9. FISHERJEV MODEL TRGA IN LOKALNA OPTIMIZACIJA

Fisherjev model trga

m kupcev in n dobrin:

a_i > 0 kapital i-tega kupca, bj > 0 količina dobrine j, u_ij zadovoljstvo i-tega kupca z j-to dobrino

Želimo maximizirati zadovoljstvo vseh kupcev. Vsak kupec si želi vsaj ene dobrine in vsake dobrine si želita vsaj dva. Iščemo ceno dobrine p_j in količino dobrine j, ki jo kupi i = x_ij , da velja:

1) Xp = a : vsak kupec porabi ves svoj kapital

2) X^T1 = b : vsaka dobrina se proda do konca

3) u_i je maximalno (vsota vseh zadovoljstev kupca i)

Kdaj so cene p ravnovesne?

Ko so izpolnjeni vsi pogoji:

1) Xp = a : vsak kupec porabi ves svoj kapital

2) X^T1 = b : vsaka dobrina se proda do konca

3) u_i je maximalno (vsota vseh zadovoljstev kupca i)

Kakšnega predznaka so cene, če so ravnovesne?

Če ravnovesne cene p obstajajo, potem so pozitivne in b^Tp = 1 ^Ta (tj., vse dobrine se prodajo za ves kapital na voljo).

Dokaz. Denimo, da za nek j velja pj=0. Ker obstajata taka različna i1,i2, da velja ui1j,ui2j>0, sta kupca i1 in i2 najbolj zadovoljna, če dobita vso dobrino j, protislovje. Nadalje velja b⊤p=1⊤Xp=1⊤a.

optimalni sveženj i-tega kupca

Zadovoljstvo i-tega kupca z j-to dobrino na denarno enoto je z_ij:=u_ijp_j (1≤ i ≤m, 1≤ j ≤n). Naj bo z_i=max{z_ij∣1 ≤ j ≤ n}. Optimalni sveženj i-tega kupca je množica Si:={j∈{1,2,…,n}∣ z_ij=z_i}.

Kdaj so cene p ravnovesne (kriterij z optimalnim svežnjom)

Naj bosta p > 0 in X ≥ 0 takšna, da velja Xp = a in X^T1=b. Če vsak kupec kupuje samo iz svojega optimalnega svežnja.

pomeni: ∀i,j: (x_ij > 0 ⇒ j ∈ Si), potem so cene p ravnovesne.

Eisenberg-Galeov konveksni program (funkcija)

Iščemo max funkcije:

Zapiši Eisenberg-Galeovo funkcijo, ko jo logaritmiramo

Je tudi konveksna funkcija.

Eisenberg-Galeov konveksni program (EGP).

Vse vezi so afine, ciljna funkcija je konveksna, om je konveksna, ker so ui linearne → KKT pogoji so zadostni in potrebni

Ali je Eisenberg-Galeov konveksni program dopusten in optimalen?

E-G konveksni program je dopusten in optimalen.

rešitev EGP

relacija sosednosti

Naj bo X množica. Relacija S ⊆ X×X je relacija sosednosti, če je refleksivna (∀x∈X: xSx) in simetrična (∀x,y ∈ S: (xSy ⇒ ySx)).

soseščina

za element x € X je množica S[x] = {y € X; ySX }

S - lokalni min/max

Element x∈X je S-lokalni minimum /max funkcije f: X→R, če velja ∀y ∈ S[x]: f(y) ≥ f(x)(∀y∈S[x]: f(y)≤f(x)).

metoda iskanja globalnih min

Izberemo poljuben x₀ € X, i = 0, preverimo ali je x_i S - lokalni min, če je, smo ga našli. Sicer postopek ponavljamo za i = i + 1, dokler ne velja x_i+1 € S[xi] in f(xi+1) < f(xi)

Kdaj je relacija S natančna?

Relacija S je natančna za f, če je S - lokalni min tudi globalni.