

Merksatz:
Eingang verzögert → Ausgang genauso verzögert. Kein anderes Verhalten.

Was versteht man unter Zero-Padding?

Man hängt an ein zeitdiskretes Signal Nullen an, bevor man die FFT berechnet.

Also: Das Spektrum wird feiner dargestellt.

Wichtig: Es entstehen keine neuen Informationen, nur mehr Zwischenpunkte im Spektrum.

Welche Aussagen sind korrekt?

✅ Die bilineare Transformation bildet die imaginäre Achse der s-Ebene auf den Einheitskreis in der z-Ebene ab.

✅ Die Faltung im Zeitbereich entspricht der Multiplikation im Frequenzbereich.

✅ Leistungssignale haben unendliche Energie.

❌ Leistungssignale haben unendliche Leistung.
→ sie haben endliche mittlere Leistung.

✅ Die Aufnahmedauer bestimmt die Frequenzauflösung der FFT.

❌ Bei einem grenzstabilen System liegt mindestens ein Pol auf der reellen Achse.
→ falsch, bei kontinuierlichen Systemen liegt ein Pol auf der imaginären Achse.

Welche Aussagen bezüglich digitaler Filter sind korrekt

✅ FIR-Filter sind immer stabil.

❌ IIR-Filter sind immer stabil.
→ falsch, IIR können instabil sein.

❌ Nullstellen heben den Frequenzgang.
→ falsch, Nullstellen senken ihn.

✅ Pole heben den Frequenzgang.

✅ IIR-Filter sind rekursiv.

❌ FIR-Filter sind rekursiv.
→ falsch, FIR sind normalerweise nicht rekursiv.

Erklären Sie, anhand des Frequenzspektrums, warum es beider Missachtung des Abtasttheorems zu Problemen kommt.

Beim Abtasten wird das Frequenzspektrum periodisch wiederholt mit Abstand der Abtastfrequenz fAf_AfA​.

Wenn gilt:

fa <2*fmax

dann liegen diese Wiederholungen zu nah beieinander und überlappen sich.

Folge:

Spektren überlappen→ Alaising

Hohe Frequenzen erscheinen dann als falsche niedrigere Frequenzen. Deshalb kann das ursprüngliche Signal

Welche Eigenschaft ordnet man Systemen zu, die zu jeder Zeit, beigleicher Ein gangsbeschaltung, das gleiche Ausgangsverhalten aufweisen? Woran kann man diese Eigenschaft in der mathematischen Beschreibung des Systems erkennen?

Es heißt Zeitinvarianz

Ein System verhält sich immer gleich, egal wann das Eingangssignal kommt.

Wenn gilt: u(t) → y(t)

dann muss auch gelten u(t-t0) → y(t-t0)

Wie nennt man das Verfahren bei dem man ein zeitdiskretes Signal im Zeitbereich mit Nullen verlängert und anschließend eine FFT durchführt? Wozu dient das Verfahren?

Das Verfahren heißt Zero-Padding.

Man hängt an ein zeitdiskretes Signal Nullen an, bevor man die FFT berechnet.

Also: Das Spektrum wird feiner dargestellt.

Wichtig: Es entstehen keine neuen Informationen, nur mehr Zwischenpunkte im Spektrum.

Welche Aussagen sind korrekt?

✅ Die bilineare Transformation bildet die imaginäre Achse der s-Ebene auf den Einheitskreis in der z-Ebene ab.

✅ Die Faltung im Zeitbereich entspricht der Multiplikation im Frequenzbereich.

❌ Systeme 2. Ordnung sind immer schwingungsfähig
→ falsch, nur bei komplex konjugierten Polen.

✅ Systeme 1. Ordnung sind nicht schwingungsfähig.

❌ Systeme 1. Ordnung besitzen keine Rückführung.
→ falsch.

⚠ Bei instabilen Systemen liegt mindestens ein Pol rechts der reellen Achse.
→ so formuliert falsch. Richtig wäre: rechts der imaginären Achse bzw. in der rechten Halbebene.

Welche Aussagen bezüglich digitaler Filter und ihrer Übertragungsfunktionen sind korrekt?

✅ Die Nullstellen eines FIR-Filters bestimmen den Frequenzgang.

❌ FIR-Filter haben nur feste Pole außerhalb des Einheitskreises.
→ falsch, Pole liegen höchstens im Ursprung.

❌ Die Polstellen eines FIR-Filters senken den Frequenzgang.
→ falsch.

✅ IIR-Filter haben eine unendliche Impulsantwort.

❌ IIR-Filter sind nicht in Mikrocontrollern realisierbar.
→ falsch, sie sind realisierbar.

❌ IIR-Filter dürfen keine Nullstellen im Einheitskreis haben.
→ falsch.

WofürstehtLTIundwelcheEigenschaftenbesitzenLTI-Systeme?

LTI steht für: Linear Time Invariant

Also auf Deutsch:

linear und zeitinvariant

Eigenschaften:

✅ Linear: Superpositionsprinzip gilt

u1+u2⇒y1+y2

✅ Zeitinvariant: Zeitverschiebung am Eingang führt zur gleichen Zeitverschiebung am Ausgang

u(t−t0)⇒y(t−t0)

Merksatz: LTI = linear + zeitlich unveränderlich.

Erkläre nSie was ein Anti-Aliasing-Filter ist und warum man ihn braucht

Ein Anti-Aliasing-Filter ist ein analoger Tiefpass vor dem Abtaster/ADC.

Er lässt nur Frequenzen durch, die kleiner als die halbe Abtastfrequenz sind:

f<fA / 2

Er entfernt zu hohe Frequenzen, damit sie beim Abtasten kein Aliasing erzeugen.

Merksatz:
Anti-Aliasing-Filter = Tiefpass vor ADC gegen Aliasing.

Erklären Sie die wesentliche nunterscheide zwischen FIR-und IIR-Filtern

FIR-Filter:

• endliche Impulsantwort

• meist nicht rekursiv

• immer stabil

• brauchen oft höhere Ordnung

• haben nur Nullstellen zum Absenken des Frequenzgangs

IIR-Filter:

• unendliche Impulsantwort

• rekursiv mit Rückführung

• können instabil werden

• brauchen oft kleinere Ordnung

• haben Pole und Nullstellen

Merksatz:
FIR = stabil, endlich
IIR = rekursiv, unendlich

Welche Aussagen sind korrekt?

✅ Die Bilineare Transformation bildet die imaginäre Achse der s-Ebene auf den Einheitskreis in der z-Ebene ab.

❌ Die Faltung im Frequenzbereich entspricht der Division im Zeitbereich.
→ falsch, entspricht Multiplikation im Zeitbereich.

⚠ Systeme 2. Ordnung sind schwingungsfähig
→ in der Klausur vermutlich korrekt, aber genauer: nur bei komplexen Polen.

❌ Energiesignale sind zeitbegrenzt.
→ nicht zwingend.

❌ Diskrete Systeme 1. Ordnung sind nicht rekursiv.
→ falsch, sie können rekursiv sein.

✅ Nullstellen spielen bei der Stabilitätsbeurteilung keine Rolle.
→ Stabilität hängt von den Polen ab.

Welche Aussagen bezüglich digitaler Filter und Ihrer Übertragungsfunktionen sind korrekt?

❌ Systeme mit Rückführung haben eine endliche Impulsantwort.
→ falsch, Rückführung meist IIR → unendlich.

✅ Die Pole eines IIR-Filters heben den Frequenzgang.

✅ FIR-Filter haben in der z-Ebene keine Pole außerhalb des Koordinatenursprungs.

❌ IIR-Filter sind nicht in Mikrocontrollern realisierbar.
→ falsch, sind realisierbar.

✅ Digitale Filter können aus analogen Filterschaltungen abgeleitet werden.

⚠ IIR-Filter haben in der z-Ebene nur Pole im Einheitskreis.
→ nur stabile IIR-Filter. Allgemein falsch.