Chapitre 10 : Fonctions dérivées - Applications de la dérivation

Flashcards de vocabulaire et propriétés mathématiques sur les fonctions dérivées et leurs applications basées sur le cours du Chapitre 10.

Taux de variation

Pour une fonction $f$ entre $a$ et $a+h$, il s'agit du nombre $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.

Nombre dérivé en $a$

La limite du taux de variation lorsque $h$ tend vers $0$, notée $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$. Il représente le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.

Équation de la tangente

L'équation de la droite tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $a$ est donnée par $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

Fonction dérivée

Fonction, notée $f'$, qui associe à tout réel $x$ d'un intervalle $I$ le nombre dérivé de $f$ en $x$.

Dérivée de la fonction carrée ($x^2$)

La fonction dérivée est définie sur $\mathbb{R}$ par $f'(x) = 2x$.

Dérivée de la fonction inverse ($\frac{1}{x}$)

La fonction dérivée est définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

Dérivée de la fonction $x^n$

Pour tout entier naturel $n$, la fonction dérivée est $f'(x) = n x^{n-1}$.

Dérivée de la fonction racine carrée ($\sqrt{x}$)

La fonction dérivée est définie sur $]0; +\infty[$ par $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Dérivée d'une somme ($u + v$)

La dérivée de la somme de deux fonctions dérivables est la somme de leurs dérivées : $(u+v)' = u' + v'$.

Dérivée d'un produit ($u \times v$)

La dérivée du produit de deux fonctions dérivables est donnée par la formule $(u \times v)' = u' \times v + u \times v'$.

Dérivée de $k \times u$

Si $k$ est un nombre réel, la dérivée est $(k \times u)' = k \times u'$.

Dérivée de l'inverse d'une fonction ($\frac{1}{u}$)

Si $u$ est une fonction non nulle et dérivable, la dérivée est $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$.

Dérivée d'un quotient ($\frac{u}{v}$)

Pour deux fonctions dérivables avec $v$ non nulle, la dérivée est $(\frac{u}{v})' = \frac{u' v - u v'}{v^2}$.

Dérivée de $g(ax+b)$

La dérivée de cette composée de fonctions est donnée par la formule $f'(x) = a \times g'(ax + b)$.

Lien entre signe de $f'$ et variations

Sur un intervalle $I$, $f$ est croissante si $f'(x) \geq 0$, décroissante si $f'(x) \leq 0$, et constante si $f'(x) = 0$.

Extremum local

Valeur maximale ou minimale atteinte par une fonction sur un intervalle. Si $f$ admet un extremum local en $x_0$, alors $f'(x_0) = 0$. Pour que ce soit un extremum, $f'$ doit s'annuler et changer de signe en $x_0$.